江西省南昌市第一中学2026届高三上学期周测（一）数学试题

南昌一中2025-2026学年度高三数学周练一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式得到，利用交集和补集的概念求出答案. 【详解】，， 则图中阴影部分表示的集合为. 故选：B 2．若且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】因为且，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 3．命题“，恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为，恒成立， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得， 所以， 所以“，恒成立”的一个充分不必要条件应为集合的真子集， 而是的真子集， 所以命题“，恒成立”的一个充分不必要条件是. 故选：D. 4．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 5．已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】显然在上单调递减， 要想在R上单调递减， 则，解得. 故选：D 6．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为奇函数得对称中心为，结合为偶函数，求周期为，从而求出，即可得到的值. 【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即， 因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以，故的周期为， 因为， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛： 由为奇函数，为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期. 7．已知函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数解析式，可得函数的单调性与对称性，化简不等式，可得答案. 【详解】由， 则， 由，则函数在上单调递增，易知函数在上单调递减， 由，则，即， 可得，分解因式可得，解得. 故选：A. 8．设函数及其导函数的定义域均为，记，已知，且函数的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】由和得，进而得，故的周期为.由函数的图象关于直线对称得的对称轴为，赋值后根据周期性可得. 【详解】由，得， 两式相加得， 两边取导数得，即， 则，所以是以6为一个周期的周期函数， 由函数的图象关于直线对称，得， 则，所以直线是图象的一条对称轴， 由，两边取导数得， 则， 令，得，又，所以； 令，得；令，得； 令，得；令，得. 所以， 因为， 所以. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．命题“，都有的否定是“，使得 B．若，则 C．与表示同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【分析】对于A，根据全称量词命题的否定判断即可；对于B，结合不等式的基本性质利用作差法判断即可；对于C，根据同一函数的定义判断即可；对于D，根据抽象函数的定义域求解判断即可. 【详解】对于A，命题“，都有的否定是“，使得，故A正确； 对于B，， 因为，所以，， 则，即，故B错误； 对于C，函数的定义域为，定义域为， 两个函数的定义域不同，则不表示同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，则， 解得，所以函数的定义域为，故D正确. 故选：AD. 10．设正实数x，y满足，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BC 【分析】A基本不等式求积最大值；B应用基本不等式“1”的代换求最小值；C、D应用基本不等式求和最值； 【详解】A：，则，当且仅当，时等号成立，错误； B：，当且仅当时等号成立，错误； C：，当且仅当，时等号成立，正确； D：，则，当且仅当，时等号成立，若有最小值不可能为2，错误. 故选：BC 11．双曲正弦函数与“S”型函数是两类重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的运用，其解析式分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的值域为 C．点是曲线的对称中心 D．函数在上有且仅有一个零点 【答案】ACD 【分析】由在上为增函数，可判断A；，易求值域判断B；易证为奇函数， 为奇函数，进而可判断C；，可得，可得结论判断D. 【详解】对于A：由在上为增函数，可得在上为增函数，故A正确； 对于B：， 因为，所以，所以， 所以的值域为，故B错误； 对于C：由，得， 所以为奇函数，所以的图象关于对称， 令， 所以，所以为奇函数， 所以关于原点对称， 所以关于原点对称，从而关于点对称，故C正确； 对于D：， 求导得， 又，，所以， 所以在上为增函数， 又当时，， 当时，， 所以函数在上有且仅有一个零点，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方大于等于得到不等式，解得即可，根据反比例函数的性质判断函数的单调性，即可求出函数的值域； 【详解】解：对于函数，令，即，解得， 故函数的定义域为. 13．已知，，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】将代入条件中，得到，根据两式消元，求得函数的解析式. 【详解】由题知，，①；又，②； 由①②得，， 则， 故答案为： 14．已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为 ． 【答案】12 【分析】由可得，令，，分析可知，函数、的图象都关于点对称，数形结合可得出结果. 【详解】由可得， 令，， 则函数的定义域为，其最小正周期为， ， 所以，函数的图象关于点对称， 函数的定义域为， 对任意的，， 所以，函数的图象也关于点对称， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上也为增函数，如下图所示： 由图可知，函数、的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点对称， 因此，直线与的图象的所有交点的横坐标之和为. 故答案为：12. 【点睛】关键点点睛：本题函数图象交点横坐标之和，解题的关键在于利用函数的对称性，利用数形结合思想结合对称性求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列为等差数列，，前项和为，数列为等比数列，公比为，且，. （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件求出、的值，进而可求得数列与的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，，则， 由可得，， 因此，，； （2）， . 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 16．如图，在三棱柱中，平面平面，边长为4的正方形，，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正方形性质、面面垂直的性质即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由图可知面角的平面角为锐角，结合法向量夹角余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为四边形是正方形，则， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面ABC； （2）因为，，则，所以， 以点A为原点，的正方向分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系如图，    则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故平面的一个法向量， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 故二面角的余弦值为. 17．在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意可得，，所以，即可求得椭圆的方程； 设，，过且斜率为的直线方程为：，直线与椭圆方程联立，消得的一元二次方程，结合韦达定理，即可求的面积． 【详解】（1）椭圆的焦点为，， 半焦距， 椭圆的右焦点到上顶点的距离为， ， 椭圆的方程为． （2）设，， 过且斜率为的直线方程为：， 代入椭圆的方程，化简可得， ， 则， . 18．新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分； (1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率： (2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（）．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项． ①若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率． ②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？ 【答案】(1) (2)① ，；② 【分析】（1）根据题意利用独立事件的乘法公式即可求解； （2）对于①，结合答案是两个选项或三个选项，利用古典概型即可求解； 对于②，分别计算方案I和方案Ⅱ的数学期望，根据数学期望的大小关系列不等式可得的取值范围. 【详解】（1）设事件M表示“学生答此题得6分”，即对于选项A、C作出正确的判断，且对于选项B、D作出正确的判断或判断不了， 所以； （2）①记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， . ②对于方案I：记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”， 则的所有可能取值为0，2，3， 则， ， ， 所以； 对于方案Ⅱ：记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6， 则， ， ， 所以； 要使唯独选择方案I最好，则 解得：，故P的取值范围为． 19．已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可； （2）考查函数在的单调性，根据条件转化不等式，解出即可； （3）根据题意可知方程有两个不同的根，化简方程后，列出条件，解出即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为函数为偶函数． 所以， 即， 所以 ， 所以； （2）因为， 当时，，单调递增， 所以在上单调递增，又函数为偶函数， 所以函数在上单调递减； 因为，所以， 解得或， 所以不等式的解集为 （3）因为函数与图象有个公共点， 所以方程有两个不同的根， 方程即为， 可化为， 则有，， 设，则， 即， 又在上单调递增， 所以方程有两个不等的正根； 所以， 解得， 所以的取值范围为． 试卷第16页，共17页 试卷第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌一中2025-2026学年度高三数学周练一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 2．若且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．命题“，恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．设函数及其导函数的定义域均为，记，已知，且函数的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B． C． D．0 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．命题“，都有的否定是“，使得 B．若，则 C．与表示同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 10．设正实数x，y满足，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最小值为 D．的最小值为2 11．双曲正弦函数与“S”型函数是两类重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的运用，其解析式分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的值域为 C．点是曲线的对称中心 D．函数在上有且仅有一个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数的定义域是 ． 13．已知，，则的解析式为 ． 14．已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列为等差数列，，前项和为，数列为等比数列，公比为，且，. （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 16．如图，在三棱柱中，平面平面，边长为4的正方形，，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； 17．在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积． 18．新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分； (1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率： (2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（）．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项． ①若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率． ②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？ 19．已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 试卷第16页，共17页 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $