精品解析：浙江省嘉兴市三校联考2025-2026学年高一上学期10月阶段性测试数学试卷

嘉兴市三校联考2025-2026学年高一上学期10月阶段性测试 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，一元二次方程有一个正根，一个负根，则p是q的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知x，y为正实数，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5. 已知函数则函数定义域为（    ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 当时，关于x的不等式有解的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 方程有唯一解，则实数k的范围是 (　 　) A. B. C. D. 或 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 若，则 B. ，当时， C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 D. 函数的最小值为3 11. 设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ） A. 若m=1，则 B. 若，则≤n≤1 C. 若，则 D. 若n=1，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则___________. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 14. 已知，，，则的最小值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求a的取值范围． 16. 设函数，其中. （1）若命题“，”为假命题，求实数的取值范围； （2）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 17. 利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． （1）求a与b满足的关系式； （2）求仓库占地（即底面）面积S的最小值； （3）求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 18. 已知函数（）. （1）若不等式恒成立，求m的取值范围； （2）解不等式. 19. 定义． （1）用解析式表示，并写出的定义域： （2）证明：； （3）设．若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴市三校联考2025-2026学年高一上学期10月阶段性测试 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数定义域可化简集合B，然后由交集定义可得答案. 【详解】. 则. 故选：B 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是：，. 故选：B 3. 已知，一元二次方程有一个正根，一个负根，则p是q的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为一元二次方程有一个正根，一个负根， 所以， 因此由一定能推出，由不一定能推出， 所以p是q的充分不必要条件， 故选：A 4. 已知x，y为正实数，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】将原式变形，换元设，然后利用基本不等式可求得结果. 【详解】由题得，设， 则， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为6． 故选：C． 5. 已知函数则函数定义域为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式、分式的性质列不等式求函数的定义域. 【详解】由解析式知，则或， 所以函数的定义域为. 故选：C 6. 已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由偶函数及其单调性确定的取值，再解一元二次不等式，然后可得. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，满足函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，且， 所以当； 当；当；当 时，成立. 故选：D. 7. 当时，关于x的不等式有解的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出当时，关于x的不等式有解的充要条件，再根据充分不必要条件与充要条件的关系得出答案. 【详解】当时，关于x的不等式有解， 即在上有解.令，， 所以，则， 代入得， 当且仅当时取等号，此时，的最小值为6. 故当时，关于x的不等式有解的充要条件是， 所以满足题意的充分不必要条件是的真子集，选项中只有C符合 故选：C 8. 方程有唯一解，则实数k的范围是 (　 　) A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数与方程的思想，将问题转化成直线与半圆有一个公共点的问题，借助于图象和计算即可求得参数范围. 【详解】由题意知，直线与半圆只有一个公共点． 作出两函数的图象，由图可知，考虑三种临界情况：①直线与半圆相切；②直线经过两点；③直线经过点. 对于①，可由圆心到直线的距离，解得，由图可得，即； 对于②，将点代入，解得； 对于③，将点代入，解得. 依题意，方程有唯一解等价于或. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断ACD，举反例排除B，从而得解. 【详解】对于ACD，因为， 所以，，，故ACD正确； 对于B，取，则，故B错误. 故选：ACD. 10. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 若，则 B. ，当时， C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 D. 函数的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别对每个选项进行分析判断，根据不等式的性质、充分不必要条件的定义以及函数最值的求解方法来确定每个命题的真假. 【详解】对A，由知，结合得，A选项正确； 对B，因为，由，故，，B选项错误； 对C，不等式的解集为，条件是其真子集，C选项正确； 对D，由题可得，由，得，根据均值不等式，，当且仅当即时取等号，所以，最小值为，D选项正确. 故选：ACD. 11. 设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ） A. 若m=1，则 B. 若，则≤n≤1 C. 若，则 D. 若n=1，则 【答案】BC 【解析】 【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可 【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S. ∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或； 同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： . 对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误； 对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确； 对于C: 若，有，解得：，故C正确； 对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据元素与集合的关系求出的值，并根据集合中元素的互异性检验. 【详解】因为，所以，或. 当时，，，所以不合题意； 当时，. 当时，集合，符合题意，不合题意. 故答案为:. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可. 【详解】函数的定义域为， 则，则或 则函数的定义域为. 故答案为： 14. 已知，，，则的最小值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由条件和基本不等式直接可得. 【详解】由，，，得. ， 当且仅当，即，由，得时不等式等号成立. 所以当时，有最小值. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集的定义即可求解； （2）结合补集运算以及子集的定义，利用数轴讨论即可得解. 【小问1详解】 当时， ∴，. 【小问2详解】 ∵或，又， ∴或 解得或. 16. 设函数，其中. （1）若命题“，”为假命题，求实数的取值范围； （2）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 【答案】（1） （2）在区间上单调递减.证明如下： ，且， 则 ， 因为，且， 所以，，， 所以，即，即， 所以在区间上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据题意可推出“，”为真命题，结合判别式列不等式，即可求得答案； （2）由题意可得的表达式，判断其单调性，利用函数单调性的定义，即可证明结论. 【小问1详解】 因为命题“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 17. 利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． （1）求a与b满足的关系式； （2）求仓库占地（即底面）面积S的最小值； （3）求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】（1），其中，． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设有，化简整理可得关系式； （2）根据（1）可得，结合对应函数的单调性求最小值； （3）解法一：应用基本不等式有，解一元二次不等式求得，结合求最大值； 解法二：根据已知得，再应用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 由题设，则且； 【小问2详解】 由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． 【小问3详解】 解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 18. 已知函数（）. （1）若不等式恒成立，求m的取值范围； （2）解不等式. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由不等式恒成立，转化为恒成立，分类讨论，结合二次函数的性质列出不等式组，即可求解； （2）由不等式，得到， 结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； 【小问1详解】 当时，，不满足恒成立，舍去； 当时，由二次函数的性质可得， 解得， 所以m的取值范围为. 【小问2详解】 由不等式，可得， 即， 若时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 若时，不等式可化为， ①当时，不等式等价于，解得或， 不等式的解集为； ②当时，不等式等价于， 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为， 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 定义． （1）用解析式表示，并写出的定义域： （2）证明：； （3）设．若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1），定义域为； （2） 情况一：当时， 等式右边； 情况二：当时，， 等式右边. 综上，等式成立. （3）. 【解析】 【分析】（1）按的大小分类，得到的解析式； （2）按的大小分类证明； （3）令，，由第（2）小问知：，然后把题意转化为都大于等于2，对任意 恒成立，可得答案. 【小问1详解】 设 ，. 令得：， ， ，解得  或 ， 由于  是开口向上的二次函数（二次项系数为正）， 当  或  时，，故 ； 当  时，，故 . 因此，，定义域为 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意知：在上的值域是在上的值域的子集， 由于  在  上单调递增，值域为 . 因此，只需满足对任意 ，有 . ， ， ， 令，， ， 由（2）知：， 要使对任意 恒成立， 又对任意 恒成立， 所以只需对任意 恒成立， 易知：当时，不成立； 当时，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $