精品解析：河南省漯河市临颍县新时代实验学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度高二上学期数学期中考试 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 如图，在平行六面体中，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l上两点，，若直线l的倾斜角为，则实数n的值为（ ） A. B. 0 C. D. 3. 在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的大小是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. 6 D. 3 7. 经过两点，的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 8. 圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多项选择题（本题3小题，每题3分，共18分） 9. 已知点，圆，则（ ） A. 点在直线上 B. 点可能在圆上 C. 圆上至少有2个点与点的距离为1 D. 过点作圆的切线，则切点弦过点 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 与平面的距离为 11. 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点，直线交于C，D两点.若的重心在以为直径的圆上，则（ ） A. 的焦距为 B. 的渐近线方程为 C. 的外接圆的面积为 D. 过点作直线交于，两点，且，则 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是_____. 13. 在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为___________. 14. 设分别为双曲线的左､右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 已知抛物线：（）经过点. （1）求抛物线的焦点的坐标； （2）设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 16. 如图，在四边形中，，，，将沿翻折至，使点落在点的位置，且.点，满足，，连接，，. （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求过原点且与圆相切的直线方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面. （1）证明：. （2）点在线段上，若平面，求. （3）求二面角的正弦值. 19. 已知空间中三点，，，设，. （1）求与的值； （2）已知向量与互相垂直，求k的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二上学期数学期中考试 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 如图，在平行六面体中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算得到，然后求即可. 【详解】解：，又因，， ∴， ∴，，， 故选：A. 2. 已知直线l上两点，，若直线l的倾斜角为，则实数n的值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可. 【详解】因为点，在直线l上，直线l的倾斜角为， 所以直线l的斜率为，解得. 故选：A. 3. 在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的大小是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将正三棱柱补体后得到如图所示的几何体，则或其补角即为所求的异面直线与所成的角，通过解三角形可得其大小. 【详解】 如图，将题设的正棱柱补成如图所示的几何体， 因为，故或其补角即为所求的异面直线与所成的角. 设，则， 在直角三角形中，因为，，故， 同理，， 故，而， 故，故异面直线与所成的角为. 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成的角的计算，注意通过平移、补体等方法构造异面直线所成的角，本题属于中档题. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，得，进而得到即可求解离心率. 【详解】由题意，得，则， 所以，则，即， 所以的离心率为. 故选：A. 5. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用在上的投影向量公式计算求解. 【详解】在上的投影向量为 故选：B. 6. 椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】化简椭圆的方程为标准方程，结合椭圆的几何性质列出方程，即可求解. 【详解】椭圆的标准方程为，则，， 所以，，故此椭圆的短轴长. 故选：C. 7. 经过两点，的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点坐标可得直线斜率，由斜率与倾斜角关系可得结果. 【详解】，，， 设直线的倾斜角为，则，. 故选：D. 8. 圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】确定两圆的圆心与半径，确定圆与圆的位置关系，从而确定公切线的条数. 【详解】，圆心，半径为2，圆，圆心，半径为3， 两圆的圆心距为，大于两圆的半径之和，故两圆相离， 则两圆的公切线有4条. 故选：A. 二、多项选择题（本题3小题，每题3分，共18分） 9. 已知点，圆，则（ ） A. 点在直线上 B. 点可能在圆上 C. 圆上至少有2个点与点的距离为1 D. 过点作圆的切线，则切点弦过点 【答案】AD 【解析】 【分析】对选项A将点代入验证即可；对于选项B则求圆心到直线的距离可知直线与圆外离，即可得结果；对于C点P到圆上一点的最小值为1；对于D根据选项构造以线段为直径的圆，求出圆和圆的公共弦方程进而求解. 【详解】对A,点，代入直线方程得，故点在直线上．故A正确； 对B，圆心到直线的距离为（为圆的半径），故直线与圆相离，因此点不可能在圆上．故B错误； 对C，因为，所以圆上只有1个点与点的距离为1．故C错误； 对D,构造以线段为直径的圆，则线段为圆和圆的公共弦． 圆的直径式方程为， 整理得 ①． 圆方程化为一般式为，与①作差变形得的方程为．整理得，令解得即直线经过点．故D正确 故选：AD 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 与平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过建系，求出相关点的坐标，相关直线的方向向量、相关平面的法向量坐标，利用空间向量夹角的坐标公式以及点到直线、点到平面的距离公式分别计算即可逐一判断. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 对于A，，， 设与所成角为，则，故A正确； 对于B，平面的法向量可取为，， 设与平面所成角为，则，故B错误； 对于C，因，与同方向的单位向量为， ，则点到直线的距离为，故C正确； 对于D，设平面的法向量为，， 则，故可取， 由，平面，可得平面， 则与平面的距离即点到平面的距离， 由，则到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD 11. 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点，直线交于C，D两点.若的重心在以为直径的圆上，则（ ） A. 的焦距为 B. 的渐近线方程为 C. 的外接圆的面积为 D. 过点作直线交于，两点，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设求得的重心的坐标为代入圆，结合，求得，进而得的焦距和渐近线方程，即可判断A、B；由题设得，令，，进而可求的外接圆的圆心，从而得半径、面积即可判断C；设直线，，，联立利用韦达定理结合求得，再利用弦长公式求得即可判断D. 【详解】由题意易得C，D两点的坐标为，， 又，所以的重心的坐标为， 记，则以线段为直径的圆的方程为， 所以，所以， 所以，所以的焦距为，， 故的渐近线方程为，故A、B均正确； 不妨令，， 又，所以线段的垂直平分线的方程为， 线段的垂直平分线的方程为， 令，得，所以的外接圆的圆心为， 所以的外接圆的半径为， 所以的外接圆的面积为，故C错误； 由上面分析知的方程为，由题知直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立，整理得， 则，，，， 所以， 因为，所以， 所以， 即，整理得，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求得点关于轴的对称点为，求得到圆上上的点的最短距离即可. 【详解】由圆，得圆心坐标，半径为1， 点关于轴的对称点为， 则到圆上上的点的最短距离即为它爬到的最短路程， 所以它爬到的最短路程是. 故答案为：. 13. 在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设G关于平面对称的点为，的周长，再通过建系以及转化思想转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况，由此可得结果. 【详解】 设G关于平面对称的点为，连接，则， ，的周长， 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,，， 设，则，所以 即点到与距离和的最小值， 设关于x轴对称的点为， 则 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况. 14. 设分别为双曲线的左､右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，则双曲线的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线的定义， 所以，， 设，则， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以， 在中，， 即，即，所以. 故答案为： 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 已知抛物线：（）经过点. （1）求抛物线的焦点的坐标； （2）设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线方程计算求出即可求解； （2）设直线的方程为点斜式，联立直线和抛物线，消去，整理得到关于的一元二次方程，利用计算得解. 【小问1详解】 抛物线：（）经过点， ，，， 抛物线的焦点的坐标为； 【小问2详解】 设直线经过点，且斜率为，设直线的方程为， 联立，消去整理得到， 与有2个交点，，或. 实数的取值范围为或. 16. 如图，在四边形中，，，，将沿翻折至，使点落在点的位置，且.点，满足，，连接，，. （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点，连接，. 因为，所以，因为，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，故. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定理证明平面即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进行求解； （3）求出平面的法向量，再由线面角的向量求法求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以，则， 由，得， 因为，所以，则. 所以，，互相垂直，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间坐标系. 则，，，. ，， 设平面的法向量为， 取，则， 由（1）可知，，易知， 又，，所以，， 又，，平面，所以平面， 则是平面的一个法向量. 所以， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 因为，所以四边形为平行四边形， 则， 又，所以四边形为平行四边形， 则，，又，， 所以，， 则四边形为平行四边形，所以. 设平面的法向量为， 取，则， 易知，因为点是线段的中点， 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，. （1）求圆的标准方程； （2）求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【小问1详解】 线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面. （1）证明：. （2）点在线段上，若平面，求. （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：作，垂足为，连接. 在中，. ，. 所以，四边形是正方形. 所以. 因为，所以平面. 因为平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作，垂足为，连接.在中，根据题设证得，进而得到平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）先在（1）的基础上证得平面，再结合平面得到平面平面.再根据面面平行的性质，利用线段成比例即可得解；. （3）利用题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角的余弦值进而得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四边形是正方形，所以. 因为平面，所以平面. 若平面，因为，所以平面平面. 因为平面平面，平面平面，所以， 所以.因为，所以. 【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，. 设平面的法向量为， 则取. 设平面的法向量为， 则取. ， ， 即二面角的正弦值为. 19. 已知空间中三点，，，设，. （1）求与的值； （2）已知向量与互相垂直，求k的值. 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以，， . 【小问2详解】 ， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得．所以的值是5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $