精品解析：上海市晋元高级中学附属学校2025-2026学年八年级上学期数学12月月考试卷

小练习8 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 实数可分为有理数和无理数 B. 的平方根是 C. 数轴上的点与有理数一一对应 D. 无理数与无理数的和一定是无理数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数的分类、平方根、数轴表示以及无理数的性质，掌握基本概念是解题关键． 根据实数的分类、平方根的定义、数轴的性质以及无理数的性质进行判断． 【详解】解：A、实数包括有理数和无理数，这是实数的标准分类，故A正确，符合题意； B、，2的平方根是，不是，故B错误，不符合题意； C、数轴上的点与实数一一对应，而不是仅与有理数对应，故C错误，不符合题意； D、无理数与无理数的和不一定是无理数，例如为有理数，故D错误，不符合题意． 故选：A． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进而分别化简求出符合题意的答案． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式； B. =，与不是同类二次根式； C. =，与是同类二次根式； D. =，与不是同类二次根式. 故选C. 【点睛】本题考查同类二次根式的定义，解题关键是正确化简二次根式． 3. 下列命题的逆命题中，真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 关于某一条直线对称的两个三角形全等 D. 对顶角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、直角三角形的判定、轴对称、对顶角相等判断即可． 【详解】解：A、全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题，故A选项不符合题意； B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，逆命题是一个三角形一边的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故B选项符合题意； C、关于某一条直线对称的两个三角形全等，逆命题是两个全等三角形关于某一条直线对称，是假命题，故C选项不符合题意； D、对顶角相等，逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故D选项不符合题意； 故选：B． 4. 有这样一道题目：“已知，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（ ） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值 A. 甲说的对，x的值就是1 B. 乙说的对，x的另一个值是2 C. 乙说的对，x的另一个值是 D. 两人都不对，x应有3个不同值 【答案】D 【解析】 【分析】根据立方根的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，； 即x有3个不同的值，故两人说法都不对； 故选：D． 【点睛】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 5. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在高考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间＝2，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米， 根据题意，可列方程：2， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 6. 在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（ ） A. 小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B. 小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C. 小华作图判定的依据是 D. 小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用圆规作图和全等三角形判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法逐选项进行判断，即可求解； 【详解】解：由图示知，小海第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；小华第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 选项D表述为“小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长”明显错误，符合题意， 故选：D． 7. 如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可． 【详解】∵，平分， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 8. 如图，是的平分线，点是上的一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质与垂线段最短是解题的关键． 过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可． 【详解】解：如图，过点作， 则， ∴， ∵点为直线上的一个动点， ∴当时，最短， ∵是的平分线， ∴当时，， ∴线段的长不可能是2． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 10. 关于x的方程x(x-1)+3(x-1)=0的解是________． 【答案】x1=-3，x2=1 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程． 【详解】x(x-1)+3(x-1)=0 ， （x-1）（x+3）=0， 解得x1=-3，x2=1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． 11. 在实数范围内分解因式：____． 【答案】 【解析】 【分析】将原式变形为，再利用平方差公式分解即可得． 【详解】解： = = = ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． 12. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的根与系数的条件，掌握知识点是解题的关键．一元二次方程有两个实数根的条件是判别式大于或等于零且二次项系数不为零，即可解答． 【详解】解：方程是一元二次方程， 因此． 判别式． 有两个实数根，则， 即， 解得． 综上，的取值范围是且． 故答案为：且． 13. 已知，，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据，判断出，将化简再进行加减运算，最后将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 当，，原式， 故答案为：8． 14. 方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此题的关键，需先确定分母不为零，再通过分子相等求解，并排除增根即可． 【详解】解：由方程 ，分母 ，即 ， 两边同乘 ，得 ， 解得 或 ． 检验： 使分母为零，为增根，舍去； 满足条件， 故方程根为 ， 故答案为： ． 15. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【解析】 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 16. 如图，依据尺规作图的痕迹，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作角平分线与线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，由尺规作图痕迹可知，所作是线段的垂直平分线和的平分线，结合线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义可得答案． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作是线段的垂直平分线和的平分线， 设线段的垂直平分线和的平分线相交于点，线段的垂直平分线交于点， 则，，， 为等腰三角形， ， ， ． 故答案为：． 17. 设、是方程的两个根，当m＝______时，取到最小值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及二次函数最值问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用根与系数的关系将表示为的二次函数，再求其最小值，并验证判别式确保方程有实根． 【详解】解：在方程中，，，， 由根与系数的关系，得，， ∵，将上式代入 ， 故， 令，此为开口向上的二次函数，最小值在顶点处， 顶点横坐标为， 的判别式： 要求，即，解得， ，满足条件， 故当时，取到最小值， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得DF=BE，最后根据直角三角形30度的性质得AC=AE，从而得出，即可得出答案． 【详解】证明：如图，联结CE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE,∠EDB=90°， ∴∠EAB=∠B=15°， ∴∠AEC=30°， Rt△EDB中，∵F是BE的中点， ∴DF=BE， Rt△ACE中,∵∠AEC=30°， ∴AC=AE， ∴AC=DF=4． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及30°所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本性质得出线段关系是解题的关键． 三、解答题（共46分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简各式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程： 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解题的关键． 对方程进行变形化简，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 21. 当m为何值时，关于x的方程在实数范围内无解？ 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，一元二次方程根的判别式，掌握方程和不等式的解法是解答本题的关键. 把分式方程化为整式方程，根据分式方程无解，得出m的取值范围即可． 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， ∵方程无实数解， ∴， 解得：； 当，时分式方程无意义， 把代入得， 把代入得； 综上分析可知：当或时方程无实数解. 22. 为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元． （1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率； （2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？ 【答案】（1）我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%；（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元 【解析】 【分析】（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，利用2022年投资额＝2020年投资额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用这三年我校总共投资的金额＝2020年投资额+2020年投资额×（1+年平均增长率）+2022年投资额，即可求出结论． 【详解】解：（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x， 依题意得：110（1+x）2＝185.9， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）． 答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%． （2）110+110×（1+30%）+185.9 ＝110+143+185.9 ＝438.9（万元）． 答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 23. 已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式被开方数非负性，绝对值的非负性、分式的混合运算、二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则，利用非负性求出a、b的值，利用分式和根式的运算进行化简，再将a、b的值代入求解即可． 【详解】解： ， ， 解得： 代入原式 ． 24. 如图，已知，是的中点，平分．求证： （1）平分； （2）． 【答案】（1）证明：如下图所示，过点作， 平分，， ， ， 是的中点， ， ， 平分； （2）证明：由可知平分， ， 又平分， ， ， ， ∴， ， ， 在中，， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系． （1）过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立； （2）根据可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可证，从而可证结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，中，是边上的高，是边上的中线，与交于点M．，垂足为G．已知：． （1）求证：； （2）如果，，求证：． 【答案】（1） 证明：∵是边上的高，是边上的中线， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∵是边上的高，是边上的中线， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 根据三角形面积公式（这里为底，为高）， ∴，， ∵， ∴； 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形中线的性质和等边三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据CE是边AB上的中线，AD是边BC上的高，得到，然后根据等量变换和等角对等边即可求解； （2）根据等边三角形知识得到，然后证得，再根据含角的直角三角形知识和等量变换，得到，然后根据三角形面积公式分别表示出，，然后即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小练习8 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 实数可分为有理数和无理数 B. 的平方根是 C. 数轴上的点与有理数一一对应 D. 无理数与无理数的和一定是无理数 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题的逆命题中，真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 关于某一条直线对称的两个三角形全等 D. 对顶角相等 4. 有这样一道题目：“已知，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（ ） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值 A. 甲说的对，x的值就是1 B. 乙说的对，x的另一个值是2 C. 乙说的对，x的另一个值是 D. 两人都不对，x应有3个不同值 5. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在高考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（ ） A. 小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B. 小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C. 小华作图判定的依据是 D. 小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 7. 如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 8. 如图，是的平分线，点是上的一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 的平方根是_______． 10. 关于x的方程x(x-1)+3(x-1)=0的解是________． 11. 在实数范围内分解因式：____． 12. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是______． 13. 已知，，则的值为______． 14. 方程的根是______． 15. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 16. 如图，依据尺规作图的痕迹，______． 17. 设、是方程的两个根，当m＝______时，取到最小值． 18. 如图，在中，，，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果，则________． 三、解答题（共46分） 19. 计算：． 20. 解方程： 21. 当m为何值时，关于x的方程在实数范围内无解？ 22. 为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元． （1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率； （2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？ 23. 已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 24. 如图，已知，是的中点，平分．求证： （1）平分； （2）． 25. 如图，中，是边上的高，是边上的中线，与交于点M．，垂足为G．已知：． （1）求证：； （2）如果，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $