专题01相交线与平行线寒假预习核心讲义(1)(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题01相交线与平行线寒假预习核心讲义(1) 预习目标 理解平行线的定义，掌握平行公理及推论，能规范作图。 。精准识别同位角、内错角、同旁内角，掌握“三线八角”的判断技巧。 掌握平行线的3个判定定理，能结合角的关系证明直线平行。 预习内容概览 必备知识 1.对顶角与邻补角的性质 2.垂线的定义及性质 点梳理 3.三线八角：三类角的识别 4.平行线的判定方法与平行公理 1.对顶角的定义 2.对顶角的性质 3.垂线的定义与理解 4.垂线的性质 5.点到直线的距离 6.同位角.内错角.同旁内角的识别 常考题型 7.平行公理的应用场景 8.平行线判定：同位角相等两直线 精讲精炼 平行 9.平行线判定：内错角相等两直线平 10.平行线判定：同旁内角互补两 行 直线平行 强化巩固 题型通关 (15题) 知识点梳理 【知识点01.对顶角与邻补角的性质】 1,对顶角 定义：两条直线相交时，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线这两 个角叫做对顶角。 性质：对顶角相等。 2.邻补角 定义：两条直线相交时，相邻且互补的两个角叫做邻补角。 特征：①有公共顶点；②有一条公共边；③另一边互为反向长线；④和为 180。 试卷第1页，共3页 性质：邻补角互补（和为180。）。 【知识点02.垂线的定义及性质】 1.垂线的定义 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直其中 一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号表示：直线a⊥b,读作“a垂直于b”;直线AB⊥CD于点O。 2.垂线的性质 基本性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 注意：“一点”可以在直线上，也可以在直线外。 垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3.点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意：距离是长度，不是线段本身。 【知识点03.三线八角：三类角的识别】 1.三线八角 两条直线a,b被第三条直线c所截，构成八个角，简称“三线八角”，其中 直线c叫做截线，直线a,b叫做被截直线。 2.三类角的识别 角的类型 位置特征 同位角 在截线同旁，在被截两直线同一侧 内错角 在截线两侧，在被截两直线之间 同旁内角 在截线同旁，在被截两直线之间 3.识别技巧： 同位角：形如“F”型； 内错角：形如“Z”型； 同旁内角：形如“U”型。 【知识点04.平行线的判定方法与平行公理】 试卷第2页，共3页 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 符号表示：直线allb,读作“a平行于b”。 注意： 前提是“同一平面内”，否则两条不相交的直线可能是异面直线： 平行线没有公共点。 2.平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号表示：若alc,blc,则allb 3.平行线的判定方法 判定方 符号表示（直线a,b被c所 语言描述 法 截) 判定1同位角相等，两直线平行 若∠1=45，则ab 判定2内错角相等，两直线平行 若∠3=45，则ab 判定3同旁内角互补，两直线平行 若∠3+∠6=180，则ab 判定4平行公理推论 若alc,blc,则alb 在同一平面内，垂直于同一条直线的两 判定5 若 a⊥c,b⊥c,则allb 条直线平行 常考题型精讲精练 【题型1.对顶角的定义】 【典例】下列图形中，∠I和∠2是对顶角的是() B 【跟踪专练1】如图，直线a、b、c、相交于一点O,则图中对顶角一共有对. 试卷第3页，共3页 【跟踪专练2】如图，4B、C 相交于点OELCD OF ∠BOD 射线 平分 ,下列结论中 错误的是() E C B D A.∠BOD与∠BOC互为补角 B.∠BOF与∠EOF互为余角 C.∠BOF与∠COF互为补角 D.∠AOC与∠DOF为对顶角 【题型2.对顶角的性质】 【典例】如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数， 则所量内角的度数为 【跟踪专练1】如图，AB⊥CD于点O,EF为经过点O的一条直线，那么∠I与∠2() B A.互余 B.互补 C.互为对顶角 D.相等 试卷第4页，共3页 【跟踪专练2】如图，三条直线AB、CD、EF相交于O,且CD⊥EF,∠AOE=70°，若 OG平分∠BOF,则∠D0G=度. D B G 【题型3.垂线的定义与理解】 【典例】如图，过点P作PA⊥I,PB⊥I,则AP与BP重合，其理由是() B A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B.在同一平面内， 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 【跟踪专练1】如图，直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为O,∠EOD=30°，则 ∠AOC的度数为一 E 309 B 【跟踪专练2】如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD,FO⊥CD于点O.若 ∠1=40°，则∠2的度数为() 试卷第5页，共3页 A.55 B.60° C.65° D.70° 一题多解法，FO⊥CD, ∴.∠DOF=90° 又.∠1=40°， ∴.∠D0B=90°-40°=50°， ∴.∠AOD=180°-∠DOB=130° OE平分∠AOD, ∠2=∠40D=650 【题型4.垂线的性质】 【典例】如图，要在河岸1上建一个水泵房引水到A处.可过点A作AB⊥1于点B,则将 水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是 【跟踪专练1】如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,BC=10, 点M是线段BC上的动点，则AM的最小值为() A.4.8 B.6 C.8 D.10 【跟踪专练2】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,P为直线AB 上一动点，连接PC,则线段PC的最小值是一 试卷第6页，共3页 【题型5，点到直线的距离】 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=9O°，BD⊥AC于点D,DE L AB于点E,则点 B到AC的距离是() A.线段AB的长度 B.线段BC的长度 C.线段BD的长度 D.线段DE的长度 【跟踪专练1】如图，AB LAC,AD L BC,若AB=4cm,AC=3cm,AD=2.4cm,那 么A,B两点之间的距离为cm,点A到直线BC的距离为_cm,点C到直线AB的 距离为_cm A B D 【跟踪专练2】下列说法： ①有且只有一条直线垂直于已知直线： ②两条直线相交时，如果对顶角的和是180°，那么这两条直线互相垂直： ③过直线a外一点P作PD⊥a,垂足为D,则线段PD的长度是点P到直线a的距离： ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. 其中正确的说法有() ①②④ ②③④ ②③ ②④ B D. 试卷第7页，共3页 【题型6.同位角.内错角.同旁内角的识别】 【典例】如图，直线BCDE被直线BD、CE所截，BD与CE交于点A,则图中共有同旁 内角对 【跟踪专练1】如图，直线a截直线b、c所得的一对同位角是() 4 A.∠2与∠3 B.∠1与∠4 C.∠5与∠7 D.∠1与∠8 【跟踪专练2】如图. (I)∠BED与∠CBE是直线DE,BC被直线BE所截形成的_角： (2)∠A与∠CED是直线被直线所截形成的角： (3)∠CBE与∠BEC是直线被直线所截形成的角： (4)∠AEB与∠CBE是直线被直线_所截形成的_角. 【题型7.平行公理的应用场景】 【典例】如图，己知P是直线1外一点，若PA∥1，PB∥1，则P,A,B三点在同一条直线 上.其依据是() 试卷第8页，共3页 A P B A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短 C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直 D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【跟踪专练1】被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车， 独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天 山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒 曲折的弯路，局部公路抽象成图2.当AB∥EF,CDi/EF,那么AB/CD的理由是一· 图1 图2 a,b,c 【跟踪专练2】已知在同一平面内的直线 ，满足条件的说法是() a∥b,a⊥c台b⊥c a,b A. B. a,b分别与相交→“与乃相交或平行 a∥b,b∥c=a∥c a,b D 分别与‘相交或平行→a∥b 【题型8.平行线判定：同位角相等两直线平行】 【典例】如图，补全下面的说理过程： D (1)因为∠1=∠2，所以一∥一(_). (2)因为∠2=∠3，所以_∥_(). 试卷第9页，共3页 【跟踪专练1】如图，下列条件中：①∠1=∠C,②∠2=∠C,③∠BAC+∠C=180°，④ ∠ABE+∠2=180°，能判断AB∥CD的有() 2 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【跟踪专练2】如图，在下列给出的条件中：①∠1=∠3；②∠2=∠4；③ ∠DAB+∠ABC=180°：④∠BAD+∠ADC=180°，可以判定AB∥CD的有一·（填序号） 【题型9.平行线判定：内错角相等两直线平行】 【典例】世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》.书 中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”·现代潜艇潜望镜 是在20世纪初发明的.如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是( A.内错角相等，两直线平行 B.同旁内角互补，两直线平行 C.对顶角相等 D.两点确定一条直线 【跟踪专练1】如图，添加一个条件： 使得AD∥BC, 试卷第10页，共3页 专题01相交线与平行线寒假预习核心讲义(1) · 理解平行线的定义，掌握平行公理及推论，能规范作图。 · 精准识别同位角、内错角、同旁内角，掌握 “三线八角” 的判断技巧。 · 掌握平行线的 3 个判定定理，能结合角的关系证明直线平行。 必备知识点梳理 1.对顶角与邻补角的性质 2.垂线的定义及性质 3.三线八角:三类角的识别 4.平行线的判定方法与平行公理 常考题型 精讲精炼 1.对顶角的定义 2.对顶角的性质 3.垂线的定义与理解 4.垂线的性质 5.点到直线的距离 6.同位角.内错角.同旁内角的识别 7.平行公理的应用场景 8.平行线判定:同位角相等两直线平行 9.平行线判定:内错角相等两直线平行 10.平行线判定:同旁内角互补两直线平行 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.对顶角与邻补角的性质】 1. 对顶角 定义：两条直线相交时，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线这两个角叫做对顶角。 性质：对顶角相等。 2. 邻补角 定义：两条直线相交时，相邻且互补的两个角叫做邻补角。 特征：① 有公共顶点；② 有一条公共边；③ 另一边互为反向长线；④ 和为 180∘。 性质：邻补角互补（和为 180∘）。 【知识点02.垂线的定义及性质】 1.垂线的定义 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号表示：直线 a⊥b，读作 “a 垂直于 b”；直线 AB⊥CD 于点 O。 2.垂线的性质 基本性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 注意：“一点” 可以在直线上，也可以在直线外。 垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3.点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意：距离是长度，不是线段本身。 【知识点03.三线八角:三类角的识别】 1. 三线八角 两条直线 a,b 被第三条直线 c 所截，构成八个角，简称 “三线八角”，其中直线 c 叫做截线，直线 a,b 叫做被截直线。 2. 三类角的识别 角的类型 位置特征 同位角 在截线同旁，在被截两直线同一侧 内错角 在截线两侧，在被截两直线之间 同旁内角 在截线同旁，在被截两直线之间 3.识别技巧： 同位角：形如 “F” 型； 内错角：形如 “Z” 型； 同旁内角：形如 “U” 型。 【知识点04.平行线的判定方法与平行公理】 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 符号表示：直线 a∥b，读作 “a 平行于 b”。 注意： 前提是 “同一平面内”，否则两条不相交的直线可能是异面直线； 平行线没有公共点。 2. 平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号表示：若 a∥c，b∥c，则 a∥b。 3. 平行线的判定方法 判定方法 语言描述 符号表示（直线 a,b 被 c 所截） 判定 1 同位角相等，两直线平行 若 ∠1=∠5，则 a∥b 判定 2 内错角相等，两直线平行 若 ∠3=∠5，则 a∥b 判定 3 同旁内角互补，两直线平行 若 ∠3+∠6=180∘，则 a∥b 判定 4 平行公理推论 若 a∥c，b∥c，则 a∥b 判定 5 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b 【题型1.对顶角的定义】 【典例】下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的判断，根据对顶角的定义 “有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角”逐项进行判断即可． 【详解】解：A、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意； B、符合对顶角的定义，是对顶角，符合题意； C、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意； D、两角没有共同顶点，不是对顶角，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 【答案】12 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义找出规律，再判断对顶角的对数． 【详解】解：两条直线相交于一点，形成对对顶角， 三条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 四条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 故答案为：12． 【跟踪专练2】如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了补角、余角的定义，对顶角的性质，以及角平分线和垂直的性质，解题的关键是结合图形在钝角内部）利用相关定义和性质逐一分析各选项． ​根据邻补角定义判断与的关系；结合和平分，推导与的和是否为；依据补角定义和图形中角的位置关系分析与相关角的补角关系；根据对顶角定义判断的对顶角． 【详解】解：∵、相交于点O平分，且在钝角内部，​ ∴． A、∵与组成平角，即， ∴与互为补角，此选项不符合题意； B、∵， ∴，即互为余角，此选项不符合题意； C、∵， ∴，互为补角，此选项不符合题意； D、∵的对顶角是，而非， ∴此选项符合题意． 故选：D． 【题型2.对顶角的性质】 【典例】如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题的关键． 由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：如图， 由量角器可知，， ∴， 即所量内角的度数为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，于点O，EF为经过点O的一条直线，那么与（    ） A．互余 B．互补 C．互为对顶角 D．相等 【答案】A 【分析】本题考查垂直的性质与对顶角相等，掌握互余是指两个角的和为是解题的关键．先根据得到直角，再利用对顶角相等的性质，找出与的角度和关系，从而判断二者的关系． 【详解】解：∵于点， ∴，即， ∵与是对顶角， ∴， ∴，即与互余． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 【答案】 【分析】根据垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，解答即可． 本题考查了垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：55． 【题型3.垂线的定义与理解】 【典例】如图，过点P作，，则与重合，其理由是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂线的定义与性质，根据垂线的定义结合图形得出是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：，，则与重合， 其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，直线相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角的性质，要熟练掌握由垂直得直角这一要点． 根据垂直的定义可得，再由，可得，根据对顶角相等，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得到，通过角度的和差关系可得到，根据对顶角相等可得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数．也可以根据可得到，通过角度的和差关系得到，再根据邻补角的定义得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． 一题多解法∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵OE平分， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线，利用邻补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 【题型4.垂线的性质】 【典例】如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 【详解】解：要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【跟踪专练1】如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可得当时，最小，根据三角形可求出此时的长，即可解答． 【详解】解：当时，最小， 此时， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故答案为：． 【题型5.点到直线的距离】 【典例】如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离． 根据高的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴点B到的距离是线段的长度． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 【跟踪专练2】下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线之间的位置关系，在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，可知错误，正确，根据对顶角相等和对顶角的和是，可知这两条直线垂直，故正确，根据点到直线的距离的定义，可知正确． 【详解】解：在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，故错误； 两直线相交，对顶角相等，若对顶角的和是，则每个角都是，即两直线相交形成的夹角是，两条直线互相垂直，故正确； 根据点到直线的距离的定义，可知：过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离，故正确； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故正确． 综上所述，正确的说法有． 故选：B． 【题型6.同位角.内错角.同旁内角的识别】 【典例】如图，直线被直线所截，与交于点A，则图中共有同旁内角 对． 【答案】 【分析】本题考查了同旁内角的含义．根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角． 【详解】解：根据同旁内角的定义可知， 图中共有对同旁内角， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同位角的定义判断即可． 本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与不是同位角，故此选项不符合题意； C、与是同位角，故此选项符合题意； D、与不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图． （1）与是直线，被直线所截形成的 角； （2）与是直线 被直线 所截形成的 角； （3）与是直线 被直线 所截形成的 角； （4）与是直线 被直线 所截形成的 角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【分析】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【详解】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 【题型7.平行公理的应用场景】 【典例】如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行解答即可． 【详解】解：P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：D 【跟踪专练1】被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【跟踪专练2】已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 【答案】B 【分析】本题考查直线与直线的位置关系，利用直线平行或垂直的性质逐项判断即可． 【详解】A：，但反推回去不一定成立（如图1）； B：正确（如图2） C：，但反推回去不一定成立（如图3）； D：分别与相交或平行（如图4，除去均与平行及均与相交的直线恰好相互平行的情形）． 【题型8.平行线判定:同位角相等两直线平行】 【典例】如图，补全下面的说理过程： （1）因为，所以 （ ）． （2）因为，所以 （ ）． 【答案】 同位角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． （1）（2）根据“同位角相等，两直线平行”求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以（同位角相等，两直线平行）． （2）因为，所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：①，②，③同位角相等，两直线平行，④，⑤，⑥同位角相等，两直线平行． 【跟踪专练1】 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴，故②不符合题意； ③∵， ∴，故③符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理对条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①∵，∴，符合题意； ②∵，∴，符合题意； ③∵，∴，不能判定，不符合题意； ④∵，∴，符合题意； 所以，可以判定的有①②④， 故答案为：①②④． 【题型9.平行线判定:内错角相等两直线平行】 【典例】世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行； 故选：A． 【跟踪专练1】如图，添加一个条件： ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加的条件是：．理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案是：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 【详解】解：（1）， ，符合题意； （2）， ，不符合题意； （3）， ，符合题意； （4）， ，符合题意； 共有3个条件符合题意． 故选：C． 【题型10.平行线判定:同旁内角互补两直线平行】 【典例】如图，一个弯形管道的拐角，，这时说管道，是根据 ． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了阅读题目信息，观察图形，试着得到的位置关系； 分析可得是同旁内角，回想平行线的判定定理； 根据同旁内角互补，两直线平行即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴ ∴（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：同旁内角互补，两直线平行. 【跟踪专练1】如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同旁内角互补、内错角相等、同位角相等时，对应的两直线平行是解题的关键． 逐个分析每个条件，结合平行线的判定规则，判断能否推出． 【详解】解：①，（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ②，（内错角相等，两直线平行），无法判定，不符合题意； ③，（内错角相等，两直线平行），符合题意； ④，（同位角相等，两直线平行），符合题意． 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：C． 【跟踪专练2】在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定的条件是 填所有正确条件的序号 【答案】 【分析】本题考查了同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐一判定各条件，即可得以结果． 【详解】解：， 内错角相等，两直线平行， 故条件符合题意； ， 内错角相等，两直线平行， 故条件不符合题意； ， 内错角相等，两直线平行， 故条件不符合题意； ， 同位角相等，两直线平行， 故条件符合题意； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故条件符合题意； ， 同旁内角互补，两直线平行， 故条件不符合题意； 综上，符合题意， 故答案为：． 1．下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线、相交线的基本概念，解题的关键在于准确理解并运用这些概念； 根据平行线、相交线的定义及性质，对各选项逐一进行分析． 【详解】A．平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，而线段有长度限制，即使两条线段不相交，它们所在的直线也可能相交，所以两条不相交的线段不一定是平行线，故该选项说法错误，不符合题意； B．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，二者不能同时成立，不存在既平行又相交的情况，故该选项说法错误，不符合题意； C．根据直线相交的定义，两条相交的直线有且只有一个公共点，故该选项说法正确，符合题意； D．射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，在同一平面内，两条射线没有交点，它们所在的直线也可能相交，所以仅根据两条射线没有交点，不能得出这两条射线平行，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可，理解垂线段最短是正确解答的关键． 【详解】解：根据题意可知，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是垂线段最短， 故选： 3．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 4．观察如图所示的长方体，回答下列问题： （1）用符号表示下列两条棱的位置关系： ；（填“”或“”） （2）与所在的直线是两条不相交的直线，它们 （填“是”或“不是”）平行线．由此可知，只有在 内，两条不相交的直线才能叫作平行线． 【答案】 不是 同一平面 【分析】本题考查平行线及垂线定义，熟练掌握定义及长方体的性质是解题关键． （1）由平行线及垂线定义可得答案． （2）由平行线定义可得答案． 【详解】解：（1）∵该图是长方体， ∴， 故答案为：；；；． （2）∵与所在的直线是两条不相交的直线，与不在同一平面内， ∴它们不是平行线， ∴只有在同一平面内，两条不相交的直线才能叫做平行线． 故答案为：不是；同一平面． 5．6条直线相交于一点，有（　　）对不同的对顶角． A．30 B．42 C．36 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握定义并总结出一般规律是解题的关键．分别列出两条直线、三条直线、四条直线相交于一点时的情况，从而总结一般规律，即可解决问题． 【详解】解：两条直线相交与一点，共形成对不同的对顶角； 三条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 四条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 6条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 故选：A． 6．如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查垂线的定义，角的概念，对顶角、邻补角的定义，准确识图，理解垂线的定义，对顶角、邻补角的定义是解决问题的关键． 根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：①∵直线，相交于点，， ∴， 故条件①能说明； ②∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故条件②能说明； ③∵直线，相交于点， ∴， 根据已知条件，不能得到， 故条件③不能说明； ④∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， 故条件④能说明， 综上所述：能说明的条件有①②④，共3个． 故选：C． 7．如图，点在的延长线上，给出四个条件：；；；．其中能判断的有 ．（填写所有满足条件的序号） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，不符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； 综上可知，能判断的有， 故答案为：． 8．如图，直线分别交于M，N两点，和的平分线交于点P．若，垂足为P，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定以及角平分线的定义，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行．根据角平分线的定义得出，，可得，再由平行线的判定可得结论． 【详解】解：， ， ， 又和的角平分线交点， ，， ， ， 故答案为：． 9．观察图形，以下结论： ①线段的长必大于点A到直线l的距离； ②线段的长小于线段的长，根据是两点之间线段最短； ③图中共有两对角互为余角； ④线段的长是点D到直线的距离，正确的是 （填序号）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了点到直线的距离、垂线段最短、余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据点到直线的距离、垂线段最短可判断①②④，根据余角的定义可判断③，即可得出结论． 【详解】解：线段的长必大于点A到直线l的距离，故①正确； 线段的长小于线段的长，根据是垂线段最短，故②错误； 图中共有8对角互为余角，故③错误； 线段的长是点D到直线的距离，故④正确； 综上所述，正确的是①④． 故答案为：①④． 10．如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由角平分线的定义得，结合对顶角的性质可证，从而可得． 【详解】解：． 理由：平分， ． ， ． 又， ， ． 11．如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 【答案】见解析 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的识别，明确平行线与截线形成的角的位置关系是解题关键． “同位角：同位置；内错角：交错在截线两侧；同旁内角：在截线同侧”，根据角的位置特征进行识别． 【详解】（1）同位角：和，和，和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和． （2）同位角：和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和，和，和． 12．如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【答案】(1)，它们之间的距离是；，它们之间的距离是；，它们之间的距离是（答案不唯一） (2)4对 【分析】本题考查了认识立体图形，平行线，掌握正方体的特征是解题的关键． （1）根据正方体的特征求解即可； （2）根据正方形的特征求解即可． 【详解】（1）解：，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； （2）解：在正方形中，互相垂直的边有，，，，共4对． 13．如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段． （1）可证，则，因，，，即． （2）可证，则，又，，即可求解． 【详解】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段． 如图，则，因， ∴， ∴，即． （2）如图，即为所求作的平行线． 如图，，则，又， ∴， ∴． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分． (1)若，则________________（用含α的式子表示）． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【分析】（1）先利用对顶角相等得到的度数，再由角平分线得出的度数，结合平角的性质，用含的式子表示； （2）先根据对顶角、角平分线求出的度数，再分在两侧的情况，结合垂直的性质计算的度数． 【详解】（1）解：∵直线相交于， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：①当点F，A在直线CD的同侧时，如图①． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ②当点F，A在直线CD的异侧时，如图②． 同理可得． ∵， ∴， ∴． 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了对顶角、角平分线、垂直的性质，掌握对顶角相等、角平分线分角为相等的两部分、垂直的角为90°是解题的关键，注意第二问需考虑位置的不同情况． 15．如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $