江西省南昌市第一中学2026届高三上学期数学周测（五）课后补充练习卷

江西省南昌市第一中学2026届高三上学期周测(五)数学试题 课后补充练习卷 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分) 1.如图,在复平面内,复数对应的点为,则复数的虚部为( ) A. B. C. D. 2.已知集合,,且,则a的取值范围可以是( ) A. B. C. D. 3.下列双曲线中离心率为的是( ) A. B. C. D. 4.已知函数,则下列说法正确的是( ) A.函数的最小正周期为 B.函数的定义域为 C.点,是函数的图像的一个对称中心 D. 5.已知向量,若,则( ) A. B. C. D. 6.已知为圆上一点,、,则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数: ,从第三个数起,每个数等于它前面两个数之和.从该列数第三个数起,取出相邻的两个数,分别作为对数的底数和真数,则前三个数是,,,它们的大小关系为( ) A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和为,且关于n的不等式有3个解,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题列出的四个备选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知正方体的棱长为,点是棱上的动点(不含端点),下列说法正确的有( ) A.可能垂直 B.三棱锥的体积为定值 C.过点截正方体的截面可能是等腰梯形 D.若,过点且垂直于的截面的周长为 10.设为坐标原点,直线过抛物线的焦点,且与交于两点,为的准线,过点且与直线垂直的直线交于点,则( ) A. B. C.以为直径的圆与轴相切 D. 11.已知函数,则下列结论正确的是( ) A.图象是轴对称图形 B. C.在区间上单调递增 D. 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12. 的展开式中的各项系数和为243,则该展开式中的系数为 . 13.已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点,则 . 14.现有甲、乙两个箱子,甲中有2个黑球,乙中有2个白球.每次从甲箱中随机取出一球放入乙箱,摇匀后再从乙箱中随机取出一球放入甲箱,称为“一次操作”.连续进行2次操作后,记甲箱中黑球的数量为,则 . 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.某市教育局对某中学高一年级学生开展疫情防控知识调研,从参与调研的学生中随机抽取60名,将他们的成绩记录如下,其中成绩为80分及以上视为优秀. 0-59 60-79 80-100 女生 5 15 10 男生 7 8 15 (1)补全2 2列联表,并判断是否有90%的把握认为成绩优秀与性别有关; 非优秀 优秀 合计 女生 男生 合计 (2)先利用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人进行下一轮测试,求抽取的2人中至少有1人是男生的概率. 附:,, 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16.已知数列的首项,前项和为,且,. (1)证明:数列为等差数列,并求的通项公式; (2)设数列,求数列的前项和. 17.如图,在正方体中,,,分别是棱,,的中点. (1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 19.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”,其中,,.如图,点、、分别是相应椭圆的焦点,、和、分别是“果圆”与x轴、y轴的交点. (1)若是边长为 1 的等边三角形,求 “果圆” 的方程; (2)在(1)条件下,为半椭圆上的任意一点,点坐标为,求最大值以及最小值; (3)当 时,求的取值范围. 19.已知函数(为自然对数的底数) (1)求曲线在处的切线方程; (2)若不等式对任意恒成立,求实数的最大值; (3)证明: 试卷第2页,共17页 试卷第1页,共4页 学科网(北京)股份有限公司 $ 江西省南昌市第一中学2026届高三上学期周测（五）数学试题 课后补充练习卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定图形写出点P的坐标及复数，再利用复数除法运算求解作答. 【详解】由图形知，点，复数，， 所以复数的虚部为. 故选：B 2．已知集合，，且，则a的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合补运算求，再根据集合交运算的结果求参数a的取值范围. 【详解】由题设，，又，， ∴. 故选：D 3．下列双曲线中离心率为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据选项中的双曲线方程，逐项求解，即可得出结果. 【详解】A选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，不满足题意； B选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，满足题意； C选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，不满足题意； D选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，不满足题意； 故选：B. 4．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．点，是函数的图像的一个对称中心 D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的图象和性质分别进行判断即可． 【详解】解：函数的最小正周期，故错误， 由，知函数的定义域不是，故错误， 由得，当时，，即点是函数的图象的一个对称中心，故正确， ，， 故不成立，故错误， 故选：． 5．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用题给条件列方程求得的值，进而求得的值. 【详解】由，可得， 因为，则，解得， 则 故选：C. 6．已知为圆上一点，、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，设点为坐标原点，分析可得，数形结合求出的最小值，即可得解. 【详解】设点，设点为坐标原点，圆心为，半径为， 则， 因为，所以，原点在圆外，且，如下图所示： ，当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立. 所以，. 故选：C. 7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： ，从第三个数起，每个数等于它前面两个数之和.从该列数第三个数起，取出相邻的两个数，分别作为对数的底数和真数，则前三个数是，，，它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换底公式结合作差法、基本不等式、对数函数的单调性计算即可. 【详解】易知与在定义域上单调递增， 且， 所以，则， ①， 显然，所以， 所以， 所以①式大于0，即，所以，故A正确. 故选：A 8. 已知数列的前n项和为，且关于n的不等式有3个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列的递推关系，构造出常数列，再求通项，然后分离参变量，再利用数列的单调性思想，来研究不等式成立的条件即可. 【详解】由 可得：， 由上可得是常数列，当时，，所以， 即，而，则， 令， 则 ， 当时，，即， 而，，， 为了满足不等式有三个解，则， 此时有，满足条件， 故选：A. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知正方体的棱长为，点是棱上的动点（不含端点），下列说法正确的有（    ） A．可能垂直 B．三棱锥的体积为定值 C．过点截正方体的截面可能是等腰梯形 D．若，过点且垂直于的截面的周长为 【答案】BCD 【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直的坐标表示可知不存在满足题意的点，知A错误；利用三棱锥体积公式可知B正确；取中点，则可作出截面，知C正确；取中点，可证得平面，由此可确定截面为梯形，计算可知D正确. 【详解】对于A，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设，则，， 若，则，解得：（舍）， 不存在点，使得，A错误； 对于B，，点到平面的距离， ，B正确； 对于C，取中点，连接， ，，，， ，，四边形即为过点的正方体的一个截面； 又，四边形为等腰梯形，C正确； 对于D，由题意知：为中点， 取中点，连接， ，四点共面； ，，，，， ，，， ，，， 又，平面，平面， 则四边形即为过点且垂直于的截面， ，，， 截面的周长为，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的动点问题的求解，其中涉及到截面问题求解的关键是能够结合平行关系确定平面与正方体各个平面的交线的位置，进而确定截面图形. 10．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，过点且与直线垂直的直线交于点，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与轴相切 D． 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点得判断A；联立方程，根据弦长公式得判断B；设的中点为，根据到直线的距离等于的一半判断C；结合C与已知得为直角，根据相似比得，，再结合韦达定理得判断D. 【详解】因为直线过定点， 所以抛物线的焦点，所以，故A正确； 易知抛物线的方程为.设，， 由消去并化简得， 所以， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 设的中点为，设点到直线的距离分别为， 因为，即到直线的距离等于的一半， 所以以为直径的圆与直线相切，即以为直径的圆与轴不相切，故C错误； 当时，易知， 当时，过点且与直线垂直的直线可设为，其与准线的交点， 结合C项可知以为直径的圆与直线的切点为，故点与重合， 所以为直角. 在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， 所以， 则，故D正确. 故选：ABD. 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．图象是轴对称图形 B． C．在区间上单调递增 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，求出与比较可得结论，对于B，直接计算即可，对于C，对函数求导后，通过导数的正负判断函数的单调性，对于D，由选项AC的结论结合正弦函数的性质判断. 【详解】对于A，因为，所以的图象关于直线对称，所以图象是轴对称图形，所以A正确， 对于B，因为， 所以 ，所以B正确， 对于C，由，得， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以在区间上单调递减，所以C错误， 对于D，由选项A和选项C可知在上递增，在上递减， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以D正确， 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】令求出，然后求出展开式中的常数项和含的项，分别与因式中的项相乘可得. 【详解】令可得，解得， 的展开式中通项，， 分别令，得， 所以展开式中的常数项和含的项分别为， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 13．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则 . 【答案】或 【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可. 【详解】因为，所以， 所以当时，，即切线的斜率为2， 所以由点斜式得即， 联立整理得， 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以方程只有一个根， 当时，方程为只有一个根，满足题意； 当时，，即，解得， 综上或， 故答案为: 或. 14．现有甲、乙两个箱子，甲中有2个黑球，乙中有2个白球．每次从甲箱中随机取出一球放入乙箱，摇匀后再从乙箱中随机取出一球放入甲箱，称为“一次操作”．连续进行2次操作后，记甲箱中黑球的数量为，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出的可能值，再利用相互独立事件及条件概率公式，结合分布列的性质求出各个值对应的概率，进而求出期望. 【详解】依题意，的可能值为0，1，2， 的事件是第1次操作甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，其概率为， 第2次操作是甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，其概率为，因此； 的事件是甲取黑球放入乙，乙取黑球放入甲，再重复上次操作的事件， 与甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，甲取白球放入乙，乙取黑球放入甲的事件的和， 因此，， ， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．某市教育局对某中学高一年级学生开展疫情防控知识调研，从参与调研的学生中随机抽取60名，将他们的成绩记录如下，其中成绩为80分及以上视为优秀. 0-59 60-79 80-100 女生 5 15 10 男生 7 8 15 (1)补全2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为成绩优秀与性别有关； 非优秀 优秀 合计 女生 男生 合计 (2)先利用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行下一轮测试，求抽取的2人中至少有1人是男生的概率. 附：，， 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表答案见解析，没有90%的把握认为成绩优秀与性别有关； (2). 【分析】（1）利用独立性检验求解； （2）利用古典概型求解. 【详解】（1）解：2×2列联表如下： 非优秀 优秀 合计 女生 20 10 30 男生 15 15 30 合计 35 25 60 ∴， ∴ 没有90%的把握认为成绩优秀与性别有关. （2）解：由题意得，从成绩优秀的学生中随机抽取5人，其中女生人数为， 分别记为A，B，男生人数为，分别记为，，， 从这5人中随机抽取2人的情况有： ，，，，，，，，，，共10种， 抽取的2人中至少有1人为男生的情况有： ，，，，，，，，，共9种. 故所求概率. 16．已知数列的首项，前项和为，且，． (1)证明：数列为等差数列，并求的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）将两边同除，即可得到，结合等差数列的定义证明，即可求出； （2）根据作差求出，即可得到，再利用分组求和法及裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，即， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，所以； （2）由（1）， 当时，， 所以， 又适合上式，所以， 所以， 所以， ． 17．如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）连接与交于点，得，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）直线与平面所成角等价于直线与平面所成角，平面得为直线与平面所成角，在计算可得答案. 【详解】（1）连接与交于点，连接， 由题可知四边形是矩形，所以是的中点， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在正方体中，平面平面， 所以直线与平面所成角等价于直线与平面所成角， 因为平面，所以为直线与平面所成角， 设正方体的棱长为2，则，， 所以， ，故， 所以直线与平面所成角的正弦值为.    18．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，点、、分别是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与x轴、y轴的交点. (1)若是边长为 1 的等边三角形，求 “果圆” 的方程; (2)在（1）条件下，为半椭圆上的任意一点，点坐标为，求最大值以及最小值； (3)当 时，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)，最大值为3 (3) 【分析】（1）根据是边长为1的等边三角形可得的值，结合的关系即可得结果； （2）由两点间距离公式结合二次函数最值计算可求最小值，结合椭圆的定义可求的最大值； （3）将和分别用表示，结合即可得结果； 【详解】（1）因为是边长为1的等边三角形， 所以，，， 所以，， 故“果圆”的方程为，； （2）由（1）可知：， 可设，满足， 则， 因为，由二次函数的性质易知：当时，取得最小值， 即， 因为，所以，当三点共线取等号， 又，所以，即最大值为3； （3）又，，，因此， 因为，所以，即，即， 因为，所以， 所以，化简得， 所以. 19．已知函数(为自然对数的底数) (1)求曲线在处的切线方程； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值； (3)证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求曲线在切点处的切线方程； （2）求出函数在时的值域，可求实数的最大值； （3）因为， 依题意，构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）函数， 则， 所以曲线在处的切点坐标为，切线斜率为0， 切线方程为； （2）， 因为，所以， 则，所以， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以函数的值域为， 若不等式对任意恒成立，所以， 即，则实数的最小值为， 所以实数的最大值为； （3）证明：， 所以， 设，则， 令，则， 所以在R上单调递增， 所以， 则有， 故存在，使得，即， 所以当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值， 故函数， 因为，所以， 故， 所以， 即 试卷第2页，共17页 试卷第1页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $