精品解析：福建省莆田市三校2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷

绝密★启用前 福建省莆田市三校2024-2025学年高一上学期期末联考 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知命题p：，有，则（ ） A. p是真命题，p的否定：，使 B. p是真命题，p的否定：，使 C. p是假命题，p的否定：，使 D. p是假命题，p的否定：，使 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定及一元二次不等式恒成立的条件判断即可. 【详解】因为恒成立，所以命题p是假命题； p的否定是：，使. 故选：D. 2. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】举例当时可判断A的正误；利用作差法可判断B的正误；利用不等式的基本性质可判断C的正误；结合对数函数的性质可得，进而判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，则， 所以，故B错误； 对于C，由，得， 所以， 又，所以， 因此，故C正确； 对于D，由，得，即， 当时，命题不成立，故D错误. 故选：C. 3. 已知某扇形折叠扇的面积为200，周长为60，且扇形弧长大于其半径，则该扇形折叠扇的半径和圆心角的大小分别为（ ） A. 10，4 B. 20，4 C. 10，6 D. 20，6 【答案】A 【解析】 【分析】由扇形的周长和面积公式联立计算即得. 【详解】设该扇形折叠扇的圆心角，弧长，半径，面积分别为α，l，r，S， 易得弧长，周长等于，， 两式联立解得或,因,即, 故. 故选：A. 4. 若函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数  的图并利用特殊值即可求解. 【详解】对于B，由题可知函数  的图象，当 时，故B项错误； 对于A、C、D：对于函数  ， 当时，，故C、D项错误，A项正确. 故选：A. 5. 已知，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算法则和换底公式即可求解. 【详解】由，得，所以，又，所以. 故选：D． 6. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同时除以可得. 【详解】. 故选：A. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由偶函数及其单调性确定的取值，再解一元二次不等式，然后可得. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，满足函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，且， 所以当； 当；当；当 时，成立. 故选：D. 8. 已知函数在上只有一个零点，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别作出函数与函数的图象，分，讨论即可． 【详解】由，得， 在同一坐标系内作出函数与函数的大致图象， 当时，，如图， 当时，与的图象有一个交点，符合题意； 当时，，如图， 当时，要与的图象有一个交点，当且仅当， 即，而，解得， 综上，正实数m的取值范围为． 故选：D 【点睛】关键点点睛：解决的关键是作出二次函数与三角函数的图象，利用数形结合求解. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意得，由不等式性质判断A，由指数函数性质判断BD，由对数函数性质判断C. 【详解】因为，所以，所以，故A错误； ，故B正确；，故D正确； 对于C，当时，此时，故C错误. 故选：BD. 10. 《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数的图象上，且图象过最高点，相邻最大值点与最小值点之间的水平距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值域为 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设描述的正弦型函数的性质求解析式，再结合正弦函数的性质求区间值域和区间单调性判断A、B、C；根据图象平移写出解析式，应用代入法判断对称中心确定D的正误. 【详解】由题设，函数的周期满足：，解得， 且，， 即，，因，则， 所以. 对于A，，故A正确； 对于B，由可得，故，故B错误； 对于C，由可得，结合正弦函数的性质知在上单调递增，故C正确； 对于D，将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得， 因，即得到的函数图象不关于点对称，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数，若函数有且仅有4个零点，，，（其中），则（ ） A. 函数的增区间为， B. 的取值范围为 C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出函数图象，即可判断A，由与有且仅有个交点，结合图象求出的取值范围，即可判断B，结合图象可得，再由对称性即可判断C，将式子转化为关于的解析式，结合函数的单调性，即可判断D. 【详解】因为， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，； 当时，所以在上单调递减， 在上单调递增，且，； 所以函数的图象如下： 对于A：由函数的图象可知，函数的增区间为，，故A正确； 对于B：因为函数有且仅有4个零点， 令，则，即与有且仅有个交点， 由函数的图象可知，，故B错误； 对于C：由函数的图象可知， 又由，有，可得， 又由二次函数的对称性，有，可得，故C正确； 对于D：由， 则 ， 又函数单调递增，所以， 单调递增，所以， 所以， 即的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则_________． 【答案】27 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求得定点A的坐标，再据此求出的表达式，最后再求的值即可． 【详解】由题意，，则，函数恒过的定点A为， 设，∵过A点，∴，解得， ∴，∴． 故答案为：27． 13. 已知，则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】由诱导公式化简即可求解. 【详解】， 故答案为：. 14. 已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，则的最小值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】作函数与图象，结合图象可得，，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】作函数与图象如下： 由图可得， 存在四个不相等的实根，可得， 可得，，即，， 所以， 当且仅当即且等号成立， 则的最小值是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知全集，集合，. （1）若，求及； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，利用补集的定义可求得集合，当时，写出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，结合题意可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 集合，且全集， 则. 因为，所以，所以. 【小问2详解】 因为，则. 当，即时，，合乎题意； 当，即时，，则，可得. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知函数 ，其中，，函数图象上相邻的两条对称轴之间的距离为. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在 上的最大值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出的值，然后求出的解析式后再求解其单调递增区间； （2）根据题意进行变化得到的解析式，然后求出的解析式并求出其最大值. 【小问1详解】 由题知，，所以，，所以，. 所以得：. 所以得：，即， 故的单调递增区间为. 【小问2详解】 将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）， 得，再向右平移个单位长度，得.所以可得： ， 因为，所以得：， 所以当：时，即：时，取得最大值为. 17. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 【解析】 【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，万元， 当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 18. 已知函数. （1）求，，，的值，并判断奇偶性； （2）判断在的单调性； （3）已知曲线关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.类比此结论，写出曲线关于点中心对称的充要条件，并据此求出函数的图象的对称中心. 【答案】（1），非奇非偶函数； （2）单调递增，理由：函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增. （3）曲线关于点中心对称的充要条件是函数是奇函数，. 【解析】 【分析】（1）求出函数值，利用奇偶性定义判断即可. （2）借助幂函数、二次函数单调性判断即可. （3）类比写出结论，再求出对称中心. 【小问1详解】 函数，则， 且，因此函数是非奇非偶函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 曲线关于点中心对称的充要条件是函数是奇函数， 由于， 则，即函数是奇函数， 所以函数的对称中心为. 19. 已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求证：，并求的值； （3）令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：若，则， ， 设， 则， 两式相加得，即，则， 故. （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的值域； （2）利用指数运算可证得，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值； （3）令，，由结合参变量分离法可得，利用双勾函数的单调性求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，函数为增函数， 则函数的最大值为，函数的最小值为， 所以，函数的值域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 设，当时，， 则函数等价于， 若函数在区间上有零点，则等价于在上有零点， 即在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以，， 设，则，则， 因为函数在区间上单调递增，且，， 当时，，所以，， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 福建省莆田市三校2024-2025学年高一上学期期末联考 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知命题p：，有，则（ ） A. p是真命题，p的否定：，使 B. p是真命题，p的否定：，使 C. p是假命题，p的否定：，使 D. p是假命题，p的否定：，使 2. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知某扇形折叠扇的面积为200，周长为60，且扇形弧长大于其半径，则该扇形折叠扇的半径和圆心角的大小分别为（ ） A. 10，4 B. 20，4 C. 10，6 D. 20，6 4. 若函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上只有一个零点，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数的图象上，且图象过最高点，相邻最大值点与最小值点之间的水平距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值域为 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 11. 已知函数，若函数有且仅有4个零点，，，（其中），则（ ） A. 函数的增区间为， B. 的取值范围为 C. D. 的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则_________． 13. 已知，则___________ 14. 已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，则的最小值是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知全集，集合，. （1）若，求及； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数 ，其中，，函数图象上相邻的两条对称轴之间的距离为. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在 上的最大值. 17. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数. （1）求，，，的值，并判断奇偶性； （2）判断在的单调性； （3）已知曲线关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.类比此结论，写出曲线关于点中心对称的充要条件，并据此求出函数的图象的对称中心. 19. 已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求证：，并求的值； （3）令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $