假期作业十 函数的应用(二)-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业

快乐假期 假期作业十 函数的 〈《思维整合室 知识梳理 1.函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D),把使 成立 的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点. 2.二次函数y=a.x2+bx+c(a>0)的图象与 零点的关系 △>0 △=0 △<0 二次函数 y=ax2+ bx+c(a 0 0)的图象 与x轴的 (x1,0) 无交点 交点 零点个数 两个 一个 零个 3.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 ,使区间 的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点 近似值的方法叫做二分法， 4.应用函数模型解决问题的基本过程 收集数据 台实际 检验 符合实际 用函数模型解决实际问题 000-= 学而不厌，诲人不倦。 立用（二） 完成日期： 月 自测自查 1.f(x)=0 2.（x1,0),(x2,0) 3.f(a)·f(b)<0一分为二零点 4.画出散点图选择函数模型求出函数模型 要点记忆 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的 实数根就有几个零点 (2)画出函数y=f(x)的图象，判断它与x轴 的交点个数，从而判断零点的个数 (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0,可判断 y=f(x)在(a,b)上零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点问题， 例如，函数F(x)=f(x)一g(x)的零点个 数就是方程f(x)=g(x)的实数根的个数， 也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的 图象交点的个数. 《技能提升台 技能提升 1.实数a,b,c是图象连续不断的函数y= f(x)定义域中的三个数，满足a<b<c, f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,则函数 y=f(x)在区间(ac)上的零点有() A.2个 B.奇数个 C.1个 D.至少2个 2.函数f(x)=x3一4x的零点为 A.(0,0),(2,0) B.（-2,0),(0,0),(2,0) C.-2,0,2 D.0,2 24 三0022 3.下列方程不能用二分法求近似解的为 A.In x+x=0 B.e-3x=0 C.x3-3x+1=0 D.4x2-4W5x+5=0 4.函数f(x)=x二1山的图象为 ( 5.设x。是函数f(.x)=lnx十x一4的零点，则 x。新在的区间为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 「x十2，x≤0， 6.已知函数f(x)= 若函数 x+元x>0, g(x)=[f(x)]+4f(x)+a(a∈R)有三个 不同的零点，则实数a的取值范围为 A.(-∞，4) B.（-∞，4] C.(-∞，-12) D.(-∞，-12] 7.（(多选)当生物死亡后，其体内原有的碳14 的含量大约每经过5730年衰减为原来的一 半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内 的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一 种放射性探测器就探测不到了.若某死亡生物 体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则 它经过的“半衰期”个数可能是 A.8 B.9 C.10 D.11 ·2 8.(多选)研究表明，地震时释放的能量E(单 位：J)与地震里氏震级M之间的关系为lgE =4.8+1.5M,则 A.震级为2级的地震释放的能量为10.8J B.释放能量为10.3J的地震震级为3级 C.9级地震释放的能量是8级地震释放的 能量的10倍 D.释放能量之比为1000：1的两场地震的 震级相差2级 9.若一次函数f(x)=x+b的零点是2，那么 函数g(x)=bx2+x的零点是 10.从A地到B地的海底电缆有15个接点， 现发现某处接点发生故障，需及时修理，为 了尽快找出故障的发生点，一般最多需要 检查接点的个数是 11.已知某种药物在血液中以每小时20%的 比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物 2500mg,设经过x个小时后，药物在病人 血液中的量为ymg, (1)y与x的关系式为 (2)当该药物在病人血液中的量保持在 1500mg以上时，才有疗效；而低于500mg 时，病人就有危险.要使病人没有危险，再次 注射该药物的时间不能超过 小 时.（精确到0.1） (参考数据：0.2°.3≈0.6,0.823≈0.6,0.82≈ 0.2,0.8.9≈0.1) 12.已知一次函数f(x)满足：f(1)=2,f(2)=3. (1)求f(x)的解析式 (2)判断函数g(x)=-1十1gf(x)在区间 [0,9]上零点的个数. 火空快乐假阴 13.已知函数f(x)=(a-1)x2+4x-1,a∈R. (1)若Hx∈R,f(x)<0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若函数f(x)在区间（一1,1）内恰有一 个零点，求实数a的取值范围. 14.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术， 我国在航天领域取得了巨大成就.2025年 4月24日，神舟二十号载人飞船搭载航天 员飞往中国空间站，与神舟十九号航天员 “会师”太空.据了解，在不考虑空气阻力和 地球引力的理想状态下，可用公式v=uln 计算火箭的最大速度(m/s),其中，(m s)是喷流相对速度，m(kg)是火箭（除推进 剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量 的总和，称为总质比，已知A型火箭的 772 喷流相对速度为500m/s. (1)当总质比为200时，利用给出的参考数 据求A型火箭的最大速度. (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭 的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质 比变为原来的2，若要使火箭的最大速度 至少增加500m/s,求在材料更新和技术 改进前总质比的最小整数值. (参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6,2.718< e2.719) 高考冲浪 1.(多选)（新课标I卷）噪声污染问题越来越 受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定 义声压级L。=20X1g卫，其中常数p,(p,> 。 0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为 不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车 10 6090 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动 汽车10m处测得实际声压分别为1，p2, p3,则 A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100po D.p1≤100p2 2.(北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰 丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷 制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如 图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态 与T和gp的关系，其中T表示温度，单位 是K;p表示压强，单位是bar.下列结论中 正确的是 ) 固态 超临界 状态 液态 气态 01 200250300350400T A.当T=220,力=1026时，二氧化碳处于 液态 B.当T=270,p=128时，二氧化碳处于 气态 C.当T=300,p=9987时，二氧化碳处于 超临界状态 D.当T=360,p=729时，二氧化碳处于超 临界状态三022 所以C≤2·或0， k+1≥210<k+1<2, 解得1≤k<2(舍去)或-1<k≤0. 综上，实数k的取值范围为（一1,0]. 高考冲浪 f21-8 1.D[由题意可得 15-8 两式相除得2.1lnN1=3.15lnN2, 所以lnN1=lnN修15，即N1=N经5，故(N)l.5= (N)l.5,即N=N.] 2解折：因为g。oga号ga=一号，所以 1 1 31 (log2a+1)(log2a-6)=0,而a>1,故log2a=6,a=64. 答案：64 假期作业十函数的应用（二） 技能提升台技能提升 1.D2.C 3.D[对于A,显然f(x)=lnx十x在定义域上单调递增， 且f(日)）-1+日<0f1)=1>0可以使用二分法， 故A错误；对于B,f(x)=e2-3x在定义域上连续，且有 f(0)=1>0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-6>0,可以使用 二分法，故B错误；对于C,f(x)=x3-3x十1在定义域上 连续，且有f(-2)=-1<0,f(0)=1>0,f(1)=-1<0, f(3)=19>0,可以使用二分法，故C错误；对于D,4x2 46+5=2-62=0p9. 所以f(x)=4x2-4√5x十5只有一个不变号零点，故不 可以使用二分法.故D正确.] 4,D[函数fx)=r-山的定义城为xr≠01， 且f(-x)=1-x)2-1山=1x2-1山 =一f(x), 函数f(x)为奇函数，A选项错误； 又当<0时，f(x)=山≤0，C选项错误： 当>1时)=21---子离数单羽 递增，B选项错误.] 5.C[:f(2)=ln2+2-4=ln2-2<0,f(3)=ln3-1> lne-1=0,由零点定理得f(2)·f(3)<0.∴x0所在的区 间为(2,3)，] 6.D[当x≤0时，函数f(x)= x十2在(-∞，0]上单调递增， f(x)≤f(0)=2. 当x>0时，函数f(x)=x+1y ≥2于=2，当且仅当 0 =1时取等号，函数y=f(x)的大致图象如图所示。 令f(x)=t,观察图象知，当t<2时，方程f(x)=t有一 个根，当t≥2时，方程f(x)=t有两个不等根. 高一数学遗 函数g(x)=[f(x)]2+4f(x)-a(a∈R)有三个零点，等 价于函数h(t)=t2+4t十a有两个零点t1,t2,并满足t1<2, t2≥2，而函数h(t)图象的对称轴为直线t=一2，于是得 4(-2)=a一40：解得a≤-12，所以实教a的取值范 h(2)=a+120, 围为(-∞，-12].] 7.CD[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经 这n个丰袁期后的合量为（合）》广由（侣）”<d得 ≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测 器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.] 8.BD[对于A,当M=2时，lgE=4.8+1.5×2=7.8,解 得E=10.8,A错误；对于B,当E=109.3时，9.3=4.8+ 1.5M,解得M=3,B正确；对于C,令9级地震释放的能 量为E1,8级地震释放的能量为E2, gE-gE=(4,8+15X9)4.8+ 1,5,于足10>10，C精误：对于D,设释放的能量 为E0,对应的震级为M。,释放的能量为1000E。,对应的 震级为M,则lgE0=4.8+1.5M,且lg(1000E6)=4.8 +1.5M,两式相减得1.5(M'-M)=3,解得M-M= 2,D正确.] 9g.0, 。10.311.(1)y=2500×0.8x(2)7.2 12.解：(1)设f(x)=a.x十b(a≠0)，由已知条件得 a十b=2,解得a=b=1,所以f)=x十1(x∈R. 02a+b=3, (2)因为g(x)=-1+lg2(x)=-1+lg(.x+1)2在区 间[0,9]上为增函数，且g(0)=-1<0,g(9)=-1+1g10 =1>0, 所以函数g(x)在区间[0,9]上零点的个数为1个. 13.解：(1)当a=1时，f(x)=4x-1, 则f(x)<0不恒成立： 当a≠1时，Hx∈R,f(x)<0恒成立， 则/a-10, {4=16+4(a-1)<0,解得a<-3. 综上可得，若Hx∈R,f(x)<0恒成立，则实数a的取值 范围是（一∞，一3）. (2)若a=1.由fx)=4x-1=0,得x=子∈(-11)， 符合题意： 若a≠1，当△=16+4(a-1)=0,即a=-3时，f(x)= -4r2+4r-1,零点为2∈(-1,1)，符合题意： 当△=16+4(a-1)>0,即a>-3且a≠1时，f(1)· f(-1)=(a-1+4-1)(a-1-4-1)<0,解得-2<a 6,.-2<a1或1a6. 又令f(1)=a-1+4-1=0,得a=-2,此时方程-3.x2 十4红-1=0的另一根为x=子∈(-1,1)，将合题意： 令f(-1)=a-1-4-1=0,得a=6,此时方程5.x2+4x -1=0的另一根为x=号∈(-1,1，符合题意： 综上，若函数f(x)在区间（一1,1）内恰有一个零点，则实 数a的取值范围是[-2,6]U{-3. 飞密快乐假期 14.解析：(1)由已知可得v=500ln200 =500(ln2+ln100)=500[ln2+2(ln2+ln5)] =500(3ln2+2ln5)≈2650(m/s). (2)设在材料更新和技术改进前总质比为x, HvIn =500In .vz=1000In 若要使火箭的最大速度至少增加500m/s, 则g-=1001n克-501nx≥50， 即2n-1n≥1.ln(受)-hx=ln>1 所以工≥e,解得x≥4e, 4 因为2.718<e<2.719, 所以10.872<4e<10.876, 所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值 为11. 高考冲浪 1.ACD0X Po =20X1g≥00> .p1≥p2,所以A正确： a-1a=20x1号>10，l经合号>1o,所 p3 以B错送；：Lg=20×1g2=40, Po 小会-10.所以C正确，h-1e=0X1g升<0-50- 40心1g<2.100,所以D正确 P2 2.D[A选项：lgp=lg1026>3,T1gP =220,由图易知处于固态；B选项： 固态 1gp=lg128>2,T=270,由图易知处 21 液态 于液态：C选项：lgp=1g9987≈3. 1 气态 999,T=300,由图易知处于固态：D选04 2002503003504007 项：lgp=lg729>2,T=360,由图易知 处于超临界状态.所以选D.] 假期作业十一任意角和孤度制、 三角函数的概念及诱导公式 技能提升台技能提升 1.C[由题意知，sin0cos0<0,所以角0在第二或第四 象限.门 2.A[设扇形的半径和孤长分别为r,1,则易得 ,l+2r=6, 1 数是4或1.] 3.B[a(径小且ina=gmsa<0 cosa=--ma=√1-（得）=- cos a 900-= 4.D[由题意知∈ (受x所以in0-cos>0, sin 0-cos (sin 0-cos 0)2 =00-9】 5.D[由半角公式可知sim2号=1厂a。 2 解得m号] 6.A[由(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,可知函数y= f(x)是增函数.由f(1十x)十f(1-x)=0,得f(1十x)= -f(1-x).由题设得f(2-sina)>-f(cosa). 又：-f(cosa)=-f(1-(1-cosa) =f(1+(1-cos a)),.'.f(2-sin a)>f(2-cos a). 函数y=f(x)是增函数， ∴.2-sina>2-cosa,即sina<cosa. 又a为锐角，则cosa>0,.0<tana<1,则a的取值范 国是(0）门 7.ABD [f(x+x)=sin (x+)=-sin z,f (2x-x)= sin (2x-z)=-sin ,f(-)=sin (-) -sin X(2-)--cos t,f(x-z)=sin(x-)=sin =f(x).故A,B,D不成立.] 8.AC[在a的终边上任取一点P(一1,2)，则r=√1+4= 6所以n。-后-2华或者东-3.周 1下-5，所以m。=-后-25] r√5 9解析：由cosa≤0， 得/3a-9≤0， Isin a>0,la+2>0, .-2<a≤3.即a的取值范围是(-2,3]. 答案：(-2,3] l0.解析：，tana= 言0为第一象限角， 4 ∴.sina= 号，cosa=是， .'sin(x+a)+cos(x-a)=-sin a-cos a=- 5 答案：号 11.解析：角0的终边过(4，一3)， 5,sin0=-3 .cos0= ∴cos(x-0)=-cos0=-4 1 sin sin 0+cos- 34 =-3. 5T5 答案：-号 -3