第二十七章 相似章末复习课件 2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件系统梳理了相似图形、相似三角形的判定与性质、应用及位似等核心内容，通过知识框架图将相似定义、判定定理、性质应用与位似特征有机串联，构建起“概念-判定-性质-应用”的完整逻辑脉络。 其亮点在于设计“基础梳理-情境应用-中考衔接”的分层练习，如通过测高测距、零件测量等问题培养数学应用意识，结合中考题强化推理能力，助力学生深化知识理解，也为教师提供精准复习抓手。

人教版数学9年级下册培优备课课件 章末复习 第二十七章 相似 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月 . 1 (1) 形状相同的图形 (2) 相似多边形 (3) 相似比：相似多边形对应边的比 1. 图形的相似 形状相同，大小不计 各对应角相等、各对应边成比例. ◑通过定义 ◑平行于三角形一边的直线截三角形 ◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等 ◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 (三个角分别相等，三条边成比例) 2. 相似三角形的判定 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方 3. 相似三角形的性质 (1) 测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距 4. 相似三角形的应用 (1) 如果两个图形不仅相似，而且所有对应点的 连线都相交于同一点，那么这样的两个图形 叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时 的相似比也称为位似比) 5. 位似 (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上. (3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小. A B G C E D F ●P B′ A′ C′ D′ E′ F′ G′ A B C D E F G A′ B′ G′ E′ D′ F′ ●P C′ 位似中的相似比，一般指新图形与原图形的比 (4) 平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比等于相似比 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比等于相似比的相反数－k. 1. 如图，已知四边形 EFGH 相似于四边形 KLMN，求∠E，∠G，∠N 的度数以及 x，y，z 的值． 解：由题意得 ∠E =∠K = 67°， ∠G =∠M = 107°， ∠F =∠L = 143°， 则∠N = 360°-∠K-∠L-∠M = 43°. 随堂练习 由相似得 解得 x = 14，y = 15，z = 25． 随堂练习 2．△ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为 15，求△DEF 的其他两条边长和周长． 解：设△DEF 的其他两条边长分别为 x 和 y，根据题意知 ，解得 x = 36，y = 39. 15 + 36 + 39 = 90. 答：△DEF 的其他两条边长分别为 36 和 39，周长为 90. 随堂练习 3．根据下图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出 x 和 y 的值． 解:（1）由∠1 =∠2，∠G =∠I = 90°，可知△FGH∽△JIH. ∴ ， 解得 x = 4，y = 10. （1） 随堂练习 3．根据下图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出 x 和 y 的值． 解:（2）由∠FHK =∠GHJ = 90°，可得∠FHG =∠JHK. 又 ，即 ， ∴ △FGH∽△JKH. ∴ x = 124， ， 解得 y = 33. （2） 随堂练习 4. 李华要在报纸上刊登广告，一块 10 cm×5 cm 的长方形版面要付 180 元的广告费. 如果他要把版面的边长扩大为原来的 3 倍，要付多少广告费（假设每平方厘米版面的广告费相同）？ 解：10×5 = 50，由题意知每 50 cm² 版面要付 180 元广告费. 若把版面边长扩大为原来的 3 倍，则面积为 3×10×3×5 = 9×50，即面积扩大了 9 倍，故要付广告费 9×180 = 1620（元）. 随堂练习 5．将如图所示的图形缩小，使得缩小前后对应线段的比为 2 : 1． 解：如图所示（答案不唯一）. 随堂练习 6．某同学的座位到黑板的距离是 6 m，老师在黑板上要写多大的字，才能使这名同学看黑板时，与他看相距 30 cm 的教科书上的字感觉相同（教科书上的小四号字大小约为 0.42 cm×0.42 cm）？ 解：设老师在黑板上写的字的边长为 x cm，依题意得 ，解得 x = 8.4. 答：老师在黑板上要写 8.4 cm×8.4 cm 的字. 随堂练习 7．如图，已知零件的外径为 a，现用一个交叉卡钳（两条尺长 AC 和 BD 相等）测量零件的内孔直径 AB，如果 OA : OC = OB : OD = n，且量得 CD = b，求 AB 以及零件厚度 x. 解：∵OA : OC = OB : OD，∠AOB =∠COD，∴△ABO∽△CDO. ∴ AB : CD = OA : OC = n. ∴AB = nCD = bn. ∴厚度 x = （a - AB）= （a - bn）． 随堂练习 8．如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且 CD⊥AB，垂足为 P，求证 PC² = PA·PB. 证明：连接 AC，BD. 则∠A =∠D，∠C =∠B. ∴△APC∽△DPB． ∴ ，即 CP•DP = AP•BP． ∵ AB 是直径，CD⊥AB，∴ DP = CP． ∴ PC² = PA•PB． 随堂练习 9．如图，AD⊥BC，垂足为 D，BE⊥AC，垂足为 E，AD 与 BE 相交于点 F，连接 ED．你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？ 解：△ACD∽△BCE（答案不唯一）. 理由如下：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADC =∠BEC = 90°. ∴∠CAD =∠CBE. 又∵∠C =∠C， ∴△ACD∽△BCE． 随堂练习 10．如图，△ABC 的三条边与△A′B′C′ 的三条边满足 A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，且 OB = 3OB′．△ABC 的面积与△A′B′C′ 的面积之间有什么关系？ 解：由题意知△A′B′C′ 和△ABC 是位似图形，且位似比为 1 : 3， ∴ S△A′B′C′ : S△ABC = 1 : 9. ∴ S△ABC = 9S△A′B′C′． 随堂练习 11．如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC = 120 mm，高 AD = 80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ 解：∵ 四边形 EGHF 为正方形， ∴ BC∥EF，∴△AEF∽△ABC. 设正方形零件的边长为 x mm，则KD = EF = x，AK = 80 - x. 随堂练习 ∵ EF∥BC， ∴ . ∴ . 解得 x = 48． 答：正方形零件的边长为 48 mm. 随堂练习 12．如图，为了求出海岛上的山峰 AB 的高度，在 D 处和 F 处树立标杆 CD 和 EF，标杆的高都是3丈，D，F 两处相隔 1000 步（1 丈 = 10 尺，1 步 = 6 尺），并且 AB，CD 和 EF 在同一平面内．从标杆 CD 后退 123 步的 G 处，可以看到顶峰 A 和标杆顶端 C 在一条直线上；从标杆 EF 后退 127 步的 H 处，可以看到顶峰 A 和标杆顶端 E 在一条直线上. 求山峰的高度 AB 及它和标杆 CD 的水平距离 BD 各是多 少步？(提示：连接 EC 并延长交 AB 于 点 K，用含 AK 的式子表示 KC 和 KE.) 随堂练习 解：∵ AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴ AB∥CD∥EF.∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH. ∴ ， . ∵ CD = EF = 3 丈 = 5 步，DG = 123步，FH = 127步， ∴ . 解得 BD = 30750 步，AB = 1255 步. 答：山峰 AB 的高度及它和标杆 CD 的 水平距离 BD 各是 1255 步，30750 步． 随堂练习 返回 D 1. 下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是(　　) 中考考法 25 返回 2. 如图，把矩形ABCD对折再展开，折痕为MN，若矩形DMNC和矩形ABCD相似，则它们的相似比为(　　) A 中考考法 返回 3. 如图，AB∥CD∥EF，DE＝2AE，BC＝9，则CF的长为(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 A 中考考法 返回 4. B 中考考法 返回 5. [2025保定模拟]如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是________. 6 中考考法 返回 6. [2024湖南中考]如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是(　　) A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D 中考考法 返回 7. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，则不一定能判定△ABC∽△EDC的条件是(　　) A．∠CDE＝∠B B．∠DEC＝∠A D 中考考法 31 8. [2025东营中考]如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC的中点，点E在AB上，当AE为 ________时，△ABC与以点A，D，E为顶点的三角形相似. 返回 中考考法 9. [2025唐山期末]如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交AB，BC，AC于点F，D，E；以F点为圆心，以D，E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G，作射线AG，交BC边于点H.已知BC＝10，CH＝8，则AB＝________. 返回 中考考法 33 相似 相似图形 位似 相似多边形 相似三角形 性质 平面直角坐标系中的位似 应用 性质 判定 平行线分线段成比例 定义 定义、判定、性质 A. B. C．2 D. 如图，D，E是△ABC的边BC的三等分点，点F是AC的中点，AD交EF于点P，则的值为(　　) A. B. C. D. D．S△ADE＝S△ABC C.＝ D.＝ 3或 2 $