精品解析：陕西省汉中市经济开发区鑫源初级中学2025-2026学年上学期九年级上学期数学第二次月考试卷

2025—2026学年度第一学期第二次学情调研 九年级数学试卷 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列函数中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 的值等于　　 A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 对称轴为 B. 时，y随x的增大而减小 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是 7. 二次函数与一次函数在同一直角坐标系中的图像大致是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为米，坡度，长为米，则古塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 已知二次函数（其中是自变量）的图象与轴没有公共点．且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②③④⑤ 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 若是锐角，，那么锐角等于______． 12. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的图象的函数解析式是______． 13. 在中，，，则的长是______． 14. 已知二次函数的图象与轴有交点．则的取值范围是______． 15. 某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为__________元时，获得的利润最多． 16. 如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为________． 三、解答题（共9小题，应写出必要的解答过程，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，在中，，，． （1）求； （2）求的值． 20. 如图，在中，．请用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 已知关于的二次函数（是常数）． （1）求证：二次函数的图象与轴总有两个交点； （2）若该抛物线与轴的交点分别为，且，求的值． 22. 小明想利用所学知识来测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，小明通过调整测角仪的位置，在塔周围的点处用测角仪测得塔顶部的仰角为（测角仪的高度忽略不计）．接着，在阳光下，小明从处沿着方向向前走米，到达塔在太阳光下的影子末端处，在处竖立一米长的标杆，此时标杆在太阳光下的影长为米．已知、、、四点在同一直线上，，，请结合以上数据求大雁塔的高度．（参考数据：，，） 23. 如图，学校准备在一块一边靠墙（墙长米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为，设的长为，矩形绿化带的面积为． （1）若围成矩形绿化带面积为，请求出的长为多少米？ （2）求围成矩形绿化带面积的最大值． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，已知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； （3）若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 25. 问题探究 （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的面积为　　； （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在对角线AC上，CP＝AD，求△PCB的面积； 问题解决 （3）如图3，△ABD是一块小花园，其中∠BAD＝90°，AB＝AD，小区物业现准备再开发一块地，把△ABD扩充为四边形ABCD，使∠BCD＝30°，BC+CD＝12米，若CD＝x，S△BDC＝y． ①求y与x的函数关系式； ②当y取最大值时，求四边形ABCD的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期第二次学情调研 九年级数学试卷 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列函数中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．，自变量的次数是1，故不是二次函数； B．，自变量的次数是1，故不是二次函数； C．，自变量在分母上，故不是二次函数； D．是二次函数； 故选：D． 2. 的值等于　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入计算可得． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是掌握熟记特殊锐角的三角函数值． 3. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，余弦函数；由勾股定理得，由余弦函数的定义得，即可求解；理解余弦函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， 故选：C． 4. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解． 【详解】解：由勾股定理得，， 所以，． 故选：． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 5. 已知点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 二次函数开口向上，对称轴为，点在对称轴上函数值最小，点距离对称轴最远函数值最大，然后即可求解； 【详解】解：∵ 二次函数的对称轴为，且，开口向上， ∴当时，函数值最小，即最小， 又∵点的横坐标，距离对称轴， 点的横坐标，距离对称轴， ∵距离对称轴最远，函数值最大， ∴； 故选：D； 6. 已知二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 对称轴为 B. 时，y随x的增大而减小 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质解答． 【详解】解：对于选项A：对称轴为直线，故A不符合题意； 对于选项B：时，y随x的增大而增大，故B不符合题意； 对于选项C：函数的最大值是，故C符合题意； 对于选项D：函数的最大值是故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，增减性，解题关键是掌握二次函数的性质． 7. 二次函数与一次函数在同一直角坐标系中的图像大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题关键． 根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项判断分析即可． 【详解】解：A、图象中，二次函数开口向下，故，与轴交点为，一次函数的随的增大而减小，故，与轴交点为，此两个函数图象可在同一直角坐标系中，故此选项符合题意； B、图象中，二次函数开口向上，故，与轴交点为，这与二次函数与轴交点相矛盾，故此选项不符合题意； C、图象中，二次函数开口向下，故，一次函数的随的增大而增大，故，且两图象的交点为，与二次函数与一次函数在同一直角坐标系中的交点为相矛盾，故此选项不符合题意； D、图象中，二次函数开口向上，故，一次函数的随的增大而增大，故，此相矛盾，故此选项不符合题意． 故选：A． 8. 如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为米，坡度，长为米，则古塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】作，由，可设，结合，利用勾股定理可求得的值，解即可得到结论． 【详解】如图，作，垂足分别为，则四边形是矩形，则, ∵斜坡,，设， ∴， ∵,则， ∴， ∵长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即古塔的高度为米， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 9. 已知二次函数（其中是自变量）的图象与轴没有公共点．且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据二次函数的图象与轴没有公共点，可得一元二次方程没有实数根，根据根的判别式可得；由函数解析式得出抛物线对称轴及开口方向，再根据抛物线的增减性得出a的取值范围，取交集即可． 【详解】解：二次函数（其中是自变量）的图象与轴没有公共点， 一元二次方程没有实数根， ， 解得； 二次函数的图象的对称轴为：直线，开口向上， 当时，随的增大而增大， ， 实数的取值范围是， 故选A． 10. 知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b=2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；根据判别式的意义对②进行判断；利用x=1时得到a+b+c＞0，把b=2a代入得到3a+c＞0，然后利用a＞0可对③进行判断；利用二次函数当时有最小值可对④进行判断；由于二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为，利用对称性得到另一个交点坐标，从而得到x1、x2的值，则可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线， 即， ∴b=2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵物线与x轴有2个交点， ∴，所以②正确； ∵x=1时，y＞0， ∴a+b+c＞0， 而b=2a， ∴3a+c＞0， ∵a＞0， ∴4a+c＞0，所以③正确； ∵时，y有最小值， ∴（t为任意实数）， 即，所以④正确； ∵图象经过点时，方程的两根为x1，x2（x1＜x2）， ∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为， 即x1=，x2=， ∴，所以⑤正确． 综上所述，正确的是：②③④⑤， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 若是锐角，，那么锐角等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据正弦函数值对应的特殊角为，结合为锐角，确定，然后即可求解； 【详解】解：∵为锐角， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 故答案为：； 12. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的图象的函数解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移． 根据函数图象平移规律即可得平移后的函数解析式． 【详解】解：将函数的图象先向左平移3个单位长度，可得， 将函数的图象向下平移5个单位长度，可得， 故答案为：． 13. 在中，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握以上知识是解答本题的关键； 过点作，垂足为，然后根据正弦求得，再根据勾股定理求得，然后在中，根据勾股定理，即可求解； 【详解】解：过点作，垂足为，如图： ∵在中，，， ∴， ， 在中，， ∴， （舍去负值）， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 故答案为；． 14. 已知二次函数的图象与轴有交点．则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，抛物线与轴交点知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题二次函数与轴有交点，等价于对应的一元二次方程有实数根，根据判别式非负，然后即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点，则方程有实数根， ∴判别式， 令， 即， 解得：， 故答案为：； 15. 某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为__________元时，获得的利润最多． 【答案】70 【解析】 【详解】解：设销售单价定为每千克x元，获得利润为y元，则： y=（x-40）[500-（x-50）×10]， =（x-40）（1000-10x）， =-10x2+1400x-40000， =-10（x-70）2+9000， ∴当x=70时，利润最大为9000元． 故答案为：70． 16. 如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，正确判断点G的轨迹是解题关键．根据正方形的性质，证明，进而推断点G的轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，有最小值，根据特殊角的正弦函数值求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴点G的轨迹是射线， 根据垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，应写出必要的解答过程，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的运算和零指数幂的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）先化简二次根式、代入特殊角三角函数值和零指数幂进行计算； （2）需要代入特殊角三角函数值并进行乘法和加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了公式法和因式分解法解一元二次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）本题根据公式法解一元二次方程，然后即可求解； （2）本题根据因式分解法解一元二次方程，然后即可求解； 【小问1详解】 解：， 这里， ， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴，， 解得：，； 19. 如图，在中，，，． （1）求； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的计算、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据，设，，利用勾股定理可得，解方程求出，从而可知； 由可知，根据余弦的定义求出． 【小问1详解】 解：， ， 设，， 在中，， ， ， 解得：或(负值舍去)， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ，， ． 20. 如图，在中，．请用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、特殊角的三角函数值，熟练掌握尺规作垂线的方法是解题的关键． 由，可得，进而得到，再利用尺规过点作的垂线即可． 【详解】略 21. 已知关于的二次函数（是常数）． （1）求证：二次函数的图象与轴总有两个交点； （2）若该抛物线与轴的交点分别为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：令，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有2个不相等的根， 即二次函数的图象与轴总有两个交点； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，熟练掌握以上知识点并可以灵活运用是解答本题的关键． （1）令，即，根据根的判别式恒大于0即可求解； （2）由题意得：和是方程的两个根，即，，再根据，得到，变形得到，然后分别代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：和是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 22. 小明想利用所学知识来测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，小明通过调整测角仪的位置，在塔周围的点处用测角仪测得塔顶部的仰角为（测角仪的高度忽略不计）．接着，在阳光下，小明从处沿着方向向前走米，到达塔在太阳光下的影子末端处，在处竖立一米长的标杆，此时标杆在太阳光下的影长为米．已知、、、四点在同一直线上，，，请结合以上数据求大雁塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】该塔的高度为米 【解析】 【分析】设该塔的高度AB为x米，因为，利用锐角三角函数得到BC，根据垂直，得到，利用太阳光线是平行光线，得到，即可证明，再利用相似三角形对应线段成比例，列出方程，求解即可． 【详解】解：设该塔的高度为米． ∵，， ∴， ∵， ∴． ∵太阳光线是平行光线， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 答：该塔的高度为米． 【点睛】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质．解题的关键在于证明三角形相似得到对应线段成比例，利用方程的思想求解． 23. 如图，学校准备在一块一边靠墙（墙长米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为，设的长为，矩形绿化带的面积为． （1）若围成矩形绿化带面积为，请求出的长为多少米？ （2）求围成矩形绿化带面积的最大值． 【答案】（1）的长为米 （2） 【解析】 【分析】（1）设的长为，根据围成矩形绿化带面积为列出方程，解方程求出x的值，再求出x的取值范围，即可求出的长； （2）设的长为，矩形绿化带的面积为，根据矩形面积公式列出二次函数解析式并化为顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围，可得答案． 本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程和函数关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设的长为，由题意得， ， 整理得， 解得， 由题意可得：， 解得：， ∴， ∴的长为米； 【小问2详解】 设的长为，矩形绿化带的面积为 ， ， ，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 又， 当时，y有最大值，其最大值为． 围成矩形绿化带面积的最大值为． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，已知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； （3）若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为；直线的解析式为 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出，顶点E的坐标为；，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，，可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案； （3）求出点A坐标，进而求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把点B和点D的坐标代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点E的坐标为； 如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； 【小问3详解】 解：在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 25. 问题探究 （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的面积为　　； （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在对角线AC上，CP＝AD，求△PCB的面积； 问题解决 （3）如图3，△ABD是一块小花园，其中∠BAD＝90°，AB＝AD，小区物业现准备再开发一块地，把△ABD扩充为四边形ABCD，使∠BCD＝30°，BC+CD＝12米，若CD＝x，S△BDC＝y． ①求y与x的函数关系式； ②当y取最大值时，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）48；（2）△PCB的面积＝；（3）①y＝﹣+3x；②四边形ABCD的面积＝（81﹣27）平方米． 【解析】 【分析】（1）作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）过点P作于点E，然后证明，得到，即可求出PE，即可求解面积； （3）①过点D作DH⊥BC于H，根据∠BCD＝30°，DH⊥BC，得到DH＝CD＝， ，BC＝（12﹣x）米，再利用三角形面积公式求解即可； ②根据，利用二次函数的性质求出y有最大时，x＝6，从而利用勾股定理求解即可. 【详解】解：（1）如图①，作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝BC＝6， 在Rt△ABD，AD2＝AB2﹣BD2＝100﹣36＝64， ∴AD＝8， ∴△ABC的面积＝BC•AD＝×12×8＝48， 故答案为：48； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ，， ，， 如图②，过点P作于点E， ∴∠ABC=∠PEC， ∴PE∥AB， ∴， ， ，， ； （3）①如图③，过点D作DH⊥BC于H， ∵∠BCD＝30°，DH⊥BC， ∴DH＝CD＝， ∴ ∵BC+CD＝12米， ∴BC＝（12﹣x）米， ∴y＝×BC×DH＝××（12﹣x）＝； ②∵ ∴当x＝6时，y有最大值为27， ∴DH＝3米，CH＝9米，BC＝6米， ∴BH＝（6﹣9）米， ∴BD2＝DH2+BH2＝27+189﹣108＝（216﹣108）平方米， ∵∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴2AD2＝BD2， ∴AD2＝＝（108﹣54）平方米， ∵四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BDC＝×AD2+27＝54﹣27+27＝（81﹣27）平方米． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $