精品解析：天津市武清区大良中学2025-2026学年高二上学期12月阶段练习数学试卷

2025—2026高二上学期12月阶段数学练习 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率，即可得出倾斜角. 【详解】由直线方程，可得， 所以，设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：A. 2. 已知抛物线，则它的焦点到准线的距离为. A. 4 B. 8 C. 16 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程利用抛物线的简单性质可求得答案． 【详解】解：∵y2＝2px＝8x， ∴p＝4， ∴抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是4． 故选A． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程与抛物线的简单性质，属于基础题． 3. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 4. 如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由向量线性运算的几何含义知，，，，即可得与的线性关系式. 【详解】四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE， ∴===+=. 故选：B 5. 过点且与圆相切的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆的圆心和半径，再分别讨论切线的斜率不存在和存在两种情况求解.在斜率存在的情况下，先设切线方程为点斜式，整理成一般式，再利用圆心到直线的距离等于半径，列出斜率的等式，计算求出，从而得到切线方程. 【详解】，圆心，半径， 过点且与圆相切， 当此切线不存在斜率时，切线方程为，满足此直线与圆相切； 当此切线存在斜率时，设此切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 则切线方程为，即； 综上，所求的切线方程为或. 故选：D. 6. 设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：依题意有，解得，所以. 考点：等差数列的基本概念. 【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 7. 如果向量，，共面，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设，由空间向量的坐标运算可得出方程组，即可解得的值. 【详解】由于向量，，共面， 设，可得，解得. 故选：B. 8. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 54 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 9. 设分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据椭圆性质与焦点三角形的离心率公式求解即可. 【详解】由题,设线段的中点在轴上,且原点为的中点,故为边边的中线.故,故轴.又, 故离心率. 故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率问题,需要根据题意找到焦点三角形三边的关系进行求解,属于中等题型. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 10. 已知双曲线，则的右焦点的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据双曲线方程，直接求焦点坐标. 【详解】由双曲线方程可知，，则，则， 并且焦点在轴，双曲线的右焦点的坐标为. 故答案为： 11. 数列的前项和，则数列的通项公式是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用前项和与第的关系求出通项公式. 【详解】当时，， 当时，，不满足上式， 所以数列的通项公式是. 故答案为： 12. 圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求出圆心的坐标，即可得到抛物线方程，联立圆和抛物线方程，求点坐标及直线的方程，利用点到直线的距离公式可得结果. 【详解】 ∵圆的圆心为，∴，即， ∴抛物线方程为. 由得，解得或（舍）， ∴，∴直线的斜率为， ∴，即， ∴原点到直线的距离为. 故答案为：. 13. 点到直线距离的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离为. 【详解】解：直线恒过点， 则点到直线的距离的最大值为点到点的距离， ∴点到直线距离的最大值为： . 故答案为：. 14. 已知点，直线过原点，且直线的方向向量是向量，则点到直线的距离是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式用向量法直接求即可. 【详解】由已知得， 又因为直线的方向向量是向量，设为， 所以由点到直线的距离公式有 故答案为： 15. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案. 【详解】由为椭圆上任意一点，则 又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，，则， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1）；（2），最小值为–16． 【解析】 【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果； （2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出. 【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法 设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以． [方法二]：函数+待定系数法 设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以． （2）[方法1]：邻项变号法 由可得．当，即，解得，所以的最小值为， 所以的最小值为． [方法2]：函数法 由题意知，即， 所以的最小值为，所以的最小值为． 【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解； （2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值； 方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值． 17. 求下列数列的通项公式 （1）已知数列满足，求； （2）正项数列满足，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法求得正确答案. （2）利用累乘法求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，， 所以 ， 也符合上式，所以. 【小问2详解】 依题意，，则， 所以 ， 也符合上式，所以. 18. 已知圆C的圆心在直线上，且经过点和． （1）求圆C的标准方程； （2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）点和的中垂线经过圆心，两直线联立方程得圆心坐标，再利用两点间距离公式求解半径. （2）已知弦长，求解直线方程，分类讨论斜率是否存在. 【小问1详解】 点和的中点为，,所以中垂线的， 利用点斜式得方程为，联立方程 得圆心坐标为， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为，此时弦长，符合题意. 当过点的直线l斜率存在时,设直线方程为，化简得，弦心距，所以，解得，所以直线方程为.综上所述直线方程为或. 19. 如图，已知平面，，，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到直线的距离. 【答案】（1）证明：以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ，，， 设平面的一个法向量为，则 ，取，则，， 所以， ， 所以平面，且平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，证明，即可解决； （2）写出平面的法向量，设平面与平面的夹角为，通过，即可求解； （3）利用点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ，， 设点到直线的距离为， 则， 即点到直线的距离为. 20. 设椭圆的左焦点为，上顶点为. 已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆在第一象限的交点为，且与直线交于点. 若(为原点) ，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意结合椭圆的性质可得．则椭圆的方程为． （2）设点的坐标为，点的坐标为．由题意可得． 由方程组，可得．由方程组，可得．据此得到关于的方程，解方程可得的值为或 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，由已知有， 又由，可得． 由已知可得，，， 由，可得，从而． 所以，椭圆的方程为． 【小问2详解】 设点的坐标为，点的坐标为． 由已知有，故． 又因为，而，故． 由，可得． 由方程组，消去，可得． 易知直线的方程为， 由方程组，消去x，可得． 由，可得， 两边平方，整理得， 解得，或． 故的值为或 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026高二上学期12月阶段数学练习 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线，则它的焦点到准线的距离为. A. 4 B. 8 C. 16 D. 2 3. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 4. 如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（ ） A. B. C. D. 5. 过点且与圆相切的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）． A. B. C. D. 7. 如果向量，，共面，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 54 D. 162 9. 设分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 10. 已知双曲线，则的右焦点的坐标为________. 11. 数列的前项和，则数列的通项公式是_____. 12. 圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为______． 13. 点到直线距离的最大值为___________. 14. 已知点，直线过原点，且直线的方向向量是向量，则点到直线的距离是__________. 15. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______. 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 17. 求下列数列的通项公式 （1）已知数列满足，求； （2）正项数列满足，求． 18. 已知圆C的圆心在直线上，且经过点和． （1）求圆C的标准方程； （2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 19. 如图，已知平面，，，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到直线的距离. 20. 设椭圆的左焦点为，上顶点为. 已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆在第一象限的交点为，且与直线交于点. 若(为原点) ，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $