浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年上学期八年级数学期末自编模拟试卷

浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年上学期八年级期末数学模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版新课标八年级数学上册第1~5章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1.下列四个图案中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.已知，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 3.一次函数的图象不经过  (    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，，从而保证伞圈能沿着伞柄滑动，根据以上条件，证明点在上的依据是  (    ) A. B. C. D. 5.如图，等边的边长为，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 6.如图，网格中每个小正方形的边长均为，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为  (    ) A. B. C. D. 无法确定 7.直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将按如图所示方式折叠，使点与点重合，则折痕的长是  (    ) A. B. C. D. 8.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离米与甲出发的时间分之间的关系如图所示，下列说法正确的是(    ) A. 乙用分钟追上甲 B. 乙追上甲后，再走米才到达终点 C. 甲乙两人之间的最远距离是米 D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 9.若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为(    ) A. B. C. D. 10.如图，直线与轴负半轴交于点，以为边构造等边三角形；过作交直线于点，以为边构造等边三角形，按此规律进行下去，则点的横坐标为(    ) A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共90分） 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知点与点关于轴对称，则点的坐标为          ． 12.若点，都在一次函数的图象上，则          填“”或“”． 13.如图，分别以的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，若，则图中阴影部分的面积为          ． 14.如图，在中，点，，分别在三边上，是的中点，，，交于一点，，，，则的面积是          ． 15.令、两数中较大的数记作，，如，，已知为正整数且使不等式，成立，则的值是______． 16.如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为          ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 解不等式组，并写出它的最大整数解． 18.本小题分 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形顶点是网格线的交点的三角形的顶点，的坐标分别为，． 在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； 作出关于轴对称的，再作出关于轴对称的； 将内一点按照中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为______． 19.本小题分 如图，在中，，是高线，，． 用直尺与圆规作的平分线不写作法，保留作图痕迹． 在的前提下，判断；中哪一个是正确的，并说明理由． 20.本小题分 在中，，是线段上的一动点不与点，重合，以为边在的右侧作，使，，连结． 如图，当时，           ． 如图，设，，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 21.本小题分 如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的已知过点，交于点． 求的大小 求证：是等边三角形． 22.本小题分 某条城际铁路线共有，，三个车站，每日上午均有两班次列车从站驶往站，其中次列车从站始发，经停站后到达站，次列车从站始发，直达站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．                       列车运行时刻表 车次 站 站 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经站，不停车 请根据表格中的信息，解答下列问题： 次列车从站到站行驶了          分钟，从站到站行驶了          分钟． 记次列车的行驶速度为，离站的路程为次列车的行驶速度为，离站的路程为．           ． 从上午开始计时，时长记为分钟如：上午，则，已知千米时可换算为千米分，在次列车的行驶过程中，若，求的值． 23.本小题分 已知点在轴正半轴上，以为边作等边． 如图，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点． 求证：≌； 求证：； 如图，若点为轴正半轴上一动点，点在点的上边，连，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围． 24.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若为内不含边界一点，且与的一条边相等，则称点为的和谐点． 在中，的和谐点是          ； 若点为的和谐点，且，求点的坐标； 直线为过点且与轴平行的直线，若直线上存在的二个和谐点，请直接写出的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年上学期八年级期末数学模拟试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：浙教版新课标八年级数学上册第1~5章。 第一部分（选择题共30分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的。 1.下列四个图案中，是轴对称图形的是() 公n及及e术义n代Y 2.已知x>,则下列不等式成立的是() A.-2.r>-2y B.x-3>y-2C.5-x>5-y D.3x-3>3y-3 3.一次函数y=3x+1的图象不经过（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所 成的角∠BAC,且AE=AF,DE=DF,从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动，根据以上条件，证明点D 在AP上的依据是() A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 5.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为() A.(1,1) B.(1,3) C.(V3.1) D.(3.3) 第1页，共8页 6.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交网格线于点D,则ED的 长为() A.V5 B.V2 C.3 D.无法确定 E B 7.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将△ABC按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，则 折痕DE的长是() 25 B. 15 C. 25 15 A. 2 2 4 D.4 6 B 8.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息.已 知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所 示，下列说法正确的是() ◆y/米 240 16 A.乙用11分钟追上甲 B.乙追上甲后，再走1440米才到达终点 C.甲乙两人之间的最远距离是300米 D.甲到终点时，乙已经在终点处休息了7分钟 第2页，共8页 9.若不等式3(x+1)-2≤4(x-3)+1的最小整数解是方程-m=5的解，则m的值为) 3 C. 23 A.1 B.-11 D.-2 10如图，直线1：=-3，-3与r轴负半轴交于点A,以O,4为边构造等边三角形OAB:过B作 3 3 B1A2/∥OA1交直线1于点A2,以B1A2为边构造等边三角形B1A2B2,·.按此规律进行下去，则点B6的横 坐标为() B3 B2 B A. -10 2 B. D.-3 5 第二部分（非选择题共90分） 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知点P(3,-2)与点Q关于r轴对称，则点Q的坐标为 12若点A(-3,，B(-1,)都在一次函数=一G的图象上，则功一（填“>”或“<”）. 13.如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形，面积分别记为S,S2,S.若S3+S2-S=20, 则图中阴影部分的面积为一· 14.如图，在△ABC中，点D,F,F分别在三边上，E是AC的中点，AD,BE,CF交于一点G, BD=2DC,S△BGD=8,S△AGE=3,则△ABC的面积是_· 第3页，共8页 E G B 15.令a、b两数中较大的数记作ma.xa,,如ma.r2,3=3,已知k为正整数且使不等式ma.x2k+1, -k+5≤5成立，则k的值是 16.如图，一次函数y= 3 +6的图象与r轴交于点A,与y轴交于点B,C是心轴上一动点，连接BC, 将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在轴上时，点C的坐标为一· B A八x 三、解答题：本题共8小题，共2分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题8分) (1)解不等式：3x-2≤5.x,并把解集在数轴上表示出来. L上LL1LL上L上上→ -5-4-3-2-1012345 2(x-2)≤3-x (2)解不等式组 “十>《二3+1，并写出它的最大整数解。 2 3 第4页，共8页 18.(本小题8分) 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A,C的坐标分别为(-1,4)，(-4,3). (1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系： (2)作出△ABC关于y轴对称的△ABC1,再作出△ABC1关于x轴对称的△A"B”C”; (3)将△ABC内一点P(α，b)按照(2)中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为 19.(本小题8分) 如图，在△ABC中，AC<AB<BC,AD是高线，∠B=Q,∠C=3. B D (1)用直尺与圆规作∠BAC的平分线AE(不写作法，保留作图痕迹). ②在①的前提下，判断①∠EAD=-2；②∠EAD=3-a)中哪一个是正确的，并说明理由. 第5页，共8页 20.(本小题8分) 在△ABC中，AB=AC,D是线段BC上的一动点（不与点B,C重合），以AD为边在AD的右侧作 △ADE,使AE=AD,∠DAE=∠BAC,连结CE. D 图1 图2 (1)如图1，当∠BAC=90°时，∠DCE= (2)如图2，设∠BAC=a,∠DCE=3,请你探究a与3之间的数量关系，并证明你的结论. 21.(本小题8分)】 如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得 到的·己知EF过点A,BE交CD于点G. G B (1)求∠DCE的大小 (2)求证：△CEG是等边三角形. 第6页，共8页 22.(本小题8分) 某条城际铁路线共有A,B,C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1O01次列车 从A站始发，经停B站后到达C站，G1O02次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中 保持各自的行驶速度不变·某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示. 列车运行时刻表 A站 B站 C站 车次 发车时刻到站时刻发车时刻到站时刻 D1001 8:00 9:30 9:50 10:50 G1002 8:25 途经B站，不停车 10:30 请根据表格中的信息，解答下列问题： (1)D1001次列车从A站到B站行驶了分钟，从B站到C站行驶了分钟. (2)记D1001次列车的行驶速度为1，离A站的路程为山；G1002次列车的行驶速度为2，离A站的路程为 d2. 2 ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则t=75),已知1=240千米/时（可换算 为4千米/分)，在G1002次列车的行驶过程中(25≤t≤150)，若d1-d2=60,求t的值. 23.（本小题8分) 己知点A(0,4)在V轴正半轴上，以OA为边作等边△OAB. y M A B O 图1 图2 (1)如图1，点P在x轴正半轴上，以AP为边在第一象限内作等边△APQ,连QB并延长交x轴于点C. 第7页，共8页 ①求证：△AOP≌△ABQ; ②求证：OC=BC; (2)如图2，若点1为9轴正半轴上一动点，点M在点A的上边，连MB,以MB为边在第一象限内作等 边△MBV,连NA并延长交x轴于点D,当点M运动时，DN-AM的值是否发生变化？若不变，求出 其值：若变化，求出其变化的范围 24.(本小题8分)》 如图，在平面直角坐标系中，点A(0,8),B(-4,0),C(4,0),给出如下定义：若P为△ABC内（不含边界）一 点，且BP与△APC的一条边相等，则称点P为△ABC的和谐点. y个 8人A h 6 5 4 3 C -6-5-4-3-2-10123456x -1 2 (1)在P(-1,1),P(2,2),P(0,5)中，△ABC的和谐点是 (2)若点P为△ABC的和谐点，且∠ABP=45°，求点P的坐标： (3)直线l为过点I(0,m)且与x轴平行的直线，若直线1上存在△ABC的二个和谐点，请直接写出m的取 值范围。 第8页，共8页 浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年上学期八年级期末数学模拟试卷 答案解析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版新课标八年级数学上册第1~5章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1.下列四个图案中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 2.已知，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 3.一次函数的图象不经过  (    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D  【解析】略 4.我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，，从而保证伞圈能沿着伞柄滑动，根据以上条件，证明点在上的依据是  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 5.如图，等边的边长为，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐标与图形的性质． 过点作于点，根据等边三角形的性质和勾股定理可得和的长，再根据点在第一象限可得点的坐标． 【解答】 解：过点作于点， 是等边三角形， ，． 又点在第一象限， 点的坐标为 故选：． 6.如图，网格中每个小正方形的边长均为，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为  (    ) A. B. C. D. 无法确定 【答案】A  【解析】略 7.直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将按如图所示方式折叠，使点与点重合，则折痕的长是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 8.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离米与甲出发的时间分之间的关系如图所示，下列说法正确的是(    ) A. 乙用分钟追上甲 B. 乙追上甲后，再走米才到达终点 C. 甲乙两人之间的最远距离是米 D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 【答案】B  【解析】解：由图象可知，乙追上甲的时间为：分，故A选项错误，不符合题意； 设乙速度为：米分，甲步行速度为米分， 由题意得：， 解得：， 乙的速度为米分， 乙走完全程的时间为：分钟， 乙追上甲所用时间为分钟， 乙追上甲后，再走米才到达终点，故选项B正确，符合题意； 乙到达终点时，甲离终点的距离是：米，甲离终点还需要走：分钟，故C，D错误，不符合题意， 故选：． 根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题所需要的条件，利用数形结合的思想解答． 9.若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 10.如图，直线与轴负半轴交于点，以为边构造等边三角形；过作交直线于点，以为边构造等边三角形，按此规律进行下去，则点的横坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】由直线可知，点，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，，，结论可得． 【详解】解：直线与轴负半轴交于点， ， ， 是等边三角形， 过作轴，如图所示： 垂直平分，即， ，进而由勾股定理可得， ， 当时，，解得， ， 在等边中，同理可得； 当时，，解得， ， 在等边中，同理可得； 按照以上求解过程，可得，，， 的横坐标为， 故选：． 第二部分（非选择题 共90分） 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知点与点关于轴对称，则点的坐标为          ． 【答案】  【解析】略 12.若点，都在一次函数的图象上，则          填“”或“”． 【答案】  【解析】略 13.如图，分别以的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，若，则图中阴影部分的面积为          ． 【答案】  【解析】略 14.如图，在中，点，，分别在三边上，是的中点，，，交于一点，，，，则的面积是          ． 【答案】  【解析】略 15.令、两数中较大的数记作，，如，，已知为正整数且使不等式，成立，则的值是______． 【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查对新定义的理解及解一元一次不等式组的能力，由新定义会分类讨论是前提，根据题意列出不等式组是关键．根据新定义分、两种情况，分别列出不等式求解即可． 【解答】 解：当时， 解得：； 当时， 解得 为正整数， 使不等式，成立的的值是或， 故答案为或． 16.如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为          ． 【答案】或  【解析】一次函数的图象与轴交于点， 与轴交于点，，，，，． 如图，当点落在轴的正半轴上时，设点的坐标为， 将沿所在的直线折叠，点落在轴上， ，， 如图，当点落在轴的负半轴上时， 设点的坐标为，将沿所在的直线折叠， 点落在轴上，，， ，． 综上所述，当点落在轴上时，点的坐标为或． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 解不等式组，并写出它的最大整数解． 【答案】解：移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 其最大整数解为．  【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得； 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18.本小题分 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形顶点是网格线的交点的三角形的顶点，的坐标分别为，． 在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； 作出关于轴对称的，再作出关于轴对称的； 将内一点按照中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为______． 【答案】作图见解析；   作图见解析；   ．  【解析】解：直角坐标系如图所示； 如图，和即为所求作； 由关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变， 得点关于轴对称的点的坐标为； 由关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数， 得点关于轴对称的点的坐标为； 故答案为：． 根据、两点的坐标建立平面直角坐标系即可； 分别作出各顶点关于轴的对称点，顺次连接即可得；分别作出各顶点关于轴的对称点，顺次连接即可得； 利用由关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 本题考查直角坐标系，关于、轴对称的点的坐标特点，轴对称变换作图，熟知关于、轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 19.本小题分 如图，在中，，是高线，，． 用直尺与圆规作的平分线不写作法，保留作图痕迹． 在的前提下，判断；中哪一个是正确的，并说明理由． 【答案】(1)解：如图，AE即为∠BAC的平分线   (2)解：EAD=(-)正确, 理由如下: AE为BAC的平分线， EAB=EAC=BAC=(--)=--, AD是高线， ADC=, DAC=-C=-, EAD=EAC-DAC=---(-)=(-a). ​​​​​​​所以EAD=(-)正确.  【解析】 略  略 20.本小题分 在中，，是线段上的一动点不与点，重合，以为边在的右侧作，使，，连结． 如图，当时，           ． 如图，设，，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)90  (2)α与β之间的数量关系为α+β=180°；理由如下： ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ​​​​​​​ABDACE(SAS). ∴∠B=∠ACE． ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB， 设∠BAC=α（α≠90°），∠DCE=β，则∠B+∠ACB=∠DCE=β． ∵α+∠B+∠ACB=180°， ∴α+β=180°；   【解析】 略  略 21.本小题分 如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的已知过点，交于点． 求的大小 求证：是等边三角形． 【答案】(1)ABC是等边三角形, ACB=. D是AB的中点, DCB=DCA=ACB==. CEBC,BCE=, ​​​​​​​DCE=BCE-DCB=.   (2)证明:由平移可知CD//EF, EAC=DCA=. 又ECA=BCE-ACB=, EAC=ECA,AEC=, AE=CE. 又AB=CB,BE垂直平分AC, GEC=AEC==. 由(1)知GCE=,EGC=, GEC=GCE=EGC, ​​​​​​​CEG是等边三角形.   【解析】 略  略 22.本小题分 某条城际铁路线共有，，三个车站，每日上午均有两班次列车从站驶往站，其中次列车从站始发，经停站后到达站，次列车从站始发，直达站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．                       列车运行时刻表 车次 站 站 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经站，不停车 请根据表格中的信息，解答下列问题： 次列车从站到站行驶了          分钟，从站到站行驶了          分钟． 记次列车的行驶速度为，离站的路程为次列车的行驶速度为，离站的路程为．           ． 从上午开始计时，时长记为分钟如：上午，则，已知千米时可换算为千米分，在次列车的行驶过程中，若，求的值． 【答案】(1)90;60  (2)①； ②∵v1＝4千米/分钟，， ∴v2＝4.8千米/分钟， ∵4×90＝360（千米）， ∴A站与B站之间的路程为360千米， ∵360÷4.8＝75（分钟）， ∵当t＝100时，G1002次列车经过B站，  由题意可知，当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车， ∴G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，  ⅰ．当25≤t＜90时，d1＞d2， ∴|d1-d2|＝d1-d2， ∴4t-4.8(t-25)＝60， 解得t＝75；  ⅱ．当90≤t≤100时，d1≥d2， ∴|d1-d2|＝d1-d2， ∴360-4.8(t-25)＝60， 解得t＝87.5，不合题意，舍去；  ⅲ．当100＜t≤110时，d1＜d2， ∴|d1-d2|＝d2-d1， ∴4.8(t-25)-360＝60， 解得t＝112.5，不合题意，舍去；  ⅳ．当110＜t≤150时，d1＜d2， ∴|d1-d2|＝d2-d1， ∴4.8(t-25)-[360+4(t-110)]＝60， 解得t＝125．  ​​​​​​​综上所述，当t＝75或125时，|d1-d2|＝60．  【解析】 略   详解：根据题意得次列车从站到站共需行驶分钟，次列车从站到站共需分钟， ， ． 23.本小题分 已知点在轴正半轴上，以为边作等边． 如图，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点． 求证：≌； 求证：； 如图，若点为轴正半轴上一动点，点在点的上边，连，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围． 【答案】证明、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ≌； ≌， ， 是等边三角形， 、都是等边三角形， ， ，， ， ； 解：结论：的值不变，其值为． 理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 即的值不变，其值．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 24.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若为内不含边界一点，且与的一条边相等，则称点为的和谐点． 在中，的和谐点是          ； 若点为的和谐点，且，求点的坐标； 直线为过点且与轴平行的直线，若直线上存在的二个和谐点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，  (2)解：①由可知，当P在内部时，， ②当时，过P作轴于H，过A作于G，如图：    ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 设 ∵ ∴ 解得： ∴P ③当时，过A作交延长线于Q，如图：    ∵ ∴B，C关于y轴对称， ∵， ∴P在y轴上， 同②可得Q 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 在中，令得， ∴ 综上所述，P的坐标为或   (3)解：由题意知，的和谐点P，满足或， 若，则点P在线段的垂直平分线上， 若，则点P在线段的垂直平分线上，即y轴上； 设的中点为K，线段的垂直平分线交于T，如图，    设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设 ∵， ∴ 解得， ∴T， ∵线段的中点； 直线l上存在的两个和谐点， ∴直线l与y轴，线段都相交， ∴．   【解析】  根据各点的坐标分别求出相应线段的长度，根据定义即可进行判断； 【详解】解：， ， ， ， ， ， 不是的和谐点； ， ，， ， 在内， 是的和谐点； ， ，， 在内， 是的和谐点； 故答案为：，   由题意得，分类讨论当时和当时，两种情况即可求解；   由题意知，的和谐点，满足或；根据若，则点在线段的垂直平分线上，若，则点在线段的垂直平分线上，即轴上；即可求解； 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $