作业(六) 函数的基本性质-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

作业(六) 函数的基本性质 　　　函数的基本性质 1.函数的单调性 增函数 减函数 设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称f(x)在区间I上单调递增，I叫做f(x)的递增区间 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称f(x)在区间I上单调递减，I叫做f(x)的递减区间 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D，都有f(x)≤M； ∃x0∈D，使得f(x0)＝M ∀x∈D，都有f(x)≥M； ∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 那么称M是函数f(x)的最大值 那么称M是函数f(x)的最小值 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)的就叫做偶函数 关于y 轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原 点对称 设f(x)，g(x)的定义域分别为D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论： f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)－g(x) f(x)·g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 (1)若0在奇函数f(x)的定义域中，则f(0)＝0. (2)若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在关于原点的对称区间上单调性相同，偶函数在关于原点的对称区间上单调性相反. 1.下列函数在[2，＋∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)＝－x＋1 B.f(x)＝2 C.f(x)＝ D.f(x)＝x2－2x－3 2.(2025·承德一中高一期中) 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－1，则f(－2)＝(　　) A.－　　　　　　 B.－ C.－3 D.3 3.函数f(x)＝－2x在区间[1,2]上的最小值是(　　) A.－ B. C.1 D.－1 4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2＋2x，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝(　　) A.－x2－2x B.－x2＋2x 1.若定义在R上的函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(x)为偶函数，则不等式f(2x＋3)>f(x＋1)的解集为(　　) A.(－∞，－2)∪ B.(－∞，－4)∪ C. D. 2.(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　) A.f(－1)＝0 B.f(x)的最大值为 C.f(x)在(－1,0)上单调递增 D.f(x)>0的解集为(－1,1) 3.已知函数f(x)＝x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数，递增区间是 B.f(x)是偶函数，递减区间是 C.f(x)是奇函数，递减区间是 4.(开放创新)已知函数f(x)＝ax＋，使f(x)在(0，＋∞)上为增函数的a与b组成的有序实数对为(a，b)，则(a，b)可以是________.(写出一个符合题意的有序实数对即可) 5.已知函数f(x)＝是定义在R上的偶函数，则a＋b＝__________；若对于任意的x∈[－2,2]，不等式f(x)<c恒成立，则实数c的取值范围为________. 6.已知函数f(x)＝是定义在[－2,2]上的奇函数，且f(1)＝. (1)求实数a，b的值； (2)判断f(x)在[－2,2]上的单调性，并用定义证明； (3)设g(x)＝kx2＋2kx＋1(k≠0)，若对任意的x1∈[－2,2]，总存在x2∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围. 1.(多选)(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　) A.f(0)＝0 B.当x<0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x＝－1是f(x)的极大值点 2.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 3.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1 C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1 4.(2024·上海卷)已知f(x)＝x3＋a，且f(x)是奇函数，则a＝________. 易错一　求单调区间时，忽视定义域而致误 [示例1]　若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为________；单调递减区间为________. 研究函数的性质，应先确其定义域(定义域优先)，复合函数的单调性“同增异减”.　 易错二　因忽视分界点满足的条件而致误 [示例2]　已知函数f(x)＝且f(x)在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为(　　) A.(－∞，－1] B.(1,5) C.(－1,2) D.(－1，＋∞) 若分段函数在各段上有相同的单调性，要使此分段函数具有单调性，关键使分界段满足单调函数的定义. 若f(x)＝)的图象如图(1)时应满足f1(x0)≤f2(x0)； 若f(x)＝)的图象如图(2)时应满足f1(x0)≥f2(x0). 　 作业(六)　函数的基本性质 答案 [基础演练] 1.D　f(x)＝－x＋1在[2，＋∞)上单调递减，A错误；f(x)＝2在[2，＋∞)上为常函数，B错误；f(x)＝在[2，＋∞)上单调递减，C错误；f(x)＝x2－2x－3为二次函数，其图象开口向上，对称轴为x＝1，所以f(x)＝x2－2x－3在[2，＋∞)上单调递增，D正确.故选D. 3.A　易知函数f(x)＝－2x在[1,2]上单调递减，所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)＝－4＝－.故选A. 4.A　当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，则f(－x)＝－x2－2x①.又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)②.所以由①②得，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－x2－2x.故选A. [综合演练] 1.A　因为f(x)是定义在R上的偶函数，且该函数在(－∞，0]上单调递减，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由f(2x＋3)>f(x＋1)可得f(|2x＋3|)>f(|x＋1|)，所以|2x＋3|>|x＋1|，即|2x＋3|2>|x＋1|2，即(x＋2)(3x＋4)>0，解得x<－2或x>－.故选A. 2.AB　因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝1－1＝0，A正确；当x≥0时，f(x)＝x－x2＝－2＋，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，最大值为，又偶函数在对称区间上单调性相反，最值相同，则函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误；因为f(0)＝0，所以f(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1)，D错误.故选AB. 3.C　f(－x)＝－x(|－x|－4)＝－x(|x|－4)＝－f(x)，定义域是R， 故f(x)是奇函数， 当x>0时，f(x)＝x2－4x，对称轴是x＝2， 故f(x)在上单调递减，在上单调递增， 根据函数的对称性，得f(x)在上单调递增，在上单调递减.故选C. 4.解析　当a>0时，y＝ax在(0，＋∞)上为增函数，当b<0时，y＝在(0，＋∞)上为增函数，故当a>0，b<0时，f(x)＝ax＋(ab≠0)在(0，＋∞)上为增函数，故a可取1，b可取－1，故答案可以为(1，－1). 答案　(1，－1)(答案不唯一) 5.解析　由题意，函数f(x)＝是定义在R上的偶函数，可得f＝f(x)，不妨设x>0，则－x<0，所以－2－b＝ax2＋4x，即－x2＋bx＝ax2＋4x，可得a＝－1，b＝4，所以a＋b＝3.所以函数f(x)＝作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，可知函数y＝f(x)的最大值为f＝f＝4，要使得对于任意的x∈，不等式f(x)<c恒成立，则c>4，所以实数c的取值范围为(4，＋∞). 答案　3　(4，＋∞) 6.解析　(1)因为函数f(x)＝是定义在[－2,2]上的奇函数，所以f(0)＝＝0，所以b＝0，又f(1)＝＝，所以a＝4，所以f(x)＝. (2)f(x)在[－2,2]上单调递增，证明如下： 任取－2≤x1<x2≤2， f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝ ＝ ＝， 其中x1x2－4<0，x2－x1>0， 所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)， 故f(x)在[－2,2]上单调递增. (3)由于对任意的x1∈[－2,2]，总存在x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)成立， 所以f(x)的值域为g(x)的值域的子集. 而由(2)知，f(x)∈. 当k>0时，g(x)在[－1,2]上单调递增， g(x)∈[1－k,8k＋1]， 当k<0时，g(x)在[－1,2]上单调递减， g(x)∈[8k＋1,1－k]， 所以即k≤－. 综上，k≤－或k≥. 故若对任意的x1∈[－2,2]，总存在x2∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数k的取值范围为∪. [真题体验] 1.ABD　对A，因为f(x)是定义在R上奇函数，则f(0)＝0，故A正确； 对B，当x<0时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－[((－x)2－3)e－x＋2]＝－(x2－3)e－x－2，故B正确； 对C，f(－1)＝－(1－3)e－2＝2(e－1)>2, 故C错误； 对D，当x<0时，f(x)＝(3－x2)e－x－2，则f′(x)＝－(3－x2)e－x－2xe－x＝(x2－2x－3)e－x， 令f′(x)＝0，解得x＝－1或3(舍去)， 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增， 当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减， 则x＝－1是f(x)的极大值点，故D正确；故选ABD. 2.B　解法一　对于A，定义域为R，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，定义域为R，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数.故选B. 解法二　(特殊值法)　对于A，f(1)＝＝，f(－1)＝＝，f(1)≠f(－1)，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，f(π)＝＝，f(－π)＝＝，f(π)≠f(－π)，故f(x)不是偶函数.故选B. 解法三　(性质法)　易知y＝x2＋1与y＝e|π|均为偶函数，且恒为正. 对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数；对于B，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f(x)是偶函数；对于C，易知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f(x)是奇函数.故选B. 3.B　f(x)＝－1＋，其图象的对称中心为(－1，－1)，将y＝f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x－1)＋1的图象，且该图象关于点(0,0)对称，所以函数f(x－1)＋1是奇函数.故选B. 4.解析　解法一　因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即(－x)3＋a＝－(x3＋a)，得a＝0. 解法二　因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝a＝0.经检验，a＝0符合题意. 答案　0 [易误警示] [示例1]　[解析]　由题意得x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞).函数f(x)＝可以看作由y＝，t＝x2－2x－3复合而成.因为y＝单调递增，t＝x2－2x－3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增.故f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]. [答案]　[3，＋∞)　(－∞，－1] [示例2]　[解析]　由于函数y＝x＋1在定义域上单调递增，所以函数f(x)在定义域上是单调递增函数. 当t＝0时，函数f(x)＝在定义域上不单调，不符合题意；当t≠0时，函数y＝tx2＋x＋2图象的对称轴为x＝－，当t>0时，函数y＝tx2＋x＋2在区间上单调递减，不符合题意，当t<0时，函数y＝tx2＋x＋2在区间上单调递增，要使函数f(x)在定义域上单调递增，则需t＋1≥t3＋t＋2，即t3≤－1，解得t≤－1.故实数t的取值范围为(－∞，－1].故选A. [答案]　A 学科网（北京）股份有限公司 $