精品解析：甘肃省陇南市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末学业水平抽测卷 八年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列优秀传统文化产物中，未利用轴对称进行设计的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方运算及幂的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算及幂的乘方运算是解题的关键．根据积的乘方法则及幂的乘方运算，逐步计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 3. 如图，直线，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 4. 下列变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，是因式分解，符合题意； C、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 5. 利用平方差公式计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． 先将化为的形式，再利用平方差公式计算，然后去括号，再由有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 6. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算．熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．利用分母与 互为相反数的关系，将分式变形后合并计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴原式 = ， 故选：D． 7. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件．分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，需注意分母不为0的限制，据此进行求解即可． 【详解】解：∵分式值为0， ∴分子且分母． 解方程：，即， ∴或． 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，分式有意义． ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F， ∴，， ∴的周长是， 故选：B． 9. 如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得，，得到，于是得到，再证明，得到，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，深刻理解垂下的意义，得到平行线成为解题的关键性突破口． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如果把分式中的m和n都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的2倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的4倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解： ∵分式中的m和n都打扩大到原来的2倍， ∴， ∴缩小到原来的， 故选：C ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 把多项式分解因式的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式中提公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式，然后利用完全平方公式法因式分解即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，已知，，要判定，则需添加条件___________．（只需写出一种即可） 【答案】或或（写出一种即可） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的五种判定方法是解题的关键，即、、、和．根据全等三角形的判定方法可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 添加的条件是， 在和中， ， ∴； 添加的条件是， 在和中， ， ∴； 添加的条件是， 在和中， ， ∴． 故答案为：或或． 13. 已知点和关于轴对称，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．利用关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，得出，，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，点为边的中点，连接，点、为直线上的点，连接，，且．若，，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，可证，由全等三角形性质可得，然后根据求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：为边的中点 ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 15. 科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“”用科学记数法表示为_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 16. 如图．点B，C，D，E，F在∠A的两边上，，，则________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理．由，根据等腰三角形的性质，即可得，，，，又由三角形外角的性质、三角形内角和定理，即可求得的度数，此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂、零指数幂以及有理数的乘方运算．关键在于准确识别各项运算类型并正确应用法则，特别注意符号处理，尤其是最后一项的减法与负号结合的情况． 【详解】解：原式 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法与整式加减运算．首先分别计算两个括号内的乘积，使用单项式与多项式相乘的法则展开，再进行去括号和合并同类项，注意符号处理，尤其是减号后面的括号需变号． 【详解】解：原式 19. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．先去分母化为整式方程，再进行去括号合并，最终进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解是． 20. 先化简，再求值：，其中x是从，0，1，2中选取的一个合适的数． 【答案】，，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值,分式有意义的条件，完全平方公式，平方差公式．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把符合题意的x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ， ∵且， ∴且， ∴选，则原式． 21. 如图，于，于，，. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理．熟练掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质得出，根据角平分线判定定理即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，由线段的和差关系求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴． 22. 王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发分钟，才能按原驾车的时间到达学校．问：王老师驾车平均每小时行多少千米？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找准等量关系． 设王老师骑自行车的平均速度是x千米/小时，可用x表示出王老师驾车的平均速度，根据题意列出分式方程求解，再求出王老师驾车的速度． 【详解】解：设王老师骑自行车的平均速度是x千米/小时，则王老师驾车的平均速度是千米/小时， 由题意得：，. 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（千米/小时）． 答：王老师驾车的平均速度是千米/小时． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. （1）已知，求； （2）已知（x，y是正整数），求的值． 【答案】（1）；（2）。 【解析】 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，将进行变形，转化为用和（即 ）表示的形式，再代入已知条件计算． （2）先把转化为以为底的幂，即，然后根据同底数幂乘法法则将变形为，再结合已知条件求出的值，进而计算出结果． 本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法等幂的运算性质，熟练掌握幂的乘方公式 、同底数幂乘法公式是解题的关键． 【详解】解：（1），， ， 把，代入上式，原式； （2） 又， 把代入，原式 24. 如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使和关于x轴对称； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2），， （3）的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图，网格中三角形面积的计算，解题的关键是作出对应点的位置． （1）先作出点A、B、C关于x轴的对称点，，，然后顺次连接即可； （2）根据图形写出，，的坐标即可； （3）利用割补法求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，，，； 【小问3详解】 解：的面积为： ． 25. 如图，在中，于平分． （1）若，且，求的度数； （2）若，的面积为2，，求点E到边的距离． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定义得到，根据等边对等角以及三角形内角和得到，结合已知可求出，利用即可求出结果； （2）过点作于点M，于点N，求出，根据，求出的长，根据角平分线性质即可求出最后结果． 【小问1详解】 解：平分， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点M，于点N， ，， ，即， ， ， ， ， ，，平分， ， 点E到边的距离为4． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键． 26. 题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与x互为相反数， 所以我们不妨设，． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． （1）若，求的值； （2）若x满足，求的值． 【答案】（1） 43 （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握换元法以及完全平方公式的变形是解题的关键． （1）设，，得到，，利用完全平方公式变形计算即可； （2）设，，利用完全平方公式变形计算即可． 【小问1详解】 解：设，，则，， ， ； 【小问2详解】 解：设，，则 ， ， ， ， ， 解得：， ． 27. 【问题发现】 （1）如图1，在中，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中是边上的高．延长交于点，设面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：直线直线， ， ， ， ， ， 在和中， ； （2），证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3），理由如下： 过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证明：， ， ， ， . 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．熟知全等三角形的判定定理与性质定理是解题关键． （1）证明，即可根据“角角边”证明； （2）证明，根据“角角边”证明，得到，即可证明； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N．证明，得到，同理可证明，得到，从而证明，根据三角形面积公式即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学业水平抽测卷 八年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列优秀传统文化产物中，未利用轴对称进行设计的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 利用平方差公式计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 7. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 不存在 8. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如果把分式中的m和n都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的2倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的4倍 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 把多项式分解因式的结果是___________． 12. 如图，已知，，要判定，则需添加条件___________．（只需写出一种即可） 13. 已知点和关于轴对称，则的值为________． 14. 如图，在中，点为边的中点，连接，点、为直线上的点，连接，，且．若，，则的长度为__________． 15. 科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“”用科学记数法表示为_______ 16. 如图．点B，C，D，E，F在∠A的两边上，，，则________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 解分式方程：． 20. 先化简，再求值：，其中x是从，0，1，2中选取的一个合适的数． 21. 如图，于，于，，. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 22. 王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发分钟，才能按原驾车的时间到达学校．问：王老师驾车平均每小时行多少千米？ 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. （1）已知，求； （2）已知（x，y是正整数），求的值． 24. 如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使和关于x轴对称； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 25. 如图，在中，于平分． （1）若，且，求的度数； （2）若，的面积为2，，求点E到边的距离． 26. 题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与x互为相反数， 所以我们不妨设，． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． （1）若，求的值； （2）若x满足，求的值． 27. 【问题发现】 （1）如图1，在中，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中是边上的高．延长交于点，设面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $