精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，再求 【详解】由题意得集合，则. 故选:D 【点睛】本题考查集合的运算,熟记集合的并集运算法则是解题的关键，属于容易题. 2. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的定义得出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若函数为奇函数，则， 即， 即对任意的恒成立，故， 因为“”“，”，且“”“，”， 即“”“为奇函数”，且“”“为奇函数”， 所以“”是“为奇函数”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 函数是奇函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据奇函数的定义可得，代入表达式利用对数的运算即可求解. 【详解】函数是奇函数， 则，即， 从而可得，解得. 当时，，即定义域为， 所以时，是奇函数 故选：D 【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，需掌握函数奇偶性的定义，同时本题也考查了对数的运算，属于基础题. 4. 已知角的终边在第四象限，并且与单位圆交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求得的值. 【详解】因为角的终边在第四象限，并且与单位圆交于点，则， 则. 故选：C. 5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在研究函数的图象时，常和性质来分析，已知，则其倒数的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性排除B、C选项，再根据当时，函数值的正负排除D选项，进而得到答案即可. 【详解】已知函数的定义域为， 由于，可知为奇函数， 即得函数也为奇函数，因此图像应关于原点对称，故排除B、C选项； 又因当时，，得：，故排除D选项. 综上可得：A为正确选项. 故选：A 6. 函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求函数的对称轴，再根据题意建立不等式，最后求实数a的取值范围即可. 【详解】因为函数是二次函数，所以对称轴：， 因为函数在上不单调，所以，解得： 故选：C 7. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度(单位：℃)可由公式求得，其中为正常数.现有75℃的物体，放在25℃的空气中冷却，2min以后物体的温度降为50°C.若将68°C的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为32°C所需要的冷却时间为（ ） A. 2min B. 3min C. 4min D. 6min 【答案】C 【解析】 【分析】先通过第一个冷却场景求出常数，再将其代入第二个冷却场景的公式中，求解冷却时间. 【详解】对于75℃物体冷却的情况，代入公式， 得，即，化简得. 取自然对数得，解得. 对于68℃物体冷却的情况，代入公式得， 即，化简得. 取自然对数得，解得. 故选：C 8. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的性质和特殊值排除部分选项可得答案. 【详解】若函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为； 因为，所以； 所以为定义域上的偶函数，图像关于轴对称，可排除选项A，C； 当时, ,排除选项B． 故选：D． 二、多选题 9. 十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】对于A：，，故A正确； 对于B：，又函数在上单调递增，，故B正确； 对于C：由可得，所以，，故C错误； 对于D：且，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数的图象经过点，则（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在上单调递减 D. 在上最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出，进而利用的解析式，结合偶函数的定义与复合函数的单调性，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】因为的图象经过点， 所以，解得，则， 对于A，因为在处无意义， 所以的图象不经过点，故A错误； 对于B，因为的定义域为， 又， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，故B正确； 对于C，因为在上单调递增，且， 所以在上单调递减，故C正确； 对于D，由选项C可知在上最大值为，故D错误. 故选：BC. 11. 设定义域为的函数，若关于x的方程有且仅有三个不同的实数解，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出的图像，由图像结合条件可得，然后可得，即可选出答案. 【详解】的图像如下： 若关于x的方程有且仅有三个不同的实数解，则 所以，由可解得： 所以， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是准确的画出的图像，结合图像得到. 三、填空题 12. 若命题“”是真命题，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】考虑与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】， 当时，恒成立， 当时，，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 13. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若存在对称中心，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的性质结合题意计算即可求解. 【详解】设， 则为奇函数， 可得， 由奇函数的定义域关于原点对称可得，解得， 所以， 由可得， 解得，所以. 故答案为：. 14. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】令，因为外层函数为增函数， 且函数在区间上单调递增， 由复合函数法可知，内层函数在上为增函数， 所以，，且，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 化简求值（需要写出计算过程） （1）. （2）. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】(1) 根据指数、根式运算的性质计算可得答案； (2) 根据指数、根式运算的性质和对数换底公式计算可得答案； 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 16. 陈述句甲：若关于的不等式的解集为；陈述句乙：若关于的方程有两个不相等的负实根； （1）写出当甲为真命题时，实数的取值集合； （2）写出当乙为真命题时，实数的取值集合； （3）若甲、乙至多有一个真命题时，求实数的取值集合； 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次型不等式恒成立求出集合. （2）利用一元二次方程实根分布列式求出集合. （3）求出，进而求出其补集得集合. 【小问1详解】 由关于的不等式的解集为，得，恒成立， 当时，成立，则；当时，，解得， 所以实数的取值集合. 【小问2详解】 由关于的方程有两个不相等的负实根，得， 即，解得， 所以数的取值集合. 【小问3详解】 当甲、乙都是真命题时，， 因此当甲、乙至多有一个真命题时，或， 所以实数的取值集合或. 17. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“倒戈函数”. （1）已知函数，试判断是否为“倒戈函数”，并说明理由； （2）若为定义在上的“倒戈函数”，求函数在的最小值. 【答案】（1）为“倒戈函数”；理由：为“倒戈函数”. 等价于方程有解， 即有解，显然为方程的解， 所以为“倒戈函数”； （2）当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）直接解方程，方程有解即得； （2）由方程在上有解，令换元后转化为关于t的二次方程在上有解，可结合二次函数的性质或二次方程根的分布知识可得，然后通过分类讨论求函数的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若为定义在上的“倒戈函数”， 则在上有解，即在上有解. 令，当且仅当时，即时，取等号， 则， 从而关于的方程在上有解， 令， ①当时，在上有解， 由，即，解得； ②当时，在上有解等价于 ，此不等式组无解. 则所求实数的取值范围是. 令，因为，所以， 则， 令，对称轴为， 当时，在单调递增， 所以时，取得最小值，， 即时 当时，时，取得最小值，， 即时，即时，. 综上，当时，； 当时，. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“倒戈函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题来进行求解. 18. 已知定义在上的奇函数，且． （1）求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于实数的不等式 （3）若对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），，在上单调递增，证明见解析； （2） （3）或或. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性得到方程，求出，由得到，并用定义法得到在上单调递增； （2）由函数奇偶性和单调性，结合定义域得到不等式组，求出不等式的解集； （3）令，只需，求出，分类讨论得到，从而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 为定义在上的奇函数， 故，即，故，， 又，故，解得， 在上单调递增，证明如下： ，任取，且， 故， 因为，且，所以，， 又，，所以， 故，所以在上单调递增； 【小问2详解】 为定义在上的奇函数， ， 又在上单调递增，故，解得， 故不等式的解集为； 【小问3详解】 令， 对，恒成立， 故只需， 其中在上单调递增，故， 若，则，满足； 若，在上单调递减， 故，故，解得或（舍去）； 若，在上单调递增， 故，故，解得或（舍去）； 综上，的取值范围是或或. 19. 对于函数，若，则称x为的“不动点”；若，则称x为的“稳定点”．若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，． （1）求证：； （2）若，函数总存在不动点，求实数c的取值范围； （3）若，且，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 若，则显然成立， 若，设，则，，即， 从而，故成立； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况进行分类讨论即可； （2）问题转化成有解，利用判别式即可而得到答案； （3）由可得有实根，，又，所以，即的左边有因式，从而有.再由题中条件，即可得出结果 【小问1详解】 略 【小问2详解】 原问题转化为，有解， ∴即， 则即恒成立， ∴，∴， 所以实数c的取值范围为； 【小问3详解】 A中的元素是方程即的实根， 由，知或,解得， B中元素是方程即的实根， 由知方程含有一个因式，即方程可化为：， 若，则方程①要么没有实根，要么实根是方程②的根， 若①没有实根， 当时，方程为，不成立，故此时没有实数根； 当时，，解得，此时且； 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有，代入①有， 由此解得，再代入②得，解得， 综上，a的取值范围为． 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数是奇函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 4. 已知角的终边在第四象限，并且与单位圆交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在研究函数的图象时，常和性质来分析，已知，则其倒数的大致形状是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度(单位：℃)可由公式求得，其中为正常数.现有75℃的物体，放在25℃的空气中冷却，2min以后物体的温度降为50°C.若将68°C的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为32°C所需要的冷却时间为（ ） A. 2min B. 3min C. 4min D. 6min 8. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 10. 已知函数的图象经过点，则（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在上单调递减 D. 在上最大值为 11. 设定义域为的函数，若关于x的方程有且仅有三个不同的实数解，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若命题“”是真命题，则的取值范围为__________. 13. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若存在对称中心，则___________． 14. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15. 化简求值（需要写出计算过程） （1）. （2）. 16. 陈述句甲：若关于的不等式的解集为；陈述句乙：若关于的方程有两个不相等的负实根； （1）写出当甲为真命题时，实数的取值集合； （2）写出当乙为真命题时，实数的取值集合； （3）若甲、乙至多有一个真命题时，求实数的取值集合； 17. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“倒戈函数”. （1）已知函数，试判断是否为“倒戈函数”，并说明理由； （2）若为定义在上的“倒戈函数”，求函数在的最小值. 18. 已知定义在上的奇函数，且． （1）求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于实数的不等式 （3）若对，恒成立，求实数的取值范围． 19. 对于函数，若，则称x为的“不动点”；若，则称x为的“稳定点”．若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，． （1）求证：； （2）若，函数总存在不动点，求实数c的取值范围； （3）若，且，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $