精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高二上学期12月月考数学试题 一、单选题 1. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b为正实数，直线与直线平行，则的最小值为（　　） A. 28 B. 25 C. 24 D. 20 3. 如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 设有一组圆：（）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中正确的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 5. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 玩陀螺不仅可以释放往日情怀，找回童年的乐趣，也可锻炼人体协调性和腕部力量，培养敏锐观察力．如图，一个实木陀螺近似的看成同底的一个圆柱和一个圆锥构成．已知这个陀螺是由一个底面直径为6cm．高也为6cm的圆柱实木制成的，为了陀螺旋转的稳定性，设计圆柱部分与圆锥部分的高比为，则这个陀螺的体积最大约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为　　 A. 2 B. C. D. 8. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.表示事件“数字为质数”，表示事件“数字为偶数”，表示事件“数字大于4”，表示事件“数字为8”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 10. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 11. 已知圆，抛物线的焦点为，为上一动点，当运动到点时，，直线与相交于，两点，则（ ） A. B. 若为上一点，则最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 存在直线，使得，两点关于对称 三、填空题 12. 双曲线与椭圆有公共焦点，且的一条渐近线方程为，则的方程为____； 13. 设是椭圆（）的右焦点，为坐标原点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点（点在轴上方），过作的垂线，垂足为，且，则该椭圆的离心率是__． 14. 已知点是圆上的动点，点，则线段中点的轨迹方程为_____. 四、解答题 15. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设. （1）用分别表示. （2）若，求： （i）； （ii）. 16. 已知椭圆过点，且离心率. （1）求椭圆C的方程； （2）若P是椭圆C上一点，是椭圆的两个焦点，且，求的面积. 17. 已知椭圆的长轴为线段，短轴为线段，四边形的面积为4，且的焦距为． （1）求的标准方程； （2）若直线与相交于两点，点，且的面积小于，求的取值范围． 18. “蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的． （1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率； （2）若甲乙两小组各进行次试验，设试验成功的总次数为，求的分布列及数学期望． 19. 已知椭圆：过点，短轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）已知点且，若椭圆上的点到的距离的最小值是，求实数的值； （3）椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线：与椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高二上学期12月月考数学试题 一、单选题 1. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可求得，进而得到结果. 【详解】，，，，. 故选：C. 2. 已知a，b为正实数，直线与直线平行，则的最小值为（　　） A. 28 B. 25 C. 24 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由平行可得到的关系，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以 整理得即， 因为a，b为正实数，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为25 故选：B. 3. 如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用数量积运算及夹角公式计算即可 【详解】设，则， 因为，所以， 所以， 所以，化简得， 所以，所以，即的余弦值为. 故选：C. 4. 设有一组圆：（）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中正确的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，由圆心坐标满足可判断②，考虑的取值较大时可判断①③，将代入圆的方程判断方程是否有解可判断④，进而可得正确答案. 【详解】由可得圆心，半径， 由可得，所以圆心在直线上， 所以存在直线与所有的圆均相交，故②正确； 当且的取值较大时，小圆可能内含于大圆，所以不存在一条定直线与所有的圆均相切；故①不正确； 同理当圆无穷大时，不存在一条定直线与所有的圆均不相交，故③不正确； 将点代入可得：， 即，此时，所以方程无解，所以所有的圆均不经过原点，故④正确；所以正确的序号为②④， 故选：D. 5. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点差法即可求得关系，进而求得的值. 【详解】设，则， 两式相减得 又，，则， 则，. 故选：A 6. 玩陀螺不仅可以释放往日情怀，找回童年的乐趣，也可锻炼人体协调性和腕部力量，培养敏锐观察力．如图，一个实木陀螺近似的看成同底的一个圆柱和一个圆锥构成．已知这个陀螺是由一个底面直径为6cm．高也为6cm的圆柱实木制成的，为了陀螺旋转的稳定性，设计圆柱部分与圆锥部分的高比为，则这个陀螺的体积最大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥部分的高为,则圆柱部分的高为,得,则这个陀螺的体积为:,进行求解即可. 【详解】设圆锥部分的高为,则圆柱部分的高为, 依题意得,得, 则这个陀螺的体积为:, 因为,则, 得这个陀螺的体积最大约为: . 故选:C 7. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为　　 A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a、c，算出离心率. 【详解】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2， 即椭圆的c=2， 因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径； 即通径为 ，又因为c=2 解得a=4 所以离心率 故选D. 【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型. 8. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件用表示出，再结合椭圆定义并借助均值不等式计算作答. 【详解】依题意，，而， 则有，由椭圆定义知：， 当且仅当，即时取“=”， 于是有，则，又，即有， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：A 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见方法：①求出a，c，代入公式 ； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式) 两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 二、多选题 9. 如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.表示事件“数字为质数”，表示事件“数字为偶数”，表示事件“数字大于4”，表示事件“数字为8”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】运用独立事件的概率乘法公式计算，即可判断各选项. 【详解】依题意， 则，，，，， 所以，，，， 故与相互独立，与相互独立，与不相互独立，与不相互独立. 故选：BC. 10. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】A.根据抛物线方程，直接求准线方程；B.根据抛物线定义的应用，结合图形，转化为三点共线问题求解；C.利用点差法求直线方程；D.根据直线与圆相切的定义，结合抛物线的定义，即可判断. 【详解】A.抛物线，其准线方程为，故A错误； B. 如图所示，过点作准线于点，则，所以，当且仅当共线时，（即图中）最小，最小值为到准线的距离4，故B正确； C.设，， 则，两式相减得， 则，得，即直线的斜率为2， 所以直线的方程为，即，故C错误； D.设，，则，且的中点坐标为，中点到轴的距离为，所以以线段为直径的圆与轴相切，故D正确. 故选：BD 11. 已知圆，抛物线的焦点为，为上一动点，当运动到点时，，直线与相交于，两点，则（ ） A. B. 若为上一点，则最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 存在直线，使得，两点关于对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据焦半径公式求得判断A，设，利用二次函数性质求得最小值为4，进而利用圆的性质求得最小值为判断B，求出直线的方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径判断C，设，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出中点坐标，代入求出，与判断D. 【详解】因为当运动到点时，，所以，故A正确； 抛物线，其焦点， 圆的圆心，半径为， 设，则， 即最小值为4， 所以最小值为，故B错误； 若，由B选项可知，则， 故直线的方程为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，故C正确； 假设存在直线使得，两点关于对称， 设， 由，消得到，即， 则，解得， 又，， 则，解得，与矛盾，不符合题意，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 双曲线与椭圆有公共焦点，且的一条渐近线方程为，则的方程为____； 【答案】 【解析】 【分析】由题意方程求出其半焦距，得到双曲线是焦点在轴上的双曲线，并得到双曲线的半焦距，再由双曲线的渐近线方程得到双曲线的实半轴长与虚半轴长的关系，结合隐含条件求得实半轴长与虚半轴长，则双曲线方程可求． 【详解】解：由椭圆，得，， ， 双曲线的焦点为，， 设双曲线的实半轴为，虚半轴为， 渐近线方程为，即， ， 又，且， 解得． 双曲线的方程为． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，属中档题． 13. 设是椭圆（）的右焦点，为坐标原点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点（点在轴上方），过作的垂线，垂足为，且，则该椭圆的离心率是__． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，利用几何性质以及椭圆定义、勾股定理、离心率公式进行求解. 【详解】 由题可知，，且，所以， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以，且，又直线的斜率为， 所以，设，， 所以，，联立解得，， 由勾股定理有：，即， 所以，所以 . 故答案为：. 14. 已知点是圆上的动点，点，则线段中点的轨迹方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据为的中点可得，进而代入圆的方程即可求解. 【详解】设，， 由于为的中点，则，即， 又在圆上 所以，则， 所以的轨迹方程为. 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设. （1）用分别表示. （2）若，求： （i）； （ii）. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）7 【解析】 【分析】（1）根据正六边形与六棱柱的几何性质，结合向量的线性运算，可得答案； （2）利用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律，可得答案. 【小问1详解】 由题意，底面，连接对角线且交点记为，如下图： 因为底面为正六边形，则，且， 易知， ； . 【小问2详解】 ， 由，则， 由，则， ， （i） ， （ii） ， . 16. 已知椭圆过点，且离心率. （1）求椭圆C的方程； （2）若P是椭圆C上一点，是椭圆的两个焦点，且，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率的公式，结合代入法、椭圆中的关系进行求解即可； （2）根据椭圆的定义，结合余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意椭圆的离心率， ∴椭圆C的方程为， 又点在椭圆上，∴，解得， ∴椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由椭圆定义知，① 由余弦定理知， 即②， 联立①②得， 17. 已知椭圆的长轴为线段，短轴为线段，四边形的面积为4，且的焦距为． （1）求的标准方程； （2）若直线与相交于两点，点，且的面积小于，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，解出，，从而得到椭圆方程； （2）利用点到直线的距离公式求出的高为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出，得到的面积，解不等式即可得到答案. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以的标准方程为； 【小问2详解】 点到直线的距离， 设，联立方程组， 整理得， 则，即， ， 所以， 则的面积， 得，又，（由三点不共线可得）， 所以的取值范围是． 18. “蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的． （1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率； （2）若甲乙两小组各进行次试验，设试验成功的总次数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 记至少两次试验成功为事件， 则甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率. 【小问2详解】 由题意的可能取值为，，，，， 所以， ， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 所以. 19. 已知椭圆：过点，短轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）已知点且，若椭圆上的点到的距离的最小值是，求实数的值； （3）椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线：与椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而得解； （2）设椭圆上任一点为，则点到的距离，结合椭圆上点的横坐标范围与函数单调性即可得最值，从而得正实数的值； （3）将直线与椭圆联立消，设直线、的方程，结合韦达定理化简计算解出的轨迹方程，利用对称性即可求解的最小值． 【小问1详解】 由题意得椭圆过点，且短轴长为4， 可得，解得， 可得椭圆的方程为； 【小问2详解】 设椭圆上任一点为，故，则， 则点到的距离为， 由于在椭圆上，所以， 令二次函数，其对称轴为， 由题知， 此时二次函数在上单调递减， 则当时，二次函数取得最小值， 此时， 解得或（舍）； 综上； 【小问3详解】 设点、， 直线与椭圆的方程联立消去整理得， 由， 且，所以， 由于在椭圆上，则， 所以，则， 易知、，则直线的方程为， 直线的方程为，   两式相除得 解得，故在定直线上， 由图可知，点、都在直线的上方，点关于直线的对称点为原点， 由对称性知，所以， 当且仅当为线段与直线的交点时，即点的坐标为时等号成立， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $