假期作业九 对数与对数函数-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业

三0022 假期作业九对数 〈《思维整合室 知识梳理 以下1-5题中，a>0,M>0,N>0,n∈R. 1.对数式与指数式的转化：a”=N,则logN= 2.log.1= loga= ,N 3.log。(M·N)= M log.N log M"= 4.换底公式logV= 5.对数函数y=log.x(a>0且a≠1)的图象与 性质 a>1 0<a<1 x=1 1x=1 图 (1,0) 象 o1,0) 0 定义域 定义域 性 值域 值域 质 单调性 单调性 函数图象都过点 自测自查 1.x2.0 1 N 3.log M+log N log M -log N nlog M gN 4.了 oga (b>0且b≠1) 5.(0,十∞)R在(0，十∞)上为增函数 (0,+∞) R在(0，十∞)上为减函数 (1,0) 要点记忆 底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 (1)依据：对数函数y=log.x(a>0且a≠0)的 图象与直线y=1的交点是(a,1). ·21 与对数函数 (2)对图象的影响：比较图象与y=1的交点， 交点的横坐标越大，对应的对数函数的底 数越大.也就是说，沿直线y=1由左向右 看，底数a增大（如图）. 底数a增大 (3)对数函数图象的特点：函数y=logx(a>0 且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不 会与y轴相交；在同一坐标系内，y=logx (a>0且a≠1)的图象与y=logx(a>0且 a≠1)的图象关于x轴（即直线y=0)对称. 【《技能提升台 技能提升 1.计算2log3+log64的结果是 A.log62 B.2 C.log63 D.3 2.函数x)n(r十D十A-7的定义域为 ( ) A.[-2,0)U(0,2] B.(-1,0)U(0,2] C.[-2,2] D.(-1,2] 3.函数y=logx,y= y=logax logix,y=logx,y= y=logx logx的图象如图所 0 -y=logex 示，则a,b,c,d的大 y=log 小顺序是 () A.c<d<1<6<a B.d<c<1<a<b C.1<d<c<a<b D.c<d<1<a<b 飞壁快乐假期 4.设a=1og0.3,b=log0.4,c=0.40.3,则a, b,c的大小关系为 () A.a<b<c B.c<a<6 C.b<c<a D.a<c<b 5.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里； 不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积 月累的过程，每天进步一点点，前进不止一 小点.我们可以把(1十1%)35看作是每天的 “进步”率都是1%，一年后是1.01365≈ 37.7834;而把(1一1%)365看作是每天的 “退步”率都是1%，一年后是0.99365≈ 00255.这样，一年后的“进步值”是“退步 值”的.016 6.99西≈1482倍.那么当“进步值”是 “退步值”的5倍时，大约经过（参考数据： lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010) () A.70天 B.80天 C.90天 D.100天 (2-a)x-3a+3,x<1, 6.已知函数f(x)= 满足 (logx,x≥1 G≠，时恒有f）f0成立，那么 x1一x2 实数a的取值范围是 A.(1,2) n.(1. C.(1,+∞) n[月2j 7.（多选)函数f(x)=log（x+2)(0<a<1) 的图象过 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.(多选)下列函数不满足f(log32)=f(log23) 的有 ( A.f(x)=2x+2 B.f(x)=x2+2x C.f(x)=x2+1 x D.f(x)- x+1 S00= 9.计算1og23·log4+8+log:27= 10.设g(x)= 1e,x≤0， 则合) 11.函数y=2-log(x+1)在区间[0,1]上 的最大值为 ,最小值为 12.(1)已知1og。>1,求a的取值范围。 (2)已知log0.72x<logo.7(x-1),求x的取 值范围. 2· 三-0022 1.已知函数f)=loga>0且u≠ (1)求f(x)的定义域. (2)判断函数的奇偶性和单调性. 高一数类 14.已知函数f(x)=1og m-1的图象恒过 定点(1,0)，其中a>0且a≠1. (1)求实数m的值，并研究函数y=f(x+1) 的奇偶性； (3函数60-lgx+十2-2+ 关于x的方程f(x)=g(x)恰有唯一解，求 实数k的取值范围 高考冲浪 1.(2024·北京卷，7)生物丰富度指数d= 是河流水质的一个洋价指标，其中S。 N分别表示河流中的生物种类数与生物个 体总数，生物丰富度指数d越大，水质越好. 如果某河流治理前后的生物种类数S没有 变化，生物个体总数由V,变为V2,生物丰 富度指数由2.1提高到3.15，则 ( ) A.3N2=2N B.2N2=3N C.N2=N3 D.N2=N? 2.(2024·全国甲卷（文），15)已知a>1且 logsa ·23·飞密快乐假期 假期作业九 对数与对数函数 技能提升台技能提升 1.B2.B 3.D[由图可知，直线y=1与x轴上半部分图象交点的横 坐标从小到大依次为c,d,a,b,由此可知0c<d<1< a<b.] 4.D[.log20.3<log21=0,∴.a<0, log0.4--log 0,4-logaog1. .b>1, 0<0.40.3<0.40=1,.0<c<1, ∴.a<c<b.] 5,B[设x天后的“进步位”是“退步值”的5倍，则：0=5， 0.99 即（品）广=5，两边同时取对数得1g(品）)=g5,化商 得1g(g)'=1gg-=x1g101-1g9)=1g5. 1g5 1-1g2 所以x=1g101g991g101-g9 1-0.3010 2.0043-1,9956≈80， 故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天.] 6.D[因为画数fx)满足1≠时恒有f)-f20 xI-x2 成立，所以函数f(x) (2-a)x-3a+3,x<1, logax,x≥1 2-a>0, 在R上单调递增，应有{a>1, (2-a)-3a+3≤1loga1, 解得a[号2门 7.BCD 8.ABD [由于log32= 0g23,故问题等价于满足f(x) f()的函数，对于A选项（）=2+2≠f, 不特合题意：对于B选项f()一+ 2≠f(x),不符 合题意：对于C选项，f()=x十f(）=十x f(x),不符合题意.故选A,B,D.] 9.310.711.31 12.解：(1)由1og。2>1,得1og2>loga. ①当a>1时，有a<分，此时a∈0： ②当0<a<1时，有分<a,从而<a<1, a的取值范图是（合1） 女 900-= (2),函数y=log0.7x在(0，十o∞)上为减函数， .由log0.72x<10g0.7(x-1), 2x>0, 得{x-1>0,解得x>1. 2x>x-1, 13.解：(1)要使此函数有意义，则有 x+10,或 x-1>0,1 十1<0解得>1或<-1， (x-1<0, 此函数的定义域为(-o∞，-1)U(1,十∞). 2f(-)=lb号-1e =一f(x),f(x)为奇函数. f(x)=log。 告-g+名)小高教w=1+名 在区间（一∞，一1）和区间(1，十∞)上单调递减.所以当 >1时f)=16g在(-0，D.1,+∞)上单 调递减； 当0a1时，f=1g在(-0，-1D.1,+o)上 单调递增 14.D因为离数)=1g(件-的国象板过定点1.0， 所以loga(m-1)=0,则m-1=1,得m=2, 所以=g(层-) 所以y=f+1)=lg(名-）g 芹0，得-1<<1，即y=fx+1)的定义线为 (一1,1)，关于原点对称。 令(x)=f(x+1)=log:r+i 1-x 因为(-)-1g者-1() =-lg号-小 所以h(x)为奇函数，即函数y=f(x十1)为奇函数. (2)由)=8，得1g(2-1) =1ogx+++2-2k+1] [+++2-2+1D=2-1, 所以 -1>0, 2 由2-1>0，得2二2>0，解得0<x<2. 由x+2++2-2(k+1)=2-1, 得x2+k2+k+2-2(k+1)x=2-x, 整理得x2-(2k十1)x十k2十k=0, 得(x-k)[x-(k十1)]=0， 解得x=k或x=k十1. 因为关于x的方程f(x)=g(x)恰有唯一解， 三022 所以C≤2·或0， k+1≥210<k+1<2, 解得1≤k<2(舍去)或-1<k≤0. 综上，实数k的取值范围为（一1,0]. 高考冲浪 f21-8 1.D[由题意可得 15-8 两式相除得2.1lnN1=3.15lnN2, 所以lnN1=lnN修15，即N1=N经5，故(N)l.5= (N)l.5,即N=N.] 2解折：因为g。oga号ga=一号，所以 1 1 31 (log2a+1)(log2a-6)=0,而a>1,故log2a=6,a=64. 答案：64 假期作业十函数的应用（二） 技能提升台技能提升 1.D2.C 3.D[对于A,显然f(x)=lnx十x在定义域上单调递增， 且f(日)）-1+日<0f1)=1>0可以使用二分法， 故A错误；对于B,f(x)=e2-3x在定义域上连续，且有 f(0)=1>0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-6>0,可以使用 二分法，故B错误；对于C,f(x)=x3-3x十1在定义域上 连续，且有f(-2)=-1<0,f(0)=1>0,f(1)=-1<0, f(3)=19>0,可以使用二分法，故C错误；对于D,4x2 46+5=2-62=0p9. 所以f(x)=4x2-4√5x十5只有一个不变号零点，故不 可以使用二分法.故D正确.] 4,D[函数fx)=r-山的定义城为xr≠01， 且f(-x)=1-x)2-1山=1x2-1山 =一f(x), 函数f(x)为奇函数，A选项错误； 又当<0时，f(x)=山≤0，C选项错误： 当>1时)=21---子离数单羽 递增，B选项错误.] 5.C[:f(2)=ln2+2-4=ln2-2<0,f(3)=ln3-1> lne-1=0,由零点定理得f(2)·f(3)<0.∴x0所在的区 间为(2,3)，] 6.D[当x≤0时，函数f(x)= x十2在(-∞，0]上单调递增， f(x)≤f(0)=2. 当x>0时，函数f(x)=x+1y ≥2于=2，当且仅当 0 =1时取等号，函数y=f(x)的大致图象如图所示。 令f(x)=t,观察图象知，当t<2时，方程f(x)=t有一 个根，当t≥2时，方程f(x)=t有两个不等根. 高一数学遗 函数g(x)=[f(x)]2+4f(x)-a(a∈R)有三个零点，等 价于函数h(t)=t2+4t十a有两个零点t1,t2,并满足t1<2, t2≥2，而函数h(t)图象的对称轴为直线t=一2，于是得 4(-2)=a一40：解得a≤-12，所以实教a的取值范 h(2)=a+120, 围为(-∞，-12].] 7.CD[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经 这n个丰袁期后的合量为（合）》广由（侣）”<d得 ≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测 器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.] 8.BD[对于A,当M=2时，lgE=4.8+1.5×2=7.8,解 得E=10.8,A错误；对于B,当E=109.3时，9.3=4.8+ 1.5M,解得M=3,B正确；对于C,令9级地震释放的能 量为E1,8级地震释放的能量为E2, gE-gE=(4,8+15X9)4.8+ 1,5,于足10>10，C精误：对于D,设释放的能量 为E0,对应的震级为M。,释放的能量为1000E。,对应的 震级为M,则lgE0=4.8+1.5M,且lg(1000E6)=4.8 +1.5M,两式相减得1.5(M'-M)=3,解得M-M= 2,D正确.] 9g.0, 。10.311.(1)y=2500×0.8x(2)7.2 12.解：(1)设f(x)=a.x十b(a≠0)，由已知条件得 a十b=2,解得a=b=1,所以f)=x十1(x∈R. 02a+b=3, (2)因为g(x)=-1+lg2(x)=-1+lg(.x+1)2在区 间[0,9]上为增函数，且g(0)=-1<0,g(9)=-1+1g10 =1>0, 所以函数g(x)在区间[0,9]上零点的个数为1个. 13.解：(1)当a=1时，f(x)=4x-1, 则f(x)<0不恒成立： 当a≠1时，Hx∈R,f(x)<0恒成立， 则/a-10, {4=16+4(a-1)<0,解得a<-3. 综上可得，若Hx∈R,f(x)<0恒成立，则实数a的取值 范围是（一∞，一3）. (2)若a=1.由fx)=4x-1=0,得x=子∈(-11)， 符合题意： 若a≠1，当△=16+4(a-1)=0,即a=-3时，f(x)= -4r2+4r-1,零点为2∈(-1,1)，符合题意： 当△=16+4(a-1)>0,即a>-3且a≠1时，f(1)· f(-1)=(a-1+4-1)(a-1-4-1)<0,解得-2<a 6,.-2<a1或1a6. 又令f(1)=a-1+4-1=0,得a=-2,此时方程-3.x2 十4红-1=0的另一根为x=子∈(-1,1)，将合题意： 令f(-1)=a-1-4-1=0,得a=6,此时方程5.x2+4x -1=0的另一根为x=号∈(-1,1，符合题意： 综上，若函数f(x)在区间（一1,1）内恰有一个零点，则实 数a的取值范围是[-2,6]U{-3.