精品解析：广东省阳江市部分学校2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷

广东省阳江市部分学校2024-2025学年高一上学期期末联考 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式得集合，求函数定义域得集合，然后根据交集的定义求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C. 2. 方程的解所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造函数法，结合函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案. 【详解】由得， 设，则在上单调递增， ， 所以的唯一零点在区间， 即方程的解所在的区间为. 故选：B 3. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弧长公式及扇形面积公式计算求解. 【详解】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以 该弧所在的扇形面积为. 故选：A. 4. 已知实数a，b满足，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意设，从而求出，从而可得，即可得解. 【详解】由题意设， 则，解得，所以， 因为，， 所以，即， 即的范围是． 故选：C 5. “是第四象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角函数定义检验充分必要性即可求解． 【详解】当是第四象限角时，，则一定成立，即充分性成立； 当时，与异号，此时为第三或第四象限，即必要性不成立， 所以“是第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知幂函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数的定义与性质求解值，再由复合函数的单调性得答案． 【详解】由函数是幂函数，且在上单调递增， 得，解得： 函数， 由，解得或， 而函数在上单调递增，且函数是定义域内的增函数， 则函数的单调递增区间为 故选：B. 7. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数，以及三角函数的性质，求得的范围，即可求解. 【详解】由对数函数的性质，可得， 又由指数函数的性质，可得，再由正弦函数的性质，可得， 所以. 故选：A 8. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ） （参考数据：） A. 0.2 B. 0.18 C. 0.1 D. 0.14 【答案】B 【解析】 【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得. 【详解】依题意得，， 化成对数式，，解得，. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确是（ ） A. 终边在轴上的角的集合是 B. 终边在轴上的角的集合是 C. 终边在坐标轴上的角的集合是 D. 终边在上角的集合 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义求解. 【详解】A. 终边在轴上的角的集合是，故正确； B.终边在轴上的角的集合是，故正确； C.终边在坐标轴上的角的集合是，故正确； D.终边在上角的集合，故错误； 故选：ABC 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例检验选项A；结合对数函数单调性检验选项B；结合函数单调性检验选项C；结合基本不等式检验选项D. 【详解】当，时，，A显然错误； 因为，所以，B正确； 因为函数在单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，，即，C错误； 若，则， 当且仅当时取等号，显然等号无法取得，D正确． 故选：BD . 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. ，函数是奇函数 B. ，使得过原点至少可以作的一条切线 C. ，方程一定有实根 D. ，使得方程有实根 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，由奇函数的定义判断；选项B，通过联立方程组判断切线是否存在；选项C，由正弦函数的有界性判断方程的解；选项D，特殊值法判断存在性. 【详解】函数，定义域，且，函数是奇函数，A选项正确； 设直线，联立方程：，得，，直线不可能是的一条切线， B选项错误； 若，，则，得， 即，由的有界性，显然不一定有解，C选项错误； 当，，显然存在，，使方程有解，D选项正确. 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设函数，则＝______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据分段函数解析式可求出结果. 【详解】由已知得， ， 所以. 故答案为：. 13. 在中，若，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由求出，求出，再由内角和与诱导公式求出，结合两角和的正切展开式，以及，消去，解出，求得角. 【详解】由可知，与同号， 若且，则均为钝角，这在三角形中不可能， 故且， 因为，，所以， 故，故，解得， 所以，由知，， 解得（负值舍去），故. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】得到的图象关于直线对称，且在上单调递增，从而不等式转化为，分和两种情况，得到不等式解集. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 又对任意的，都有， 所以在上单调递增， 所以可等价为，即， 当时，不等式可化为，即， 令，则，由于，无解； 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得． 综上，关于的不等式的解集为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. （1）计算： （2）若角的终边经过点，求 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质以及余弦函数的特殊值化简即可求解； （2）利用任意角的三角函数的定义以及对数的运算性质化简即可求解． 【详解】（1）原式； （2）由已知可得，则， 所以 16. 已知函数． （1）当时，求在区间上的值域； （2）当时，解不等式． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）令，由得到的范围，再将问题转化为二次函数在给定区间上的值域的问题求解即可； （2）将看成整体，先求出的范围，再利用指数函数单调性求解即可. 【小问1详解】 当时，， 令，因为，所以， 令，则函数在上单调递增， ∴当时，有最小值， 当时，有最大值， ∴函数在区间上的值域为. 故时，在区间上的值域为. 【小问2详解】 当时，． 由，得，即， 解得 或， 所以 或， 所以不等式的解集为或. 17. 已知函数 （1）证明：是偶函数. （2）若，求在上的零点. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，先分析函数的定义域，再分析、的关系，即可得答案； （2）根据题意，由求出的值，即可得的解析式，进而求函数的零点，即可得答案． 【小问1详解】 函数， 其定义域为，有， 则偶函数； 【小问2详解】 若，即，解可得， 故， 若，即，解可得或舍， 又由，则， 即在上的零点为. 18. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【答案】（1），，. （2）最大值为1，此时；最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）由正弦函数性质求得周期与单调增区间； （2）由题意可求得的范围，然后由正弦函数性质得最值． 【小问1详解】 函数的最小正周期， 由，解得， 所以函数的单调递增区间是，. 【小问2详解】 由，得， 则当，即时，； 当，即时，， 所以函数在上的最大值为1，此时；最小值为，此时. 19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． （1）已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． （2）讨论函数在定义域上的凹凸性. 【答案】（1）①；②是凹函数，证明见解析 （2）时，函数在定义域上为凸函数；时，函数在定义域上为凹函数 【解析】 【分析】（1）①利用配凑法，求函数解析式； ②采用作差法，比较与的大小，证明其为凹函数； （2）利用作差法，分和得其凸凹性. 【小问1详解】 ①根据题意，， 所以； ②是凹函数； ，且， 则 因为，所以， 所以，即， 故凹函数. 【小问2详解】 ， 则 ， 因为， 所以， 所以当时，， 即，函数在定义域上为凸函数， 当时，， 即，函数在定义域上为凹函数. 【点睛】关键点点睛：利用作差法比较与的大小，从而得其凸凹性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省阳江市部分学校2024-2025学年高一上学期期末联考 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1 设集合 则（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A B. C. D. 4. 已知实数a，b满足，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 5. “是第四象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知幂函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ） （参考数据：） A. 0.2 B. 0.18 C. 0.1 D. 0.14 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 终边在轴上的角的集合是 B. 终边在轴上角的集合是 C. 终边在坐标轴上的角的集合是 D. 终边在上角的集合 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. ，函数是奇函数 B. ，使得过原点至少可以作的一条切线 C. ，方程一定有实根 D. ，使得方程有实根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设函数，则＝______． 13. 在中，若，，则__________. 14. 已知函数定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. （1）计算： （2）若角的终边经过点，求 16. 已知函数． （1）当时，求在区间上的值域； （2）当时，解不等式． 17. 已知函数 （1）证明：是偶函数. （2）若，求在上的零点. 18 已知函数，. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． （1）已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． （2）讨论函数在定义域上的凹凸性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $