假期作业七 幂函数与函数的应用(一)-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业

快乐假期 假期作业七幂函数与庭 《思维整合室 知识梳理 1.五种常见幂函数的图象与性质 V= 性质 y=x y=x2 y=r y=r 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 2.函数的应用 (1)建立函数模型解决实际问题的基本思路. 实际问题 转化成数学问题 「数学问题 确 定 解 型 实际问题的结论 符合实际 回到实际问题中去 数学问题的解 (2)建立函数模型解决实际问题的解题步骤. 某些实际问题提供的变量关系是确定的， 即设自变量为x,因变量为y,它们已建立 了函数模型，我们可以利用该函数模型得 出实际问题的答案，具体解题步骤为： 第一步，审题.引进数学符号，建立数学模型， 了解变量的含义，若模型中含有特定系数，则 需要进一步用待定系数法或其他方法确定. 第二步，求解数学模型.利用数学知识，如函 数的单调性、最值等，对函数模型进行解答 第三步，转译成实际问题的解. ·16 数的应用（一） 自测自查 RRR{x|x≥O}{x|x≠O}R {yly≥0}R{yly≥0}{yly≠0o》 奇 偶奇非奇非偶奇增（一∞，0]减， [0,十∞)增增增（一∞，0）和(0，+∞)减 (1,1) 要点记忆 用函数解决实际问题的一般步骤 第一步：审题一弄清题意，分清条件和 结论，理顺数量关系； 第二步：建模一将文字语言转化成数学 语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：解模一求解数学模型，得到数 学结论， 《技能提升台 技能提升 1.下列命题正确的是 A.当a=0时，函数y=x的图象是一条 直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 C.幂函数的图象不可能出现在第三象限 D.图象不经过点（一1,1）的幂函数，一定不 是偶函数 2.函数y=x的图象是 =0022 3.一个等腰三角形的周长为20，底边y是关 于腰长x的函数，则它的解析式为() A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x<10) C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10) 4.某公司招聘员工，进入面试人数按拟录用人 数分段计算，计算公式为： 「4x,1≤x<10,x∈N", y=了 2x+10,10≤x<100,x∈N*, 1.5x,x≥100，x∈N*, 其中，x代表拟录用人数，y代表进入面试 人数.若应聘的面试人数为60，则该公司拟 录用人数为 ) A.15 B.40 C.25 D.130 5.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真《元 夜》的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的 “灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没 有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时 爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝 彩.已知某种烟花距地面的高度五（单位： 米)与时间t(单位：秒)之间的关系式为h= 一3.6t2+28.8t,则烟花在冲击后爆裂的时 刻是 () A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒 6.下列比较大小正确的是 A.(π)>3>2号 B.3>(元)>2号 C.3>2号>（√元） D.2>3>(元) 7.(多选)已知α∈{一1,1,2,3}，则使函数y=x 的值域为R,且为奇函数的α的值为() A.-1 B.1 C.2 D.3 畜一教半的) 8.(多选)如图①是反映某条公交线路收支差 额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条 公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调 整的建议，如图②③所示， 图① 图② 图③ 下列说法中，正确的是 ( A.图②的建议：提高成本，并提高票价 B.图②的建议：降低成本，并保持票价不变 C.图③的建议：提高票价，并保持成本不变 D.图③的建议：提高票价，并降低成本 9.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160一 2x,生产x件所需成本为C(元)，其中C=500 +30x元，若要求每天获利不少于1300元，则 日销量x的取值范围是 10.某商店按每件80元的成本购进某商品 1000件，根据市场预测，销售价为每件100 元时可全部售完，定价每提高1元时销售量 就减少5件.若要获得最大利润，销售价应定 为每件 元，最大利润为 元. 11.给出封闭函数的定义：若对于定义域D内 的任意一个自变量x。,都有函数值f(x。) ∈D,则称函数f(x)在D上封闭.若定义域 D=(0,1),则下列函数：①f(x)=3x一1； ②f2(x)=1-x;③f3(x)=x 在D上封闭的是 (填函数的序号) 12.已知函数f(x)=x2m+m+3(m∈Z)为偶函 数，且f(3)<f(5),求m的值，并确定f(x) 的解析式 壁快乐假积 13.已知幂函数f(x)=(m2- 象关于y轴对称. (1)求m的值； (2)若函数g(x)=f(x g(x)的单调递增区间 900-= m+7)xm的图 14.某工厂生产某种零件，每个零件的成本为 40元，出厂单价定为60元，该工厂为鼓励 销售，规定当一次订购量超过100个时，每 -2√f(x),求 多订购1个，订购的全部零件的出厂单价 就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于 51元. (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际 出厂单价恰降为51元？ (2)设一次订购量为x个，零件的实际出 单价为P元，写出函数P=f(x)的表 达式 (3)当销售商一次订购500个零件时，该工 厂获得的利润是多少元？如果订购1000个， 利润又是多少元？（工厂售出一个零件的 利润=实际出厂单价一成本) 高考冲浪 1.(2024·全国甲卷（文），8)函数f(x)=一x+ (e一ex)sinx在区间[一2.8,2.8]的图象 大致为 女野中丽 2.(2023·新课标I卷，改编)某产品的总成本 y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是 y=3000+20x-0.1x2(0<x≤220，x∈ N),若每台产品的售价为25万元，则生产 者的最高利润是 ( A.2950万元 B.3000万元 C.2940万元 D.2980万元 ·18飞壁快乐假期 14.解：(1)f(x)在[-1,1]上单调递增.证明如下： 任取x2∈[-1,1]，且x1<x2,则-x2∈[-1,1]， 又因为f(x)是奇函数， 所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) 2.m 由已知程f+f二>0-<0， x1+(-x2) 所以f(.x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在[一1,1]上单调递增. (2)因为f(1)=1,且f(x)在[一1,1]上单调递增，所以 在[-1,1]上f(x)1. 问题转化为m2-2m十1≥1，即m2-2m≥0对任意 n∈[-1,1]恒成立. 设g(n)=-2mn十m2,则 ①若m=0,则g(n)=0≥0对n∈[-1,1]恒成立； ②若m≠0，则g()为关于1的一次函数，若g()≥0对 nE[-1,1门恒成立，则必须有)20·解得m≤一-2 (g(1)≥0， 或m≥2.综上所述，实数m的取值范围为(-o∞，一2]U [2,+∞)U{0}. 高考冲浪 1.ABD[由奇函数的性质可知，因为f(x)的定义域为R, f(0)=0,所以A正确： 当x<0时，-x>0,f(-x)=(x2-3)ex十2，又因为 f(-x)=-f(x),所以f(x)=-(x2-3)ex-2,所以B 正确： 当x>0时，f(x)=(x+3)(x-1)e,所以f(x)在(0,1) 上单调递减，在(1，十∞)上单调递增 x→0时，f(x)→-1，f(1)=-2e+2<0,f3=2>0, 所以f(x)的图象大致为 2e-2 y=√3 -10 2% -2e+2 因为2e一2>2，所以C错误，由奇函数图象关于原，点对称 可知D正确.] 2.B[由题意知f(x)在R上单调递增，令h(x)=一x2一 2ax一a,则h(x)的对称轴必大于等于0，否则与题意不 符，即一a≥0→a0,排除C、D项；又因为当x=0时， f(x)=1,所以当x=0时，h(x)≤1→-x2-2ax-a≤1， 代入x=0,得一a1→a≥一1，所以-1a0,故a的取 值范围是[-1,0].] 假期作业七幂函数 与函数的应用（一） 技能提升台技能提升 1.D2.B3.D4.C 5.A[由题意，h=-3.6t2+28.8t =-3.6(t-4)2+57.6, 则当1=4时，烟花达到最高点，即爆裂的时刻是第4秒，] 6.C[因为()专=[（√）2]号=x号， 3专=(3)-号， 又y=x在(0，十∞)上单调递减，π>2>√5， 所以π<2号<()号， 所以3>2号>()音.] 7.BD 0M-= 8.BC[根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线 向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出变少 了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；由 图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜 角变大，即乘客量相同时收入变大，票价提高了，说明此建议 是提高票价而保持成本不变，故C正确.] 9.[20,45]10.19060500 11.②③ 12.解：f(x)是偶函数，.-2m2十m十3应为偶数. 又：f(3)<f(5),∴.f(x)在(0，十o∞)上为增函数. -2m2+m+3>0,解得-1<m<多 文.m∈Z,..m=0或1. 当m=0时，一2m2十m十3=3为奇数（舍去）： 当m=1时，一2m2+m+3=2为偶数. 故m的值为1，∴.f(x)=x2. 13.解：(1)由题意知m2-5m十7=1，解得m=2或m=3. 又因为f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数， 从而m=2. (2)由(1)知f(x)=x2,则g(x)=f(x)-2√f(x) =x2-2√x2=x2-2|x. 当x≥0时，g(x)=x2-2x=x2-2x, 因为y=x2一2x图象的对称轴为直线x=1, 所以g(x)在[0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增； 当x<0时，g(x)=x2-2|x=x2+2x, 因为y=x2十2x图象的对称轴为直线x=一1， 所以g(x)在（一o∞，一1）上单调递减，在（一1,0）上单调 递增. 因此，g(x)的单调递增区间为（一1,0），(1，十∞). 14.解：(1)设每个零件的实际出厂价格为51元时，一次订 购量为0个，则0=100+6051=550（个），因此，当 0.02 一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降 为51元. (2)当0<x≤100时，P=60: 当100<x550时，P=60-0.02(.x-100) =62-前：当>550时，P=51. [60,0<x100, .P=f(x)= 62-斋100<r≤50，(x∈N0. 51,x>550 (3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元， [20x,0x100, 则L=(P-40)x={22x 50100<x≤550，(x∈N. 11x,x>550 当x=500时，L=6000:当x=1000时，L,=11000.因此，当 销售商一次订购500个零件时，该工厂获得的利润是6000 元：如果订购1000个，利润是11000元. 高考冲浪 1.B[令f(.x)=-x2十(e2-ex)sinx, 则f(-x)=-(-x)2+(ex-e')sin(-x) =-22+(ez-e z)sin x=f(x) ∴y=f(x)为偶函数，排除A,C: f(侵）+-。 =e3-e->0， 故排除D,B正确.] 三0022 2.C[由题意可知所得利润y=25.x-(3000十20x 0.1x2)=0.1x2+5.x-3000, 可见函数在区间(0,220]上是增函数. 当x=220时，利润最大，ymax=0.1×2202+5×220 3000=2940(万元).] 假期作业八 指数与指数函数 技能提升台技能提升 1.D 2.D[①中底数一8<0，所以不是指数函数；②中指数不是 自变量x,所以不是指数函数：③中，只有规定a>0且a ≠1时，才是指数函数：④中3”前的系数是2，而不是1， 所以不是指数函数.门 3.B 4B[:2<2+1<4台2<2+1<22台-1<x+1<2 台-2<x<1,.N={x-2<x<1,x∈Z}={-1,0}. 又.M={-1,1},.M∩N={-1}.] 5.A[画数y=的定义城(-0，十0)关于原点对 22+1 1 称，且f-x)=212京1 1-2 2+11+1 1+22 2x =一f(x),所以该函数是奇函数，] 6.B[由函数y=x是增函数，且1.44<√3，故1.44E< (W3),即c>a:又函数y=1.2x是增函数，所以1.44 =(1.22)E=1.22wE>1.25,即a>b.故c>a>b.] 7.BC[由√-a.x3成立可知-ax3≥0，当a>0时，得.x3≤0， 即x≤0.因此√一ax=√一ax·x=√一a.x·√x2= √一ax·x=-x√一ax,同理，当a<0时√一a.x= x√一a.z,故选B,C.] 8.BD[由指数函数的定义得函数y=21-1不是指数函数， A错误；函数y= /1 -x+2x 3 ,设u(.x)=-x2十2x= -(x-1)2+1,则u(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，十o∞) 上单调递减，又y= (合)在R上单润逅减，因此画数y =()】 +2x 的单调递增区间是(1，十o∞)，B正确；当0 <a<1时，由am>a”,得m<n,C错误；在函数f(x)= a2-2-3(a>0,a≠1)中，由x-2=0,得x=2,f(2)=a -3=1-3=-2,即函数f(x)的图象必过定点(2，一2)， D正确.] 9.4a10.0b<a1dc 1.(21）(1,+∞) 12.解：1)（号）-(3.14-x)°+12-21-，2 2+√2 =-3-1+2-√2-2(2-②) 4-2 =-2-√2-(2-√2)=-4. ·4 高一数 (2)√aa÷√a8.a元(a>0) =(a·a音)÷(a号，a4) =a号÷a号=1. 2 13.解：1)fx)=1+22:2-1≠0，x≠0， .函数f(x)的定义域为{xx∈R,且x≠0}. (2)证明：任意设x1x2∈（-o∞，0)且x1<x2. fa)f,22 2(2x2-2x1) (2x-1)(2x2-1) :x1,x2∈（-o∞，0)且x1<x2' .22>20且2<1,222<1. .f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)在(-∞，0)上为减函数. 14.(1)证明：设x1,x2是R上任意两个实数，且x2>x1,则 -4>0,f(x2)-f(m1)=25-1-25-1 2x2+12x,+1 2(22-22) (23+1)(22+1)1 x2>x1,22>2x1,.2x2-2x1>0. 又(2x,+1)(22+1)>0,f(x2)-f(x1)>0, f(x)是R上的增函数. (2)解：f()=2+12=1-2 2x+1 2x+11 2+1102<2,中-2K -0， -11221 ,.f(x)的值域为(-1,1). (3)g(x)为偶函数. x2x+1 由题意知gx)=f0-2r-·x, 函数g(x)的定义域为(-o0,0)U(0,十o∞)， g(-)=(-).名1=(-).1+2 2-x-1 1-22 =x.2+出1=g, 2x-1 .函数g(x)为偶函数 高考冲浪 1.B[因为y=4.22在R上递增，且一0.3<00.3， 所以0<4.20.3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b, 因为y=l0g4.2x在(0，十o∞)上递增，且0<0.2<1， 所以l0g1.20.2<1og4.21=0,即c<0, 所以b>a>c.] 2.D[由y=1.01x在R上递增， 则a=1.010.5<b=1.010.6, 由y=x.5在(0，十o∞)上递增，则a=1.010.5>c=0.69.5. 所以b>a>c.故选D.]