作业(六)函数的基本性质-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]成功与不成功之间有时距离很短一只要后者再向前几步。 高一数学（配BSD版） 作业（六） 月 日 星期 函数的基本性质 天气 1知识整合 4.奇偶函数的运算与复合 设f(x),g(x)的定义域分别为D,D2,那 1.函数的单调性 么在它们的公共定义域上，有下面结论： 增函数 减函数 f(x)+ f(x)- f(x)· f(x) 设函数f(x)的定义域为D,区间I二D,如果 8(x) f(g(x)) 8(x) g(z) g(x) Vx1,x2∈I 偶函数偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 当x1<x2时，都有 当x1<x2时，都有 偶函数奇函数 不能确定 不能确定奇函数偶函数 f(x1)<f(x2),那么就 f(x1)>f(x2),那么 称f(x)在区间I上单调就称f(x)在区间I 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定奇函数 偶函数 递增，I叫做f(x)的递 上单调递减，I叫做 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 增区间 f(x)的递减区间 2.函数的最大（小）值 5.常用结论 (1)若0在奇函数f(x)的定义域中，则 般地，设函数y=f(x)的定义域为D, 前提 如果存在实数M满足 f(0)=0. Vx∈D, Vx∈D, (2)若f(x)为偶函数，则f(x)=f(x). 都有f(x)≤M; 都有f(x)≥M; (3)奇函数在关于原点的对称区间上单调 条件 3x∈D, 3x∈D, 性相同，偶函数在关于原点的对称区间上 使得f(x)=M 使得f(xo)=M 单调性相反 那么称M是函数 那么称M是函数 结论 2基础演练 f(x)的最大值 (x)的最小值 1.下列函数在[2，十∞)上单调递增的是 3.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 A.f(x)=-x+1 般地，设函数f(x)的定义 B.f(x)=2 域为D,如果Hx∈D,都有 偶函数 关于y x∈D,且f(-x)=f(x),那 C.f(x)=3 轴对称 么函数f(x)的就叫做偶 D.f(x)=x2-2x-3 函数 2.(2025·承德一中高一期中)已知函数 一般地，设函数f(x)的定义 f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2一1， 域为D,如果Hx∈D,都有 关于原 则f(一2)= () 奇函数 -x∈D,且f(-x)=-f(x), 点对称 那么函数f(x)就叫做奇 A-是 B.-3 4 函数 C.-3 D.3 11 寒假作业生命是一条艰险的峡谷，只有勇敢的人才能通过。 [每日格言] 3.函数fx)-士-2x在区间[1,2上的最 4.(开放创新)已知函数f(.x)=ax十 x 小值是 (ab≠0)，使f(x)在(0，十o∞)上为增函数 A-名 89 的a与b组成的有序实数对为(a,b),则 (a,b)可以是 .(写出一个符合题 C.1 D.-1 意的有序实数对即可) 4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈ 1ax2+4x,x≥0， (-∞，0)时，f(x)=-x2十2x,则当x∈ 5.已知函数f)）=-x-bx,x<0 是定义 (0,+∞)时，f(x)= 在R上的偶函数，则a十b= ;若 A.-x2-2x B.-x2+2x 对于任意的x∈[一2,2]，不等式f(x)<c C.x2-2x D.x2+2x 恒成立，则实数c的取值范围为 3综合演练 6.已知函数f(x)=+b是定义在[-2,2] x2+a 1.若定义在R上的函数f(x)在（一∞，0]上 单调递减，且f(x)为偶函数，则不等式 上的奇函数，且f1)= f(2x+3)>f(x+1)的解集为 (1)求实数a,b的值； A.(-∞，-2U(-等，+∞） (2)判断f(x)在[一2,2]上的单调性，并用 定义证明； B.(-0,-40U(-号+∞) (3)设g(x)=kx2十2kx十1（≠0），若对任 意的x1∈[-2,2]，总存在x2∈[-1,2]， c.(-2,-) 使得f(x1)=g(x2)成立，求实数k的取值 D.(-4,-) 范围。 2.(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数， 当x≥0时，f(x)=x一x2,则下列说法正 确的是 A.f(-1)=0 B.fx)的最大值为号 C.f(x)在（一1,0）上单调递增 D.f(x)>0的解集为(-1,1) 3.已知函数f(x)=x(x一4)，则下列结论 正确的是 () A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，十∞) B.f(x)是偶函数，递减区间是（一∞，2）》 C.f(x)是奇函数，递减区间是（一2,2） D.f(x)是奇函数，递增区间是（一∞，0） 12 [每日格言]成功呈概率分布，关健是你能不能坚持到成功开始呈现的那一刻。 高一数学（配BSD版） 4真题体验 名师叮嘱 研究函数的性质，应先确其定义域（定义域优 1.(多选)(2025·全国二卷)已知f(x)是定 义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)= 先)，复合函数的单调性“同增异减” (x2-3)e十2，则 ( 易错二因忽视分界点满足的条件而致误 A.f(0)=0 tx2+x+2,x≤t, [示例2]已知函数f(x)= B.当x<0时，f(x)=-(x2一3)ex-2 x+1,x>t, C.f(x)≥2当且仅当x≥3 且f(x)在定义域上是单调函数，则实数t D.x=一1是f(x)的极大值点 的取值范围为 2.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是 A.(-∞，-1] B.(1,5) ( C.(-1,2) D.(-1,+∞) A.f()=e-z2 x2+1 名师叮嘱 B.f(c)=cos x+x2 若分段函数在各段上有相同的单调性，要使 x2+1 此分段函数具有单调性，关键使分界段满足单调函 C.f(a)-e*-z 数的定义 x+1 f1(x),x∈(-∞，x), D.f(2)=sin x+4x 若f(x)= 的图象如 e f2(x),x∈[xo,+∞) 3.(2021·全国乙卷)设函数f()=1十 1-x 图(1)时应满足f1(x。)≤f2(x。); 2 则下列函数中为奇函数的是 () () A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 f(x)I (1) 4.(2024·上海卷)已知f(x)=x3+a,且 f(x)是奇函数，则a= f1(x),x∈(-∞，xo), 若f(x)= 的图象如 f2(x),x∈[xo,十o∞) 5易误警示 图(2)时应满足f1(xo)≥f2(xo). 易错一 求单调区间时，忽视定义域而 致误 f(x) [示例1]若函数f(x)=√2-2x-3,则函 数f(x)的单调递增区间为 ;单调 L() 递减区间为 (2) 13寒假作业如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为 .不等式1≤f(x)≤3的解集为{x|一1≤x≤2十√5)， .b-a的最大值为2十√3一(-1)=3+3. 答案器3+3 [易误警示] [示例1][解析]当a≤1时，f(a)=-2a=8,a=-4; 当a>1时，f(a)=2a2=8,a=2. [答案]AC [示例2][解析]对于A,函数f(x)的定义域为R, g(x)的定义域为{xx≠0}，两个函数的定义域不同，所 以不是同一个函数；对于B,由x2一1≥0可得x≤一1 或x≥1，所以函数f(x)的定义域为{xx≤-1或x≥1)， x-1≥0 由 (x+1≥0， 可得x≥1，所以函数g（x)的定义域为 {xx≥1}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函 数；对于C,函数g(x)=|x与函数f(x)=x的对应关 系不同，所以不是同一个函数；对于D,函数f(x)=|x ={亿≥0与画教g的定义战相同，对应关系也 (-x,x<0, 相同，所以是同一个函数.故选D. [答案]D 作业（六）函数的基本性质 [基础演练] 1.Df(x)=-x+1在[2，+∞)上单调递减，A错误； fx)=2在[2，十∞)上为常画数，B错误：f(x)=是在 [2,+∞)上单调递减，C错误；f(x)=x2-2x一3为二 次函数，其图象开口向上，对称轴为x=1,所以f(x)= x2一2x一3在[2，十∞)上单调递增，D正确.故选D. 2.C由题意可知f(2)=22-1=3,因为函数f(x)是奇 函数，所以f(-2)=一f(2)=一3.故选C. 3.A易知函数f(x)=1-2x在[1,2]上单调递减，所 以fx)在[1,2]上的最小位为f2)=号-4=-子.故 选A 4.A当x∈(0，十∞)时，-x∈(-∞，0)，则f(-x)= 一x2一2x①.又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所 以f(-x)=f(x)②.所以由①②得，当x∈(0，十∞) 时，f(x)=一x2-2x,故选A. [综合演练] 1.A因为f(x)是定义在R上的偶函数，且该函数在 (一∞，0]上单调递减，所以函数f(x)在[0，+∞)上单 调递增，由f(2x+3)>f(x+1)可得f(|2x+3|)> f(x+1),所以|2x+3|>|x+11,即|2x+3|2> |x+12,即(x十2)(3x+4)>0,解得x<-2或x> -手故选A 2.AB因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(-1)= f(1)=1-1=0,A正确；当x≥0时，f(x)=x-x2= -(-名)》+子画教)在(0，）上单满道增，在 (日，十∞）上单调递减，最大值为子，又偶函数在对称 区间上单调性相反，最值相同，则函数f(x)在 4 参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 [每日格言] (-©，一2)上单河递增，在（一子0）上单调递减，故 B正确，C错误；因为f(0)=0,所以f(x)>0的解集为 (-1,0)U(0,1),D错误.故选AB. 3.Cf(-x)=-x(|-x|-4)=-x(|x|-4)=-f(x), 定义域是R,故f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x2- 4x,对称轴是x=2,故f(x)在(0,2)上单调递减，在 (2,十∞)上单调递增，根据函数的对称性，得f(x)在 (一∞，一2)上单调递增，在（一2,0）上单调递减.故 选C. 4.解析当a>0时，y=ax在(0，十o∞)上为增函数，当 b<0时，y=。在(0，十0)上为增函数，故当a>0,b<0 时，f(x)=ax十b(ab≠0)在(0，十∞)上为增函数，故a 可取1，b可取一1，故答案可以为(1，一1). 答案(1，一1)（答案不唯一） 5.解析由题意，函数于)=r十红，≥0，是定义 -x2-bx,x<0, 在R上的偶函数，可得f(一x)=f(x),不妨设x>0, 则-x<0,所以-(-x)2-b(-x)=ax2+4x,即-x2 十bx=ax2十4x,可得a=-1,b=4,所以a十b=3.所以 -x2+4x,x≥0， 函数f(x)={ -x2-4x,x<0, 作出函数y=f(x)的图 象，如图所示，可知函数y=f(x)的最大值为f(一2)= f(2)=4,要使得对于任意的x∈[-2,2]，不等式 f(x)<c恒成立，则c>4,所以实数c的取值范围为 (4,+∞). -20 3=fx) 答案3(4，+∞) 6.解析(1)因为函数f(x)=十b是定义在[-2,2]上 x2+a 的奇函数，所以f(0)==0,所以6=0，又f(1)= a 中日所以a=4,所以)年 经检验，该函数为奇函数，故a=4,b=0. (2)f(x)在[-2,2]上单调递增，证明如下： 任取一2≤x1<x2≤2， f(x1)-f(x2)= x7+4x2+4 =1(号+4)-x2(z好+4) (x+4)(x+4) =1x号十4红1-x2x号-4x2 (x+4)(x3+4) =x12(x2-x1）-4(x2-x1) (x+4)(x号+4) =（x1x2-4)(x2-x1) (x1十4)(x十4) [每日格言]坚强的信心，能使平凡的人做出惊人的 其中x1x2-4<0,x2-x1>0, 所以f(x1)-f(x2)<0→f(x1)<f(x2), 故f(x)在[-2,2]上单调递增. (3)由于对任意的x1∈[-2,2]，总存在x2∈[-1,2]， 使得f(x1)=g(x2)成立， 所以f(x)的值域为g(x)的值域的子集。 而2②知，fe[-子] 当>0时，g(x)在[-1,2]上单调递增， g(x)∈[1-k,8k+1], - 所以 2≤8+1， 当k<0时，g(x)在[-1,2]上单调递减， g(x)∈[8k+1,1-k], +1<- 所以 2≤1-， 八即长一品 综上长一品或≥县 故若对任意的x1∈[-2,2]，总存在x2∈[-1,2]，使得 f(x1)=g(x2)成立，则实数的取值范围为 (-o,最]u[号+ [真题体验] 1.ABD对A,因为f(x)是定义在R上奇函数，则f(0)=0, 故A正确； 对B,当x<0时，一x>0,则f(x)=f(一x)= -[(-x)2-3)ex+2]=-(x2-3)ex-2,故B 正确； 对C,f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2,故C 错误； 对D,当x<0时，f(x)=(3-x2)ex-2,则f(x)= -(3-x2)ex-2xex=(x2-2x-3)e-x, 令f(x)=0,解得x=-1或3（舍去）， 当x∈(-∞，一1)时，f(x)>0,此时f(x)单调递增， 当x∈(-1,0)时，f(x)<0,此时f(x)单调递减， 则x=一1是f(x)的极大值点，故D正确；故选ABD. 2.B解法一对于A,定义域为R,f(一x)= 二-+青≠，成)不美格画鼠 对于B,f(-x)=os（二)t()2=osx+x (-x)2+1 x2+1 f(x),故f(x)是偶函数；对于C,f(x)的定义域为{x|x ≠一1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D, 定义城为R,f(-x)=sin(-）十4(-z）=一sinx-4红 el-z =-sinx十4虹=一f(x),故f(x)是奇函数.故选B. elxl 解法二（特珠值法）对于A,1)=号， -1D=+=2,≠-1，数不是 1+1 一4 业。 高一数学（配BSD版） 偶函数；对于B,f(-x）=os(一x)十(-x)2 (-x)2+1 osx十卫=f(r),故f(x)是偶函数；对于C,f(x)的 x2+1 定义域为{xx≠一1}，不关于原点对称，故f(x)不是 偶函数；对于D,f()=血时红=折，f(-)= el 如红=。经f≠f(-x),故f)不是偶 el-xl 函数.故选B. 解法三（性质法）易知y=x2+1与y=eπ均为偶 函数，且恒为正. 对于A,由于y=e2一x2是非奇非偶函数，所以f(x)也 是非奇非偶函数；对于B,y=cosx十x2是偶函数，所以 f(x)是偶函数；对于C,易知f(x)的定义域不关于原 点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D,y=sinx 十4x是奇函数，所以f(x)是奇函数.故选B. 3B)=-1十异共国象的对#中心为(-1，-1》，将 y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向 上平移1个单位可得函数f(x一1)十1的图象，且该图 象关于点(0,0)对称，所以函数∫(x一1)十1是奇函数. 故选B. 4.解析解法一因为f(x)是奇函数，所以f(一x)= -f(x),即(-x)3+a=-(x3+a),得a=0. 解法二因为f(x)是奇函数，所以f(0)=a=0.经检 验，a=0符合题意. 答案0 [易误警示] [示例1][解析]由题意得x2一2x-3>≥0，解得x≤-1 或x≥3，所以f(x)的定义域为（一∞，一1]U[3,+∞）. 函数f(x)=√x2-2x-3可以看作由y=E,t=x2-2x-3 复合而成.因为y=D单调递增，t=x2一2x一3在 (一∞，一1]上单调递减，在[3，十∞)上单调递增，所以 f(x)在(-∞，一1]上单调递减，在[3，十∞)上单调递 增.故f(x)的单调递增区间为[3，十∞)，单调递减区间 为(-∞，-1]. [答案][3，十∞)(-∞，-1] [示例2][解析]由于函数y=x十1在定义域上单调 递增，所以函数∫(x)在定义域上是单调递增函数 当=0时，函数f(x)二：1：0在定义城上不单 调，不符合题意；当t≠0时，函数y=x2十x十2图象的 对称轴为x=一分，当>0时，函数y=2十x十2在 区同（一0，一）上单洞递减，不特合题意，当K0 时，画数y=x2十x十2在区间(-0，一)上单词递 增，要使函数f(x)在定义域上单调递增，则需t十1≥ t3十t十2，即t3≤一1，解得t≤一1.故实数t的取值范围 为(-∞，-1].故选A. [答案]A ●入