精品解析：河南省南阳华龙高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年度高一上学期数学12月月考试卷 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式和分式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 2. 若，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】命题的否定：改量词，否结论 【详解】命题的否定为； 故选：. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交运算求即可. 【详解】由题设，集合，， 所以. 故选：B 4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的求法求解. 【详解】由题意得，，解得. 故选：A. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由>>0,>1，判断可得选项. 【详解】解：因为>>0,>1，所以， 故选：A． 6. 函数（）的所有零点之和为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：函数的零点等价于函数 和的图象在区间内的交点的横坐标． 由于两函数图象均关于直线对称，且函数 的周期为2，结合图象可知两函数图象在一个周期内有2个交点且关于直线对称，所以两交点横坐标之和为2，故其在三个周期即内的所有零点之和为，故选C． 考点：1函数零点；2转化思想． 7. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立. 【详解】因，则由可得，解得，即充分性成立； 当时，满足，但此时，即必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 已知函数函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 存在实数，使得 C. 若恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分段函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】解：对于A选项，画出函数的大致图象，如图所示， 可知函数的值域为，其中，故选项A错误； 对于B选项，若时，若，有，函数和的图象有交点，如图： 故选项B正确； 对于C选项，令，由，设， ①当时，，舍去； ②当时，，，可得，故选项C错误； 对于D选项，∵函数恰好有5个不同的零点，∴方程有5个根，可得，有或，不妨设，如图： 可知，可得，故，故选项D正确. 故选：BD． 10. 已知若存在，使得，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：利用对应时的函数式，结合对数运算性质，得出；选项B：是二次方程的根，通过韦达定理得；选项C：由韦达定理得（），其取值范围为，无最大值；选项D：将化为，结合得到和的表达式，构造函数并分析其单调性，求出取值范围. 【详解】画出的函数图象如图. 由图象可知，. 由题意可知，， 则，所以，故A正确； 是方程的两根，则， 故无最大值，故B正确，C错误； 由，即，得. 又， 在上单调递增，， 故，即，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】本题首先可以根据题意绘出函数的大致图像，然后根据当时得出恰有三个互异的实数解需要满足，最后通过计算即可得出结果. 【详解】当时， 函数的大致图像如图所示： 因为当时，， 所以要存在实数a，使关于的方程恰有三个互异的实数解， 需要满足且，解得， 故选：A、B. 【点睛】本题考查根据方程根的数目求参数，能否绘出函数的图像是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题. 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 化简：______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 13. 对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数的图象存在 “隐对称点”，则实数  的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数的取值范围. 【详解】由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，， 所以， 因为，又， 由题意得与在上有交点，即方程在上有根， 则， 又因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以，即． 故答案为：. 14. 已知幂函数在区间上单调递增，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和单调性列出关系式求解即可. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 已知实数满足：. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的解法，结合c的范围，可得c值，根据指对互化的法则，即可求得答案. （2）根据指对互化的法则，可得a，b，根据对数的运算性质，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，解得或， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以. 16. 设函数. （1）求当时，的解析式； （2）判断的奇偶性，并证明； （3）设，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）是奇函数， 证明：由（1）知，时，， 则，即， 当时，，由（1）知，， 而， 故当时，， 且，则是奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）令，则，可得，因为，且，进而求解时的解析式； （2）根据解析式，且，即可直接判断该函数为奇函数； （3）根据题意分析，等价于，，求出的解析式，即可得到其在内的最值，进而解出关于的不等式即可. 【小问1详解】 由， 令，则，所以， 所以， 又，所以， 所以当时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若， 则满足，， 由（1）知，， 所以时，； 当时，，； 当时，. 所以， 当时，的图像在上递减，在上递增， 且时，，时，， 所以当时，， 所以，， 所以，即， 所以或. 即的取值范围为. 17. 已知函数，设的反函数为. （1）求的值； （2）证明：函数在上单调递增； （3）证明：函数仅有1个零点，且. 【答案】（1）； （2） 证明：，因为是的反函数， 所以，所以， 任取，且， 则 ， 因为函数在单调递增，，所以， 所以； 因为函数在单调递增，，所以， 所以，又， 所以，所以， 即，所以函数在上单调递增； （3） 证明：由（2）， 因为 ， 又， 根据零点存在性定理，，使得. 又函数在都是增函数， 所以在是增函数，所以函数仅有一个零点， 因为，， ，所以 即. 【解析】 【分析】（1）根据指数运算性质化简； （2）分别求出，利用单调性的定义证明； （3）由单调性及零点存在性定理证明仅有一个零点，由证明不等式. 【小问1详解】 已知函数， 则 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时取得最大利润，最大利润为480元. 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式； （2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由已知 ； 【小问2详解】 由（1）得， 即由二次函数的单调性可知，当时，， 由基本不等式可知，当时， ， 当且仅当，即时取得最大值， 综上，当时取得最大利润，最大利润为480元. 19. 已知全集为，集合，集合. （1）若，求： （2）若，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）或，； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，分别解一元二次不等式化简集合，再利用交集、并集的定义求解. （2）求出集合，再利用集合包含关系列式求解. 【小问1详解】 解不等式，得，则， 当时，或， 所以或，. 【小问2详解】 由（1）知或， 由，得或， 由，得， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一上学期数学12月月考试卷 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数（）的所有零点之和为 A. B. C. D. 7. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 已知函数函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 存在实数，使得 C. 若恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 10. 已知若存在，使得，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 的取值范围为 11. 已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 化简：______. 13. 对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数的图象存在 “隐对称点”，则实数  的取值范围是_________ 14. 已知幂函数在区间上单调递增，则_____________． 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 已知实数满足：. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 设函数. （1）求当时，的解析式； （2）判断的奇偶性，并证明； （3）设，若，求的取值范围. 17. 已知函数，设的反函数为. （1）求的值； （2）证明：函数在上单调递增； （3）证明：函数仅有1个零点，且. 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知全集为，集合，集合. （1）若，求： （2）若，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $