假期作业四 二次函数与一元二次方程、不等式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业

快乐假期 00= 温故而知新，可以为师矣。 假期作业四 二次函数与一元二次方程、不等式 完成日期： 月 日 思维整合室 要点记忆 知识梳理 三个“二次”之间的关系 三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间 次函数主要是将问题转化为一元二次方程和 的关系 一元二次不等式的形式来研究，而讨论一元二 二次函数 元二次不等式 次方程和一元二次不等式又要将其与相应的 元二次 y= ax? △= 方程ax2 ax2+bx+c-0 二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质 +bx+c 来解决问题，关系如下： b2-Aac +bx+c 的解集 (a>0) ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)的解集端点 =0(a>0) 的图象 a>0 a<0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点 有两相异 《技能提升台 实数根 技能提升 △>0 X1.2= 1.下列四个不等式： (x1<x2) ①-x2+x+1≥0；②x2-25x+W5>0; ③x2+6x+10>0:④2x2-3.x+4<1. 有两相等 解集为R的是 ( 实数根 A.① B.② C.③ D.④ △=0 0=x1=x2= 2.不等式0的解集是 () A{>号或<-} △<0 B{-<} 0 c{>} 自测自查 D{<} -b士√-4ac 2a {x|x<x1,或x>x2} 3.若关于x的不等式x2一6x一m≥0对任意 x∈R恒成立，则m的最大值为() {xx1<x<x2} 2a {xlx∈R,x≠ A.9 B.-6 ☑没有实数根R C.-9 D.6 ·8· 三0022 一数 4.对任意a∈[-1,1]，函数f(x)=x2+(a- 10.在R上定义运算☒：x☒y=x(1一y).若不 4)x+4一2a的值恒大于零，则x的取值范 等式(x-a)⑧(x+a)<1对任意的实数x 围是 ) 都成立，则a的取值范围是 A.(1,3) B.(-∞，1)U(3,+∞) 11.在解方程x2十px十q=0时，甲同学看错了 C.(1,2) D.(-∞，1)U(2,+o∞) p,解得方程的根为x1=1,x2=一3；乙同学 5.某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若 看错了q,解得方程的根为x1=4,x2=一2.则 每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服 方程中的p= q= 均被租出；若将每套礼服每天的租价在200 12.解不等式：(x2-4x+4)(x2-4x+3)≥0 元的基础上提高10x元(1≤x≤20，x∈Z), 则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼 服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24 万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租 价应定为 () A.220元 B.240元 C.250元 D.280元 6.已知关于x的不等式x2一(a+1)x+a<0 恰有四个整数解，则实数a的取值范围是 13.解关于x的不等式x2-(a十a2)x+a3>0. A.{a|5<a≤6》 B.{a|-4≤a<-3} C.{a|-4≤a<-3或5<a≤6} D.{a|-4<a≤-3或5≤a<6} 7.(多选)若使不等式x2十(a十2)x+2a≤0成 立的任意一个x都满足不等式x一1≤0，则 常数a可以是 () A.1 B.0 14.已知不等式mx2一2x一m+1<0,是否存 C.-2 D.-1 在实数m对所有的实数x,不等式恒成立？ 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请 8.(多选)在R上定义运算： a b c d =ad-bc, 说明理由. 若不等式 x-1a-2 a+l x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a可以是 A.- 2 B.不变 c D号 9.已知关于x的不等式ax2一bx十c>0的解 高考冲浪 集是 2小对于系数a,b,(有下列 1.(2025·天津卷，15)若a,b∈R,Hx∈[-2， 说法： 2],均有(2a十b)x2+bx-a-1≤0恒成立， ①a>0;②b>0:③c>0;④a+b+c>0; 则2a十b的最小值为 ⑤a-b+c>0. 2.(2024·上海卷，3)不等式x2一2x一3<0的 正确的序号是 解集为 ·9三0022 7.CD[对于A,x与2的和是非负数，应表示为“x十2 0”,故A错误；对于B,小明比小华轻，应表示为“x<y”, 故B错误；C、D正确.] 8.AC[对于A,若a>b>0,当c=0时，ac2=bc2,故A满 足题意：对于B,若a>b>0,则a2一b2=(a十b)(a一b)> 0,即a2>b2,故B不满足题意；对于C,若a<b<0,则a2 >ab,ab>b2,即a2>ab>b2,故C满足题意：对于D,若a <<0,则-大=>0，即>方，故D不满足 a b ab 题意.] 9.解析：因为(a十3)(a-5)一(a十2)(a一4) =(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0, 所以(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4). 答案：< 10解析：若a6同号，别。><六所以a>0且0 答案：a>0>b 11.解析：由-1<a<1,-1<31,得-1<-1， 所以-2<a-B<2,又a<3,故-2<a-<0, 即a一3的取值范国是（一2,0）. 答案：(-2,0) 12.解：(1)因为0<a<b且a十b=1, 所以0a<号b, a2+62-b=a2+b(b-1)=a2-ab =a(a-b)<0, 所以a2+b2<b. (2)因为2ab-子=2a1-a0)-司 =-2a2+2a-2=-2(a2-a+7）】 =-2(a-)<0 所以2ab<2 13.证明：1)由于b-4=-a2b+a)(b-a2 a b ab ab .a<b<0,∴.b+a<0,b-a>0,ab>0, +a<0,故会<号 ab (2)11 古 即b4<0, ab 而a>b,∴.b-a<0,∴.ab>0. 14.解：甲同学做得不对.因为同向不等式具有可加性，但不 能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的 乙同学做得不对.因为不等式两边同乘以一个正数，不 等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号的方向改 变，在本题中只知道一6<a<8.不明确a值的正负，故 不能情甘行日与6<8两边分别相泉，只有两 边都是正数的同向不等式才能分别相乘 ·4 高一数学 丙同学做得不对.同向不等式两边可以相加，这种转化 不是等价变形，丙同学将2<a-b<4与一2<a十b<2 两边相加得0<a<3,又将-4<b-a<-2与一2<a十b <2两边相加得出-3<b<0,又将该式与0<a<3两边 相加得出一3a十b<3,多次使用了这种转化，导致了 a十b范围的扩大 高考冲浪 C [由号≥2分子≥0台告<0台 1(x-1)(x+2)≤0台-2≤x<1.] x-1≠0 假期作业四二次函数 与一元二次方程、不等式 技能提升台技能提升 1.C2.A3.C4.B 5.C「依题意，每天有(300一10x)套礼服被租出，该礼服租 货公司每天租货礼服的收入为(300-10x)·(200+10x) =-100x2+1000x十60000（元）. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24 万元， 所以-100.x2+1000x+60000>62400, 即x2-10x+24<0,解得4<x<6. 因为1≤x≤20且x∈Z,所以x=5, 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元，] 6.C[不等式x2-(a+1)x+a<0,可化为(x-a)(x-1) <0. 当a=1时，不等式x2-(a十1)x十a<0的解集为空集， 不符合题意； 当a>1时，不等式x2一(a十1)x+a<0的解集为{x1 x<a}, 要使不等式x2一(a十1)x十a0恰有四个整数解，则5< a6; 当a<1时，不等式x2-(a十1)x十a<0的解集为{xa< x<1}, 要使不等式x2-(a十1)x十a<0恰有四个整数解，则一4 ≤a<-3. 综上可得，实数a的取值范围是{a一4a一3或5<a ≤6.] 7.ACD 8.ACD 9.010.(·2) 11.-2-3 12.解：原不等式可化为一2≠0， 或x-2=0,解得x (x-1)(x-3)0 ≥3或x≤1或x=2. 所以原不等式的解集为{xx≥3或x≤1或x=2. 13.解：原不等式可化为(x-a)(.x一a2)>0. 当a<0时，a<a2,解集为{xxa或x>a2}: 当a=0时，a2=a,解集为{xx≠0}； 当0<a<1时，a2<a,解集为{xx<a2或x>a}: 当a=1时，a2=a,解集为{xx≠1}： 飞壁快乐假期 当a>1时，aa2,解集为{xxa或x>a}. 综上所述，当a0,或a>1时， 解集为{xx<a或x>a2}; 当0<a<1时，解集为{xx<a2或x>a}: 当a=0时，解集为{xx≠0}； 当a=1时，解集为{xx≠1}. 14.解：若不等式mx2-2x-m十1<0恒成立， 即函数f(x)=mx2-2x一m十1的图象全部在x轴 下方. 当m=0时1-2<0，则>，不满足题意： 当m≠0时，函数f(x)=m.x2-2x-m十1为二次函数， 需满足开口向下且方程m.x2-2x-m十1=0无解， 即∫m<0, "△=4-4m(1-m)<0, 不等式组的解集为空集，即m不存在. 综上可知不存在这样的m. 高考冲浪 1.解折：取x=-合，得子(2a十)-合（2a十b)-1<0,即 2a+b≥-4. 芳一方面，取2a+6=-4,202+0=一名，此时6= 4,a=0, (2a+b)x2+bx-a-1≤0即-4.x2-4.x-1≤0，亦即(2x 十1)2≥0，显然恒成立，符合题意.故2a十b的最小值为 -4. 答案：一4 2.解析：将不等式分解因式得(x一3)(x十1)<0，解得-1< x3. 答案：(-1,3) 假期作业五 函数的概念及其表示 技能提升台技能提升 1.C2.C 3.C[根据函数的定义选C.] 4.B[设g(x)=a.x2+bx+c(a≠0)，因为g(1)=1, g(-1)=5,且图象过原点， a+b+c=1, a=3, 所以a-b+c=5,解得b=-2, (c=0, (c=0, 所以g(x)=3x2-2x.] 5.A「圆壶的结构是底端与上端细、中间粗，所以在注水水 流速度恒定的情况下，开始时水的高度增加的快，中间增 加的慢，最后水的高度增加的速度又变快，由图可知选项 A符合题意.门 6.C[显然，f0)=子.当≠0时，f)=2 x2+1-2 +名+ 2(x2+1) x .1=2,当且 令1=当>0时1=+>2… 仅当x=1时等号成立， ·4 900-= 当<0时1=x+≤-2-0·（)=-2。 当且仅当x=一1时等号成立， ≤f(x)<2 2 鲸上所速，)的位城为[日·引片以，旅据病新西 数的定义，函数y=[f(x)]的值域是{-1,0,1}.] 7.ABC[函数y=x2-4x-4的图象如图，f(0)=f(4)= -4,f(2)=一8.因为函数y=x2-4x一4的定义域为 [0,m],值域为[-8，一4]，所以实数m的取值范围 是[2,4].] 8x=2x2-4x-4 4/8 -8-40 8C因为)-号所以- 1()2=f), ()片 +)】 x2+1 x2-1 =-f(x), () x2+1 x2-1 fx),故选A,C.] 9.[2,11] 10.2x-号或-2x+111.21或3 12.解：D由题意得f(号)】 =f(+)=() =f(-3+)=f(合)=2×2+1=2 (2)当0<a<2时，由f(a)=2a+1=4, 得a=， 当a≥2时，由f(a)=a2-1=4,得a=√5或 a=-(会去).综上所述a=号或a=6. 13.解：(1)设t=√7+1，则x=(t-1)2(t≥1)， 代入原式，有f(t)=(t-1)2+2(t-1) =t-2t+1+2t-2=t2-1, 所以f(x)=x2-1(x≥1). (2)因为fx)是一次函数，可设f(x)=a.x十b(a≠0)， 所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2.x+17. 即a+(5a+b)=2x+17.因此应有{=2， 15a+b=17, 解得∫a=2, 故f(x)的解析式是f(x)=2x+7. b=7.