假期作业六 函数的基本性质-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业

三0022 假期作业六函数的基 〈《思维整合室 知识梳理 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间D二I, 对于任意x1,x2∈D,且x1<x2,则有： (1)f(x)在区间D上单调递增台 (2)f(x)在区间D上单调递减台 2.单调区间的定义 若函数y=f(x)在区间D上 或 ,则称函数y=f(x)在这一区间上 具有（严格的）单调性， 叫做y= f(x)的单调区间. 3.函数的最值 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存 前提 在实数M, ①对于任意x∈I, ①对于任意x∈ 满足 都有 1,都有 条件 ②存在x。∈I,使 ②存在x。∈I,使 得 得 结论M为最大值 M为最小值 4.函数的奇偶性 奇偶性 定 义 图象特点 如果对于函数f(x)的定 偶 义域内任意一个x,都有 关于 函 那么函数 对称 数 f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定 奇 义域内任意一个x,都有 关于 函 ,那么函数 对称 数 f(x)是奇函数 13 一数 敏而好学，不耻下问。 本性质 完成日期： 月 日 自测自查 1.(1)f(x1)<f(x2)(2)f(x1)>f(x2) 2.单调递增单调递减区间D3.①f(x)≤M ②f(xO)=M①f(x)≥M②f(x,)=M 4.f(一x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点 要点记忆 函数的奇偶性与单调性的关系 (1)奇函数在对称区间上的单调性相同. (2)偶函数在对称区间上的单调性相反 (3)在公共区域上：增十增=增，减十减=减， 增一减=增，减一增=减。 【《技能提升台 技能提升 1.函数f(x)=(√)是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2.若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最 小值0，则它在[一3，一1]上 () A.是减函数，有最小值0 B.是增函数，有最小值0 C.是减函数，有最大值0 D.是增函数，有最大值0 3.设函数f(x)=2xxa在区间(0,1)上单调递 减，则a的取值范围是 () A.(-∞，-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 4.设f(x)是定义在[一6,6]上的偶函数，且f(4) >f1),则下列各式一定成立的是( A.f(0)<f(6) B.f(4)>f(3) C.f(2)>f(0) D.f(-1)<f(4) 飞曼快乐假期 5.已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，当 x2<x1≤0时，[f(x2)-f(x1)](x2一x)<0恒 成立，设a=f(-2),b=f(-1),c=f(3), 则a,b,c的大小关系为 A.c<a<b B.a<b<c C.c>a>b D.b>c>a [x2+ax+a;x<0 6.已知函数f(x)= 在R 2025.x3-1,x≥0 上单调递减，则a的取值范围为 A.[0,1) B.[-1,0] C.[-1,0) D.[0,1] 7.(多选)已知函数y=x2一2x十3在区间[0，m]上有 最大值3、最小值2，则m的值可以是() A.1 B.2 C.3 D.4 8.若两函数关于一、三象限角平分线对称，则 它们互为反函数，我们定义：若两函数关于 二、四象限角平分线对称，则它们互为“逆函 数”，若某函数上的点P在其“逆函数”上的 对应点为(2025,2026)，则点P的坐标为 9.已知函数f(x)=x3(a·2一2x)是偶函数， 则a= 10.若函数f(x)=x2-(2a-1)x+a+1是(1,2) 上的单调函数，则实数a的取值范围为 11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 (一∞，0)上是增函数，若f(一3)=0，则f(3) fx<0的解集为 900= 12.已知Hx∈R,都有f(一x)十f(x)=0,且 当x>0时，f(x)=4-x2. -c---15 ---「-4 3 「1 -5-4-321012345x -1 -r-r-T- 3 -4 (1)求函数f(x)的解析式，并画出f(x)的 简图（不必列表）； (2)求f(f(3)的值； (3)求xf(x)>0的解集. 13.已知定义在(-1,1)上的奇函数f(x) 1+x2 (1)用定义证明f(x)在（一1,1）上是增 函数 (2)解不等式f(t-1)+f(t)<0. =0022 高一数学) 14.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数， (2)若f(x)≤m2-2nm+1对任意n∈ 且f(1)=1,若a,b∈[-1,1]，a+b≠0时， [-1,1]恒成立，求实数m的取值范围. 有fa)+fb)>0恒成立. atb (1)判断f(x)在[一1,1]上的单调性，并加 以证明， 高考冲浪 1.(2025·全国二卷，10)已知f(x)是定义在 R上的奇函数，且当x>0时，f(x)= (x2-3)ex+2,则 () A.f(0)=0 B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥√3 D.x=一1是f(x)的极大值点 2.(2024·新课标I卷，6)已知函数f(x)= -x-2ax-a,x< 在R上单调递增，则a {e+ln(x+1),x≥0 的取值范围是 () A.(-∞，0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) ·15·三0022 (3)因为2f)+f()=3, ① 所以起x用誉换，得2（日）十f)=是， ② 由①②解得f(x)=2.x- 即r)的解折式是fx)=2x一≠0)， 14.解：(1)因为每件产品售价为5元，则x万件商品销售收 入为5.x万元，依题意得，当0<x<8时， L,(.x)=5.x- 行2+）-3=子2+4-3 当≥8时，L)=5x-(6x+10-38）-3 =35-(e+9) 32+4r-3,0<r<8. 所以L(x) 5-（e+19）≥8 (2)当0<x<8时，y=（x一6)2+9≤9， 因此当x=6时，y取得最大值9： 当≥8时y=85-(+1四)35-2…四-15. 当且仅当x=100,即x=10时，y取得最大值15. 因为15>9，所以年产量为10万件时，小王在这一商品 的生产销售中所获利润最大，最大利润是15万元， 高考冲浪 1 1.C[由f)1十2，可得f代-)=1+2 2+1所以得f-)+f)=1.] =2x 2x+1 2.解析：由题意知，f(3)=5. 答案W3 假期作业六 函数的基本性质 技能提升台技能提升 1.D2.D 3.D[由题意得，%>1，所以a的取值范围是[2，十.] 4.D 5.C[当x2<x1≤0时，[f(x2)-f(x)](x2-x1)<0恒 成立，则函数f(x)在（一∞，0]上单调递减，而一3<一2<-1， 因此f(-3)>f-2)>f(-1). 又函数f(x)为偶函数，所以f(3)=f(一3)，因此f(3)> f(-2)>f(-1),所以c>a>b.] 6.B[由条件可知，y=x2+ax十a在区间(-oo,0)上单调 递减，则-号≥0，即a≤0， 且在分界点x=0处满足02+a·0十a≥-2025·03-1， 得a≥-1， 所以-1≤a≤0.] 高一教类 7.AB 8,解析：若(x1y1)与(x2y2)关于二四象限角平分线对称， 得出坐标关系x1=一y2y1=一x2 由二四象限角平分线对称，可得P(-2026,一2025). 答案：(-2026，-2025) 9.110.a≥号或a<号 11.0(-3,0)U(3,+0) 12.解：(1)因为Hx∈R,f(-x)+f(x)=0, 令x=0,可得f(0)=0. 设x<0,则-x>0,f(-x)=4-(-x)2=4-x2, 又f(-x)=-f(x), 所以f(x)=-f(-x)=x2-4, 4-x2,x>0, 所以f(x)={0,x=0, x2-4,x<0, 故函数f(x)的简图如图所示. 个y 5-4-3-21012345 1 (2)因为f(3)=4-32=4-9=-5, 所以f(f(3)=f(-5)=-f(5)=-(4-52)=21. (3)由题得xf(x)>0,即为>0， 支0， ,由图 \f(x)>0(f(x)<0 可知0<x<2或-2<x<0, 故xf(x)>0的解集为(-2,0)U(0,2). 13.(1)证明：任取x1x2∈(-1,1)，且x1<x2, 则f()-f(x2)=,4 1+x71十x号 =1+)-x2(1+x)_(1-x2)1-x12) (1+x)(1+x) (1+x)(1+x), 因为-1<x1<x2<1, 所以x1-x2<0,1-x1x2>0,(1十x)(1十x号)>0， 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在（一1,1）上是增函数. (2)解：由函数f(x)是定义在（一1,1）上的奇函数且 ft-1)十f(t)<0,得ft-1)<-f(t)=f-t), 又由(1)可知函数f(x)在（一1,1）上是增函数， -1t-1<1, 所以有 1K-K1,p0<7 t-1<-t, 所以不等式的解集是{红0<1<} 飞壁快乐假期 14.解：(1)f(x)在[-1,1]上单调递增.证明如下： 任取x2∈[-1,1]，且x1<x2,则-x2∈[-1,1]， 又因为f(x)是奇函数， 所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) 2.m 由已知程f+f二>0-<0， x1+(-x2) 所以f(.x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在[一1,1]上单调递增. (2)因为f(1)=1,且f(x)在[一1,1]上单调递增，所以 在[-1,1]上f(x)1. 问题转化为m2-2m十1≥1，即m2-2m≥0对任意 n∈[-1,1]恒成立. 设g(n)=-2mn十m2,则 ①若m=0,则g(n)=0≥0对n∈[-1,1]恒成立； ②若m≠0，则g()为关于1的一次函数，若g()≥0对 nE[-1,1门恒成立，则必须有)20·解得m≤一-2 (g(1)≥0， 或m≥2.综上所述，实数m的取值范围为(-o∞，一2]U [2,+∞)U{0}. 高考冲浪 1.ABD[由奇函数的性质可知，因为f(x)的定义域为R, f(0)=0,所以A正确： 当x<0时，-x>0,f(-x)=(x2-3)ex十2，又因为 f(-x)=-f(x),所以f(x)=-(x2-3)ex-2,所以B 正确： 当x>0时，f(x)=(x+3)(x-1)e,所以f(x)在(0,1) 上单调递减，在(1，十∞)上单调递增 x→0时，f(x)→-1，f(1)=-2e+2<0,f3=2>0, 所以f(x)的图象大致为 2e-2 y=√3 -10 2% -2e+2 因为2e一2>2，所以C错误，由奇函数图象关于原，点对称 可知D正确.] 2.B[由题意知f(x)在R上单调递增，令h(x)=一x2一 2ax一a,则h(x)的对称轴必大于等于0，否则与题意不 符，即一a≥0→a0,排除C、D项；又因为当x=0时， f(x)=1,所以当x=0时，h(x)≤1→-x2-2ax-a≤1， 代入x=0,得一a1→a≥一1，所以-1a0,故a的取 值范围是[-1,0].] 假期作业七幂函数 与函数的应用（一） 技能提升台技能提升 1.D2.B3.D4.C 5.A[由题意，h=-3.6t2+28.8t =-3.6(t-4)2+57.6, 则当1=4时，烟花达到最高点，即爆裂的时刻是第4秒，] 6.C[因为()专=[（√）2]号=x号， 3专=(3)-号， 又y=x在(0，十∞)上单调递减，π>2>√5， 所以π<2号<()号， 所以3>2号>()音.] 7.BD 0M-= 8.BC[根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线 向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出变少 了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；由 图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜 角变大，即乘客量相同时收入变大，票价提高了，说明此建议 是提高票价而保持成本不变，故C正确.] 9.[20,45]10.19060500 11.②③ 12.解：f(x)是偶函数，.-2m2十m十3应为偶数. 又：f(3)<f(5),∴.f(x)在(0，十o∞)上为增函数. -2m2+m+3>0,解得-1<m<多 文.m∈Z,..m=0或1. 当m=0时，一2m2十m十3=3为奇数（舍去）： 当m=1时，一2m2+m+3=2为偶数. 故m的值为1，∴.f(x)=x2. 13.解：(1)由题意知m2-5m十7=1，解得m=2或m=3. 又因为f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数， 从而m=2. (2)由(1)知f(x)=x2,则g(x)=f(x)-2√f(x) =x2-2√x2=x2-2|x. 当x≥0时，g(x)=x2-2x=x2-2x, 因为y=x2一2x图象的对称轴为直线x=1, 所以g(x)在[0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增； 当x<0时，g(x)=x2-2|x=x2+2x, 因为y=x2十2x图象的对称轴为直线x=一1， 所以g(x)在（一o∞，一1）上单调递减，在（一1,0）上单调 递增. 因此，g(x)的单调递增区间为（一1,0），(1，十∞). 14.解：(1)设每个零件的实际出厂价格为51元时，一次订 购量为0个，则0=100+6051=550（个），因此，当 0.02 一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降 为51元. (2)当0<x≤100时，P=60: 当100<x550时，P=60-0.02(.x-100) =62-前：当>550时，P=51. [60,0<x100, .P=f(x)= 62-斋100<r≤50，(x∈N0. 51,x>550 (3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元， [20x,0x100, 则L=(P-40)x={22x 50100<x≤550，(x∈N. 11x,x>550 当x=500时，L=6000:当x=1000时，L,=11000.因此，当 销售商一次订购500个零件时，该工厂获得的利润是6000 元：如果订购1000个，利润是11000元. 高考冲浪 1.B[令f(.x)=-x2十(e2-ex)sinx, 则f(-x)=-(-x)2+(ex-e')sin(-x) =-22+(ez-e z)sin x=f(x) ∴y=f(x)为偶函数，排除A,C: f(侵）+-。 =e3-e->0， 故排除D,B正确.]