17.2三角形的内角和（同步练习作业设计、题型归纳、分类训练、综合提升） 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

沪教版（新教材）七年级数学下册（同步练习、题型归纳、分类训练、综合提升） 17.2三角形的内角和 目标导航: 1.理解三角形的内角和公理，会进行相关的计算、推理和证明； 2.理解三角形的外角及其性质，会进行相关的计算、推理和证明。 分类训练 【题型1】利用三角形的内角和求角的度数 1.（24-25七年级下·上海静安·月考）在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直定义，由三角形内角和定理可得，通过角平分线定义可得，根据，，从而求得，最后通过角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是， 故选：． 2.（24-25七年级下·上海静安·月考）将一块含有的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质及对顶角相等的有关知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．根据题意画出图形，再根据对顶角相等及直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示： 由对顶角相等可得， ∵此三角形是直角三角形， ∴，即． 故选：C． 3.（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和直角三角形的定义，求出每一个内角的度数是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出每一个内角度数即可判断． 【详解】解：选项A：，三个角相等，每个角为，均为锐角，无直角，不符合条件，排除． 选项B：，总份数为，对应角度分别为：，，存在90°角，且另两角之和为，符合条件． 选项C：，总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除． 选项D：总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除． 综上，正确答案为B． 故选：B． 4.如图，，的平分线交于点，交于点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行内错角相等得，，结合角平分线的定义推得，由三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：， ，， ， ， 平分， ， ， 中，， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握两直线平行内错角相等． 5.（24-25七年级下·上海虹口·月考）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，与交于点G，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质的运用，三角形内角和定理，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．折叠得到，，再根据，可得． 【详解】解：∵把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2】列方程求角的度数 6.（24-25七年级下·上海长宁·期末）在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 设，则，根据列方程求出，，然后根据三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． ∴为直角三角形． 故选：A． 7.（24-25七年级下·上海·月考）在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定义，三角形的分类．根据题意得出，根据三角形的内角和列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴是直角三角形， 故选：B． 8.（24-25七年级下·四川成都·月考）已知中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，设，则，，根据三角形的内角和是180度分别求出各个角的度数即可判断三角形的种类． 【详解】解：∵ ∴设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， 则这个三角形是是钝角三角形， 故选：C 9.（24-25七年级下·上海·月考）在中，，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，设，则，，根据三角形内角和定理建立方程，求出α的值，进而求出，即可得出结论． 【详解】解：设，则，， 根据三角形内角和定理可知，， ∴， ∴， ∴， ∴是钝角三角形． 故答案为：钝角． 10．（24-25七年级下·上海普陀·期中）一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角和是． 设三个外角的度数分别为，，，得到，求出，得到三个外角的度数，从而求出这个三角形三个内角的度数，即可判断此三角形的形状． 【详解】解：∵这个三角形三个外角的度数比为， ∴设三个外角的度数分别为，，， ∴， ∴， ∴三个外角的度数分别为，，， ∴与三个外角对应的三个内角分别为，，， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【题型3】利用三角形的外角性质求角的度数 11.（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，利用性质求解即可． 【详解】是的外角 解得： 故选：D． 12.（24-25七年级下·上海黄浦·月考）已知如图，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．利用三角形内角与外角的关系解答即可． 【详解】解：如图，、是的外角， ，， 即， ， ． 故选：B． 13.（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，，，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查了三角形外角的性质，根据，得出答案即可．熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 【详解】解：∵，，为的外角， ∴． 故选：C． 14.在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是 【答案】/230度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 15．如图， ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查三角形的内角和为，将所求角的度数转化为某些三角形的内角和是解题的关键． 由，得所求角的度数和等于的内角和，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【题型4】利用三角形的外角性质进行计算、推理或证明 16.（24-25七年级下·上海浦东·月考）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又∵， ∴ ， 即． 17.（24-25七年级下·上海嘉定·月考）如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，，求的度数； (2)当，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据是高，求出，根据是角平分线，求出，进而求出的度数； （2）根据是高，是角平分线，证得和，据此进行证明即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 是高， 于点D， ， ， 是角平分线， ， ， 的度数为； （2）证明：在中，是高，是角平分线， 于点D，，且， ， ， ， ， ， ． 18．如图，在中，是上的一点，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角性质，掌握相关性质定理是解题的关键．先根据内角和定理求出和的度数，再利用外角性质求解的度数，进而得解． 【详解】解：，， ， 又，， ， ， ． 19.如图，在中，是角平分线，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义及直角三角形的性质，解题的关键是先求出的度数，再利用角平分线和直角三角形的性质计算角度． 根据三角形内角和求出；由角平分线定义得；结合，利用直角三角形两锐角互余求． 【详解】解： 在中，，， ． 是角平分线， ． ， ， ． 20.（24-25七年级下·上海徐汇·月考）【题目】如图1，根据图形填空． （1）______，______； （2）____________； 【应用】 （3）如图2，求的度数； 【拓展】 （4）如图3，若，则为______度． 【答案】（1）；（2）；（3）（4）220 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键． （1）利用三角形外角性质即可求出； （2）根据外角性质，将转化到一个三角形内计算即可； （3）利用三角形外角性质将转化到一个三角形中，再根据三角形内角和即可得到结果； （4）利用外角套外角可得，，根据对顶角相等，即可计算出结果． 【详解】解：（1）因为是三角形的外角， 所以． 因为是三角形的外角， 所以． 故答案为；． （2）因为，， 所以． 故答案为；． （3）因为，， 所以． （4）根据三角形外角性质可得， ，． 因为， 所以． 所以． 故答案为：220． 【题型5】三种基本模型 21.（24-25七年级下·上海·月考）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查了三角形内角和定理及对顶角相等，理解题意是解题关键． （1）根据对顶角相等及三角形内角和定理即可证明； （2）根据角平分线得出，再由题意结合图形确定，，求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∵， ∴； （2）∵和的平分线交于点， ∴， ∴①， 由（1）得， 即②， 得：， ∴． 22.（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 【答案】43 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 23.（24-25七年级下·上海闵行·期中）形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，延长到，根据三角形的外角的性质得出，继而得出，代入已知数据，即可求解． 【详解】解：连接，延长到． ∵， ∴， ∵，，， ∴ 故选：B 24.如图所示，，，，则 ． 【答案】/76度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，通过延长交于点，利用三角形外角的性质，逐步推导得出的度数． 【详解】解：延长交于点． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 25.平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O． (1)如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数； (2)如图2，若，，，，求的度数； (3)如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，同理可得，由可得，代入计算即可得解； （2）由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，，同理可得，由可得，代入计算即可得解； （3）由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，，同理可得，由可得，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵和的角平分线交于点M， ∴，， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【题型6】双角平分线的夹角模型 26.（24-25七年级下·上海闵行·月考）（20-21七年级下·上海金山·期末）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，再利用三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵∠A=n°， ∴∠ABC+∠ACB=（180-n）°， ∵BD、CE分别是△ABC的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=（180-n）°=90°-n°， ∴∠COD=∠OBC+∠OCB=90°-n°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠OBC+∠OCB的度数是解题的关键． 27.（24-25七年级下·上海·期中）如图，、分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，那么的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义及三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键，由角平分线得，．再根据三角形的外角性质得，，从而得． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，． ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：． 28.（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴ ， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 29.如图，在中，的平分线与的平分线相交于点P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)直接写出与的数量关系为____________． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 (3) 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理和三角形外角的应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． （1）根据三角形内角和可得，再根据角平分线的定义可得，最后运用三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形外角可得，，根据角平分线的定义可得，最后运用三角形内角定理即可求解； （3）设，综合运用三角形角平分线的定义、三角形内角和定理和三角形外角的应用并结合前两问即可求解． 【详解】（1）解：在中， ， ∵、分别平分、， ∴ ， 在中， ； （2）解：由图可得，，， ∵、分别平分和， ∴， ， ∴ ， ∴在中， ； （3）解：设， 在中，， ∵、分别平分、， ∴ ， 在中， ， ∵，， 又∵、分别平分这两个外角， ∴ ， 在中， ， ∴． 故答案为：． 30.如图，和是的外角，，，若，则 ． 【答案】135 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理得到，则，根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理得到，进而计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型7】三角形叠角求角模型 31.如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∴， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 32．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及外角的性质，翻折变换，解题的关键是得出折叠前后不变的角．根据折叠的性质可得，再由三角形内角和定理以及外角的性质，即可求解． 【详解】解：结论：，理由如下： 如图，补全折叠前的图形， ∵是沿折叠得到， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ∴； 故选B． 33.如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，使A点落在同一平面内的点F处，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠的性质与平行线的性质，灵活结合折叠的全等性和平行线的角度关系是解题的关键．根据折叠的全等性得到对应角相等，再结合平行线的同位角相等，利用平角的度数关系，进而求出的度数． 【详解】解：， ， 又由折叠而来， ， ， 即， ． 故答案为：． 34.（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，将纸片沿折叠，则、和这三个角有什么数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，熟练掌握折痕是角平分线以及三角形的内角和定理，外角的性质，是解题的关键． 根据折叠和平角的定义，求出，根据外角的性质和三角形的内角和定理推出，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C． 35.（24-25七年级下·上海闵行·月考）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形外角的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接，由折叠的性质得出．由三角形外角的性质可得出结论； （2）由三角形外角的性质得出，则可得出结论； （3）①延长交的延长线于L，由（2）中结论可知，求出．则可得出答案． 【详解】解：（1），理由如下： 如图①，连接， 将三角形纸片沿折叠，点A落在四边形内点的位置， ． ， ， 即； 故答案为：； （2），理由如下： 如图②，设与交于点F， ， ， ； （3）如图③，延长交的延长线于L，由（2）中结论可知， ， ． ， ． 故答案为：． 分类训练 1．在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形内角和是180°，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：在中，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 2．将一副三角板按图中方式叠放，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】 解：由题意可得： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图，熟知三角板各角的度数是解题的关键． 3．将一个含的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角板中角度的求解，根据题意得：，，，根据平行线的性质和邻补角可得，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意得：，，， ， ， 故选：B． 4．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．利用三角形内角和以及角平分线的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 两锐角的角平分线、交于点F， ，， ， ， 故选：A． 5．已知中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，设，则，，根据三角形的内角和是180度分别求出各个角的度数即可判断三角形的种类． 【详解】解：∵ ∴设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， 则这个三角形是是钝角三角形， 故选：C 6.如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角定理﹒先根据角平分线定义求出，再根据三角形外角定理即可求出﹒ 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴， ∴﹒ 故选：D 7．如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出，，进而得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，在中，和的平分线，相交于点． (1)若，则的度数为　　　． (2)若，求（用含的代数式表示）． 【答案】(1)110 (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和得出的值，再根据角平分线的定义易得出的值，然后再根据三角形内角和即可得出答案； （2）根据三角形内角和得出的值，再根据角平分线的定义易得出的值，然后再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ． 9．在，，，求，，的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，正确的计算是解题的关键． 设，则，，根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：∵，， 设，则，， 根据题意得，， 解得 ∴， ∴，． 10．已知：如图，，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 11．如图，是的高，平分交于点，，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查的知识点是高线的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理、几何图形中角度计算问题，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理． 结合高线的定义、角平分线的定义得出的度数后，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：是的高， ， ， ， 平分， ， ． 12．如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解：沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 13.定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 【答案】(1)①是②是“和谐三角形”，理由见解析 (2)或 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；②根据三角形内角和定理求出的度数，由可知，再求出各角的度数，进而可得出结论； （2）由“和谐三角形”的定义可知分或两种情况求解，据此得出结论． 【详解】（1）解：①是“和谐三角形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是“和谐三角形”； 故答案为：是． ②是“和谐三角形”．理由如下： ，， ． ， ， ， ， 是“和谐三角形”． （2）解：或   【提示】由题意知，，． ，， ， ． 又，， ∴当是“和谐三角形”时，分或两种情况求解． 当时，； 当时， ， ． 综上所述，的度数为或． 14．如图①，与相交于点，得到一个“字”． (1)求证：. (2)如图②，其中共有几个“字” (3)如图②，若，分别是，的平分线，利用（1）中的结论，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握“字”的定义是解此题的关键 （1）利用三角形内角和定理解决问题即可； （2）根据“字”的定义即可解决问题； （3）利用（1）中结论解决问题即可 【详解】（1）证明：在中，． 在中，． ， ； （2）解：如图：令、交于点，、交于点，、交于点， 由图可得：图中有“字”、“字”、“字”，“字”、“字”、“字”，共有个“字”； （3）解：在“字”中，由（1），可得． 在“字”中，由（1），可得． 由，得． 平分，平分， ，． ∴，即 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版（新教材）七年级数学下册（同步练习、题型归纳、分类训练、综合提升） 17.2三角形的内角和 目标导航: 1.理解三角形的内角和公理，会进行相关的计算、推理和证明； 2.理解三角形的外角及其性质，会进行相关的计算、推理和证明。 分类训练 【题型1】利用三角形的内角和求角的度数 1.（24-25七年级下·上海静安·月考）在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·上海静安·月考）将一块含有的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（   ） A． B． C． D． 4.如图，，的平分线交于点，交于点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5.（24-25七年级下·上海虹口·月考）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，与交于点G，若，则的度数为 ． 【题型2】列方程求角的度数 6.（24-25七年级下·上海长宁·期末）在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 7.（24-25七年级下·上海·月考）在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 8.（24-25七年级下·四川成都·月考）已知中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 9.（24-25七年级下·上海·月考）在中，，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 10．（24-25七年级下·上海普陀·期中）一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是 三角形． 【题型3】利用三角形的外角性质求角的度数 11.（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 12.（24-25七年级下·上海黄浦·月考）已知如图，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于　　 A． B． C． D． 13.（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，，，则度数为（   ） A． B． C． D． 14.在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是 15．如图， ． 【题型4】利用三角形的外角性质进行计算、推理或证明 16.（24-25七年级下·上海浦东·月考）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 17.（24-25七年级下·上海嘉定·月考）如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，，求的度数； (2)当，求证：． 18．如图，在中，是上的一点，，，，求的度数． 19.如图，在中，是角平分线，，，，求的度数． 20.（24-25七年级下·上海徐汇·月考）【题目】如图1，根据图形填空． （1）______，______； （2）____________； 【应用】 （3）如图2，求的度数； 【拓展】 （4）如图3，若，则为______度． 【题型5】三种基本模型 21.（24-25七年级下·上海·月考）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用1的结论） 22.（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 23.（24-25七年级下·上海闵行·期中）形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24.如图所示，，，，则 ． 25.平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O． (1)如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数； (2)如图2，若，，，，求的度数； (3)如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数． 【题型6】双角平分线的夹角模型 26.（24-25七年级下·上海闵行·月考）（20-21七年级下·上海金山·期末）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（    ） A． B． C． D． 27.（24-25七年级下·上海·期中）如图，、分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，那么的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 28.（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 29.如图，在中，的平分线与的平分线相交于点P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)直接写出与的数量关系为____________． 30.如图，和是的外角，，，若，则 ． 【题型7】三角形叠角求角模型 31.如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 32．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（    ） A． B． C． D． 33.如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，使A点落在同一平面内的点F处，若，则 ． 34.（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，将纸片沿折叠，则、和这三个角有什么数量关系（   ） A． B． C． D． 35.（24-25七年级下·上海闵行·月考）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 综合提升 1．在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．将一副三角板按图中方式叠放，则等于（    ） A． B． C． D． 3．将一个含的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 4．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 5．已知中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6.如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 8．如图，在中，和的平分线，相交于点． (1)若，则的度数为　　　． (2)若，求（用含的代数式表示）． 9．在，，，求，，的度数． 10．已知：如图，，平分，，，求的度数． 11．如图，是的高，平分交于点，，，求的度数． 12．如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 13.定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 14．如图①，与相交于点，得到一个“字”． (1)求证：. (2)如图②，其中共有几个“字” (3)如图②，若，分别是，的平分线，利用（1）中的结论，求证：． 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $