精品解析：天津市蓟州区第一中学2025-2026学年高一上学期第二次学习质量调查数学试题

2025-2026学年度第一学期第二次学习质量调查 高一年级数学学科 一、选择题（本题共12小题，每题4分，共48分） 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“成立”的充分不必要条件 D. “”是“成立”的必要不充分条件 4. 已知幂函数的图象过点，则（　　） A. 3 B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 弧长 C. 扇形的周长为 D. 扇形的面积为 10. 已知函数，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 11. 函数，满足对任意不相等的成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知定义在上的奇函数，当时， ，则关于的方程的所有实数根的和是（ ） A. B. 0 C. 7 D. 6 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 13. 函数（且）的图象必过定点_________． 14. 函数的单调递减区间是_______． 15. 已知函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 16. 已知角终边上一点，则___________． 17. _____________. 18. 已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为__________. 三、解答题（本题共4小题，共48分） 19. 已知：. （1）化简； （2）若，为第三象限角，求的值. 20. 已知关于x的不等式的解集为或. （1）求a，b的值； （2）当时，解关于x的不等式. 21. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）试判断在区间的单调性，并证明； （3）对，总，使成立，求实数的取值范围. 22. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）设是定义域上的“类函数”，求实数的取值范围； （2）若为其定义域上的“类函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次学习质量调查 高一年级数学学科 一、选择题（本题共12小题，每题4分，共48分） 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别解出集合和集合，再根据交集的定义即可得到答案. 【详解】由题得则， ， 故选：D． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，即可表达. 【详解】命题“，”的否定是“,”, 故选：B. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“成立”的充分不必要条件 D. “”是“成立”的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】由函数单调性结合充分条件和必要条件的概念逐项判断即可. 【详解】对选项A，由函数的单调性，可得，所以是的充要条件，故A错误； 对选项B，由函数的单调性，可得，所以是的充分不必要条件，故B错误； 对选项C，函数的单调性，可得， 所以是的既不充分又不必要条件，故C错误； 对选项D，函数的单调性，可得，所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 4. 已知幂函数的图象过点，则（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是幂函数用待定系数法求出解析式，再求解即可． 【详解】设所求幂函数为：， ∵幂函数的图象经过点， ,解得 所以， 故选：B. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在求得函数定义域上，根据函数的单调性和某区间的端点函数值异号即可判定. 【详解】因函数的定义域为，且在上单调递增，由， 根据零点存在定理该函数的零点所在的区间是. 故选：A. 6. 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【详解】，即，， 所以. 故选：D 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，平方可得， 可得， 因为，所以，所以， 又由，所以. 故选：B. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意得到为奇函数，排除C，D，再根据，排除B，即可得到答案. 【详解】，定义域为， ， 所以函数为奇函数，排除C，D． 因为，排除B， 故选：A 9. 小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 弧长 C. 扇形的周长为 D. 扇形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧度制与角度制的互化判断A；根据弧长公式判断B：根据扇形的周长和面积公式判断C和D. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：扇形的周长为，C正确； 对于D：扇形的面积为，D错误； 故选：D 10. 已知函数，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的定义得为奇函数，再由基本初等函数的单调性可得为增函数，从而得，即可求解. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 易知在定义域上单调递增， 由，得到， 所以，解得， 故选：A. 11. 函数，满足对任意不相等的成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可判断函数在上严格单调递增，然后根据一次函数和指数函数的单调性列出不等式，求出解集即可. 【详解】因为函数对任意不相等的，都有， 所以函数在上严格单调递增. 因为，则有. 解得. 故选：B. 12. 已知定义在上的奇函数，当时， ，则关于的方程的所有实数根的和是（ ） A. B. 0 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先设，求出方程的解，利用函数的奇偶性作出函数在时的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】解：设，则关于的方程， 等价， 解得或， 当时，，此时不满足方程． 若，则，即， 若，则，即， 作出当时，的图象如图： 当时，对应3个交点．即， ∵函数是奇函数， ∴当时，由， 可得当时，，此时函数图象对应4个交点， 即 方程的7个实根和为． 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 13. 函数（且）的图象必过定点_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可得到定点. 【详解】由，， 所以当时，， 所以函数过定点. 故答案为：. 14. 函数的单调递减区间是_______． 【答案】； 【解析】 【分析】利用复合函数的单调区间求解方法可得答案. 【详解】设，则，； 因为为减函数，在区间为减函数，在区间为增函数， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 15. 已知函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性可知，外层函数是增函数，结合对任意的，恒成立，根据这两个条件可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为且，则内层函数在上为减函数， 由于函数且在区间上单调递减， 则外层函数是增函数，则， 且对任意的，恒成立，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 16. 已知角终边上一点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可. 【详解】由角终边上一点，根据三角函数定义得： 点到原点的距离：， 因此，，所以， 因为，， ，， 所以 分子分母同除以（齐次式弦化切），并把代入得： 原式， 故答案为：. 17. _____________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据分数指数幂和对数的运算性质，以及对数换底公式化简计算即得. 【详解】 . 故答案为：. 18. 已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的解析式，作出的图象，由题意得图象与图象有四个不同的交点，根据二次函数的对称性，可得，根据对数的性质，可得，分析可得的范围，代入所求，化简整理，即可得答案. 【详解】当时，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为有四个不同的解， 所以图象与图象有四个不同的交点，如图所示 根据二次函数的对称性可得，即， 又， 所以，解得， 又，所以， 当时，，解得，所以， 则所求， 因为在单调递减，则最小值为， 所以的最小值为. 故答案为： 三、解答题（本题共4小题，共48分） 19. 已知：. （1）化简； （2）若，为第三象限角，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）先根据诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，即， 所以. 又为第三象限角，所以， 所以. 20. 已知关于x的不等式的解集为或. （1）求a，b的值； （2）当时，解关于x的不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析； 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集可知是方程方程的两根，然后利用韦达定理即可. （2）根据（1）的结论可知，然后对参数进行分类讨论即可. 【小问1详解】 解：由题意得： x的不等式的解集为或 所以是方程方程的两根 则，解得 【小问2详解】 由上一问的结论可知： 当时，不等式的解集为； 当时，方程的两根分别为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 21. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）试判断在区间的单调性，并证明； （3）对，总，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）单调递增，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的解析式，再借助二次函数求出值域. （2）由（1）求出，再利用函数单调性定义推理得证. （3）求出函数在上的值域，函数在上的值域，再结合集合的包含关系列式求解即得. 【小问1详解】 函数， 因此，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，，函数在区间上单调递增， ，则 ，由，得，， 则，即， 所以在区间上是增函数. 【小问3详解】 当时，，因此， 由（2）知在区间上单调递增，则 由对，总，使成立，得， 则，又，则，即，则， 所以实数的取值范围是. 22. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）设是定义域上的“类函数”，求实数的取值范围； （2）若为其定义域上的“类函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据有解得到一个含参数的等式，分离参数，换元后构造函数，将问题转化为求函数的值域问题；（2）根据自变量的范围分类讨论，由有解得到关于含参数的等式，分离参数，构造函数，将问题转化为求函数的值域问题. 【小问1详解】 因为是定义域上的“类函数”， 所以存在实数，满足， 即在上有解， 分离参数得在上有解. 令，则问题转化为在上有解. 令，易知在上是增函数， 所以其值域为，即，所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由题意知在上恒成立， 即在上恒成立，所以. 因为为其定义域上的“类函数”， 所以存在实数，满足. ①当时，，此时即， 所以，即在上有解可保证为“类函数”， 令，易知在上是增函数， 所以，即，所以； ②当时，，此时即，亦即，该式不成立，此种情况无解； ③当时，，此时即， 所以，即在上有解可保证为“类函数”， 令，易知函数在上是减函数， 所以，即，所以. 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $