假期作业三 等式性质与不等式性质-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业

飞壁快乐假期 6.A[若[x]=[y]=m,n∈Z,则有x=n十d1y=n十d2, 0≤d1<1,0≤d2<1,所以|x-y=|d1-d2|<1,所以 [x]=[y]是|x一y|<1的充分条件；反之，若|x-y<1, 比如x=3.9,y=4.1,则有x-y=0.2<1,根据定义，[x] =3,[y]=4,[x]≠[y],即不是必要条件.故“[x]=[y]” 是“|x一y<1”的充分不必要条件.] 7.BD[由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯 泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是g的充分不必要 条件：电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮， 则开关S一定闭合，故B中p是g的充要条件：电路图C 中，开关S闭合，灯泡1不一定亮，灯泡L亮，则开关S一 定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中， 开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭 合，故D中p是q的充要条件.] 8.ABD[C选项是全称量词命题，A,B,D选项符合题意.] 9.①②③④ 10解析：根据特称命题为假命题，可知“Vx∈R,x一m十 1≥0”为真命题，由此分离参数，即可求得答案. 由题意知命题“臼x∈R,x器一m十1<0”为假命题， 则命题“Hx∈R,x器一m十1≥0”为真命题，即Vx∈R, x器+1≥m, 由于Vx∈R,x器=Wx2026≥0，x=0时取等号，故Vx ∈R,x2+1≥1， 所以m1,即m的取值范围为（一o,1]. 答案：(-o∞，1] 11.0a2 12.解：(1)存在量词命题.x=2时，x一2=0成立.所以命题 是真命题. (2)全称量词命题，邻边不相等的矩形的对角线不垂直，所 以，全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题. (3)全称量词命题，三角形中，两边之和大于第三边，所以， 全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题， (4)存在量词命题.3是素数也是奇数，所以，存在量词命 题“有些素数是奇数”是真命题 13.解：由x2-x-2>0,解得x>2,或x<-1, 令A={xx>2或x<-1}, 由4+p0,得B={<-} 当BCA时，即- ≤-1即≥4， 此时x<-号≤-1p2--2>0, ∴.当p≥4时，4x十p<0是x2-x-2>0的充分条件. 14.解：由命题p为假命题，可知p:Hx∈R,a.x2+2x-1 ≠0为真命题， 当a=0时，Hx∈R,2x-1≠0，显然不成立： 当a≠0时，只需△=4十4a<0→a<一1. 所以A={aa<-1}. 选①：“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 则B手A, 当B=财时，3m≥m十2→m≥1，满足要求： 女 000-= 当B≠时，3m<m+2, 1m+2≤-1， 解得m≤一3. 所以实数m的取值范围是{mm≤-3或m≥1}. 选②：“x∈B”是“x∈CRA”的充分条件，则B二CRA,而 CRA={aa≥-1}， 当B=☑时，3m≥m十2→m≥1，满足要求： 当月≠心时，m2将得-号≤m<1. 3m≥-1， 所以实数m的取值范国是{mm≥-言} 选③：B∩(CRA)=0, 当B=0时，3m≥m十2→m≥1，满足要求： 当B≠时，3m<m+2, ”1m+2≤-1， 解得m≤-3. 所以实数m的取值范围是{mm≤-3或m≥1. 高考冲浪 1.A[本题考查了命题的充要条件，由x=0→sin2x=sin0 =0,由in2x=02x=kmx-经，k∈Z不一定为x=0 .'sin 2x=0x=0 .x=0是sin2x=0的充分不必要条件.] 2.B[由x=0不成立知p假，x=1时成立知g真，所以 选B.] 3.C[根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3→a=b →30=3,34=30→a=b→a3=b3,所以二者互为充要 条件.] 假期作业三等式性质与不等式性质 技能提升台技能提升 1.D[由题意可知，另一段绳子的长度为(5-x)m,因为两 段绳子的长度之差不小于1m,所以 {x-(5x)川≥1即2-5≥1 (0<x<5, (0<x5. 2.C[原不等式可变形为a2+b2-2labl=|a2+lb2-2abl =(|a-|b)2≥0，对任意实数都成立.] 3B[因为a<<0,不坊令a=-3,b=-2,则-子> 名可锋除A:(-3)>(-2,可静路C号=1 可将隆D而专>子中>方B正确.] 4.B[-1a<0,.1+a>0,0<-a<1, .-a-a2=-a(1+a)>0,a2-(-a3) =a2(1+a)>0,∴.-a>a2>-a3.] 5.B[因为a<-3动，所以b<0,则有名<0， 所以-3b· 以0≤引 <3.] 6.D[设购买的篮球个数为x,足球个数为y,且y∈N*, /x≥8， 根据题意可得{y≥2， (120x+140y≤1500， 解得符合题意的有序实数对(x,y)可以是(8,2)，(8,3)， (9,2),(9,3),(10,2),共5种不同的选购方式.] 三0022 7.CD[对于A,x与2的和是非负数，应表示为“x十2 0”,故A错误；对于B,小明比小华轻，应表示为“x<y”, 故B错误；C、D正确.] 8.AC[对于A,若a>b>0,当c=0时，ac2=bc2,故A满 足题意：对于B,若a>b>0,则a2一b2=(a十b)(a一b)> 0,即a2>b2,故B不满足题意；对于C,若a<b<0,则a2 >ab,ab>b2,即a2>ab>b2,故C满足题意：对于D,若a <<0,则-大=>0，即>方，故D不满足 a b ab 题意.] 9.解析：因为(a十3)(a-5)一(a十2)(a一4) =(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0, 所以(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4). 答案：< 10解析：若a6同号，别。><六所以a>0且0 答案：a>0>b 11.解析：由-1<a<1,-1<31,得-1<-1， 所以-2<a-B<2,又a<3,故-2<a-<0, 即a一3的取值范国是（一2,0）. 答案：(-2,0) 12.解：(1)因为0<a<b且a十b=1, 所以0a<号b, a2+62-b=a2+b(b-1)=a2-ab =a(a-b)<0, 所以a2+b2<b. (2)因为2ab-子=2a1-a0)-司 =-2a2+2a-2=-2(a2-a+7）】 =-2(a-)<0 所以2ab<2 13.证明：1)由于b-4=-a2b+a)(b-a2 a b ab ab .a<b<0,∴.b+a<0,b-a>0,ab>0, +a<0,故会<号 ab (2)11 古 即b4<0, ab 而a>b,∴.b-a<0,∴.ab>0. 14.解：甲同学做得不对.因为同向不等式具有可加性，但不 能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的 乙同学做得不对.因为不等式两边同乘以一个正数，不 等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号的方向改 变，在本题中只知道一6<a<8.不明确a值的正负，故 不能情甘行日与6<8两边分别相泉，只有两 边都是正数的同向不等式才能分别相乘 ·4 高一数学 丙同学做得不对.同向不等式两边可以相加，这种转化 不是等价变形，丙同学将2<a-b<4与一2<a十b<2 两边相加得0<a<3,又将-4<b-a<-2与一2<a十b <2两边相加得出-3<b<0,又将该式与0<a<3两边 相加得出一3a十b<3,多次使用了这种转化，导致了 a十b范围的扩大 高考冲浪 C [由号≥2分子≥0台告<0台 1(x-1)(x+2)≤0台-2≤x<1.] x-1≠0 假期作业四二次函数 与一元二次方程、不等式 技能提升台技能提升 1.C2.A3.C4.B 5.C「依题意，每天有(300一10x)套礼服被租出，该礼服租 货公司每天租货礼服的收入为(300-10x)·(200+10x) =-100x2+1000x十60000（元）. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24 万元， 所以-100.x2+1000x+60000>62400, 即x2-10x+24<0,解得4<x<6. 因为1≤x≤20且x∈Z,所以x=5, 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元，] 6.C[不等式x2-(a+1)x+a<0,可化为(x-a)(x-1) <0. 当a=1时，不等式x2-(a十1)x十a<0的解集为空集， 不符合题意； 当a>1时，不等式x2一(a十1)x+a<0的解集为{x1 x<a}, 要使不等式x2一(a十1)x十a0恰有四个整数解，则5< a6; 当a<1时，不等式x2-(a十1)x十a<0的解集为{xa< x<1}, 要使不等式x2-(a十1)x十a<0恰有四个整数解，则一4 ≤a<-3. 综上可得，实数a的取值范围是{a一4a一3或5<a ≤6.] 7.ACD 8.ACD 9.010.(·2) 11.-2-3 12.解：原不等式可化为一2≠0， 或x-2=0,解得x (x-1)(x-3)0 ≥3或x≤1或x=2. 所以原不等式的解集为{xx≥3或x≤1或x=2. 13.解：原不等式可化为(x-a)(.x一a2)>0. 当a<0时，a<a2,解集为{xxa或x>a2}: 当a=0时，a2=a,解集为{xx≠0}； 当0<a<1时，a2<a,解集为{xx<a2或x>a}: 当a=1时，a2=a,解集为{xx≠1}：假期作业三 等式性质与 〈《思维整合室 知识梳理 1.两个实数比较大小的方法 [a-b>OFa b, (1)作差法{a一b=0台a 6, a-b<0台a b. (2)作商法 >1(a∈R,b>0)=a b b(a∈R,b>0), a=1台a b(a,b≠0)， 8<Ia∈R>0)a b(a∈R,b>0). 2.不等式的性质 (1)对称性：a>b台b<a; (2)传递性：a>b,b>c→a>c; (3)可加性：a>b台a十c b+c; (4)同向可加性：a>b,c>d→a十cb十d; (5)可乘性：a>b,c>0→ac bc; a>b,c<0→ac<bc; (6)同向可乘性：a>b>0,c>d>0→ac bd; (7)可乘方性：a>b>0→a” b”(n∈ N,n≥1). 自测自查 1.(1)> (2)> 2.(3)> (4)> (5)> <(6)> (7)> 要点记忆 1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、 综合法、分析法、反证法、放缩法. 2.有关分式的性质 (1)若a>b>0,m>0,则<b+m aa+m 6b-m(b-m>0). a a-m (2)若ab>0,则a>b1< 90M-= 不等式性质 学然后知不足，教然后知困。 完成日期： 月 日 《(技能提升台 技能提升 1.将一根长5m的绳子截成两段，已知其中一 段的长度为xm,若两段绳子长度之差不小 于1m,则x所满足的不等式关系为( (2x-5≥1 A. B. 5-2.x≥1 10<x<5 0<x<5 C.2x-5≥1或5-2x≥1D. (2x-5|≥1 0<x<5 2.不等式a+b≥2|ab成立时，实数a,b一 定是 A.正数 B.非负数 C.实数 D.不存在 3.已知a<b<0,则下列式子恒成立的是 ( A.1<1 ·ab B.1>1 ab C.a2<62 D.8<1 4.已知-1<a<0,则-a,-a3,a2的大小关 系是 () A.a2>-a3>-a B.-a>a2>-a C.-a3>-a>a D.a2>-a>-a3 5.已知b<a<-3b,则 的取值范围为 a{8l<3 B{会lo≤<3} c8l>y {8<<3 6.体育课是体育教学的基本组织形式，主要使 学生掌握体育与保健基础知识、基本技术、 技能，实现学生的思想品德教育，提高其运 动技术水平.新学期开学之际，某校计划用 不超过1500元的资金购买单价分别为120 元的篮球和140元的足球.已知该校至少要 三0022 购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不 同的选购方式有 () A.6种 B.7种 C.8种 D.5种 7.(多选)下面列出的几种不等关系中，正确 的是 () A.x与2的和是非负数，可表示为“x十2>0” B.小明的体重为x,小华的体重为y,则小 明比小华轻可表示为“x>y” C.△ABC的两边之和大于第三边，记三边 分别为a,b,c,则可表示为“a+b>c且 a+c>b且b+c>a” D.若某天的最低温度为7℃，最高温度为 13℃，则这天的温度t可表示为“7℃≤t ≤13℃” 8.(多选)下列不等式中不成立的是() A.若a>b>0,则ac2>bc B.若a>b>0,则a2>b C.若a<b<0,则a2<ab<b D若ac0.则>分 9.已知a为实数，则(a十3)(a-5) (a十2)(a-4).(填“>”“<”或“=”) 10.不等式a>6和是>同时成立的条件是 11.若一1<a<B<1,则a一B的取值范围 是 12.已知0<a<b且a十b=1,试比较： (1)a2+b与b的大小： (2)2ab与2的大小 13.(1a<<0,求证：台<号： (2)已知a>b, 分求证6>0 14.下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目， 请你看看他们做得对吗？如果不对，请指 出错误的原因， 甲：因为-6<a<8,-4<b<2, 所以-2<a-b<6. 乙：因为2<<3，所以}<1<1」 3b21 又因为-6<a<8,所以-2<号<4. 丙：因为2<a-b<4, 所以-4<b-a<-2. 又因为-2<a十b<2, 所以0<a<3,-3<b<0, 所以-3<a+b<3. 高考冲浪 (2025·全国二卷，4)不等式二>2的解 集是 () A.{x|-2≤x≤1》 B.{xx≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.xlx>1)