1.1 幂的乘除（题型专练，7基础题型+7提升题型+培优）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除 1.1 幂的乘除 题型一 同底数幂相乘 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是解题的关键．依据同底数幂的乘法法则计算，得出结果后匹配选项． 【详解】解：． 故选：A． 2．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，即底数不变，指数相加． 根据同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】． 故选：B． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 4．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，熟练掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则，建立方程并求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 题型二 幂的乘方运算 1．如果，那么的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C 2．若a为正整数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的定义及幂的乘方法则等知识点，掌握幂的运算法则是解题关键． 先确定括号内有多少个a相乘，再根据幂的乘方法则计算平方后的结果即可． 【详解】解： ， ． 故选： A． 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，根据幂的乘方将左边化简后，再通过指数相等可求出的值．解题的关键是掌握幂的乘方：底数不变，指数相乘． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， 即的值为． 故选：C． 4．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，准确的计算是解决本题的关键． 根据幂的乘方求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 题型三 积的乘方运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方运算，根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．积的乘方，等于积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，由此计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了积的乘方．直接利用积的乘方运算法则计算得出答案即可． 【详解】解：． 故选：D． 4．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方；先依据积的乘方法则，将和分别乘方，再依据幂的乘方法则计算的乘方（指数相乘），最后把常数乘方的结果与字母幂的结果相乘，得到最终答案． 【详解】解：． 故答案为：． 5．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查指数运算法则，具体涉及积的乘方和幂的乘方法则的应用．通过分别对底数中的各部分进行乘方运算，即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为 ． 6．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：6． 题型四 同底数幂的除法 1．计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则． 根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减． 【详解】解： ， 故选：B． 2．计算的结果为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的除法，负整数指数幂，利用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，再根据负指数幂的意义化为分数即可． 【详解】解：； 故选B． 3．若，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法．根据同底数幂的除法求得，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式除以单项式，利用单项式的除法法则进行求解是解题的关键. 【详解】解：原式 与选项进行比较得出正确答案为C 故选：C ． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法的法则是解题的关键．根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减． 【详解】解：． 故答案为：． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的除法及乘方运算，先计算同底数幂的除法，再计算乘方即可． 【详解】解：． 故答案为： 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法法则，正确运用同底数幂的除法法则是解答本题的关键． 根据同底数幂的除法法则，系数相除，同底数幂相除时指数相减． 【详解】 = = = = = ． 故答案为：． 题型五 零指数幂 1．的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂的性质，即任何非零数的零次幂等于1． 由结合零指数幂的性质即可求解． 【详解】解：∵ 时，， ∴ ． 故选：． 2．计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查零指数幂，掌握任何非零数的0次幂都等于1是解决问题的关键．根据任何非零数的0次幂都等于1即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：A． 3．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查零指数幂的性质：任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：1． 4．若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有意义的条件，熟练掌握有意义时，是解题的关键，据此作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六 负指数幂 1．计算的结果是（   ） A． B． C．－16 D．－8 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数．熟练掌握负整数指数计算方法是解题的关键． 根据（，n为正整数）解答． 【详解】解：． 故选：B． 2．计算的结果是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，解题的关键是掌握，根据，进行计算即可． 【详解】解：, 故选：A． 3．计算： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．根据（，m为正整数）求解即可． 【详解】解：，， 故答案为：，． 题型七 科学记数法 1．修文县将猕猴桃作为“一县一业”的主导产业，从2023年至今，修文县猕猴桃进入高质量发展期．据悉，2025年修文县猕猴桃产量将超过75000吨．数据75000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法要求将数字表示为的形式，其中，n为整数，可得即可求解． 【详解】∵， ∴75000用科学记数法表示为． 故选：D． 2．2025年10月1日全球首台16000000瓦漂浮式风电机组在广西北海市铁山港区完成一体化组装．这是全球已安装单机容量最大的漂浮式海上风电系统装备，标志着我国海上风电装备制造业向深远海再迈一步．数据16000000用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示形式作答即可． 【详解】解：． 故选：B． 3．碳纳米管，又名巴基管，是一种具有特殊结构的一维量子材料，其直径一般为厘米，其中用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故选：B． 5．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 6．我国首次火星探测任务“天问一号”火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里．若将数据830万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：830万， 故答案为 ． 题型一 同底数幂乘法的逆用 1．已知，，则的值（   ） A．15 B．50 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法逆用，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．逆用同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 2．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则将转化成，再代入已知值计算即可． 【详解】解： ，， ． 故选：D． 3．已知，则用含、的式子可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法逆用，利用已知条件，将分解为 ，再应用指数法则转化为含和的表达式即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 4．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，同底数幂乘法逆用，根据有理数乘方运算法则，逆用同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．若，，则 ； 【答案】10 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用． 逆用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：． 故答案为：10． 6．，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是熟练运用幂的乘方、同底数幂的乘法和除法法则． 先根据幂的乘方将和进行变形，再根据同底数幂的乘法和除法法则，将转化为与相关的形式，最后代入求值． 【详解】解：，因为，所以， ，因为，所以， 根据同底数幂的乘法法则和除法法则，对进行变形： ， 将代入上式： ． 故答案为：． 题型二 积的乘方的逆用 1．计算（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方的性质，同底数幂的乘法，熟记性质并转化为同指数幂相乘是解题的关键． 把写成的形式，再逆用积的乘方的性质进行计算即可得解． 【详解】解： ． 故选：B． 2．计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． 逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选C． 3．计算的值等于（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方法则的逆用，同底数幂乘法法则的逆用，将化为分数，利用同底数幂相乘的逆运算以及积的乘方的逆运算进行化简，计算，即可作答． 【详解】解： ， 故选：B 4．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解决此题的关键．用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 5．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，积的乘方的逆用，将原式进行正确的变形是解题的关键．利用同底数幂乘法、积的乘方法则将原式变形后进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 6．已知a、b互为倒数，化简： ． 【答案】b 【分析】本题考查了倒数，有理数的混合运算，积的乘方的逆运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据倒数的意义可得，然后计算乘方，再整体代入计算即可． 【详解】解：互为倒数， ， ． 故答案为：b． 7．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，先整理，结合，得，进行解方程，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 题型三 同底数幂除法的逆用 1．已知，则的值为（  ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可． 本题考查了同底数幂除法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 2．已知，，则的值是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，将表示为，然后代入已知值求解． 【详解】解：∵ ，且，， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 3．已知，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，根据题意可求出和的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， 故选：D． 4．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法，掌握相应的运算法则是关键．利用指数运算规则，将表示为，再代入已知值计算． 【详解】解：由已知条件 , ， 根据幂的乘方运算法则，， 再根据同底数幂的除法法则，. 故答案为：． 题型四 幂的混合运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据幂的运算法则及合并同类项法则，即可判断答案． 【详解】A、与不是同类项，不能合并，所以选项A错误，不符合题意； B、，所以选项B正确，符合题意； C、，所以选项C错误，不符合题意； D、，所以选项D错误，不符合题意． 故选：B． 2．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．先根据积的乘方法则计算小括号，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后化简负整数指数幂，即得答案． 【详解】 ． 故选A． 3．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的混合运算法则逐项判断即可． 【详解】，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查幂的混合运算，掌握同底数幂相乘和幂的乘方是解答本题的关键． 4．若，则 ． 【答案】3 【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数，然后按同底数幂运算法则，列方程即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方，根据题意，把底数变成相同是解题关键． 5．计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则是解题的关键．先运算积和幂的乘方运算法则，再运用同底数幂相乘运算法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算后再算乘法，最后算加减即可； （2）利用幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂乘法及除法法则计算后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五 比较值的大小 1．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算及幂的大小比较，熟练掌握“将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过指数（或底数）比较大小”是解题的关键．将、转化为同底数幂的形式，再通过比较幂的底数和指数大小，确定、、的关系． 【详解】解：∵ ，，，底数，指数均为14 ∴ ，即 ∵ 底数均为3，指数， ∴ ，即， ∴ 故选：. 2．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方运算，负整数指数幂，零指数幂等知识，根据相关知识分别计算出，，，再比较大小，问题得解． 【详解】解：，，， ∴． 故选：B． 3．在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：；．，． 请你根据上面所提供的信息，判断和的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用，将不同指数的幂转化为相同指数的幂，再通过比较底数大小判断幂的大小是解题的关键． 仿照题干中的方法，将指数化为相同后比较底数即可． 【详解】解：∵ ，， 又 ∵ ， ∴ ，即 ． 故选：B． 4．若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是幂的乘方，灵活运用幂的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方公式，将、、的指数化为相同，进而比较底数大小得出三者的大小关系． 【详解】，，， 且， ． 故选：． 5．已知，则的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、有理数的大小比较等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先将b和c转换为底数为3的幂，再根据同底数幂和同指数幂的大小比较方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵，，， ∴，即， ∴． 故答案为． 6．已知，则之间的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，解题的关键是利用幂的乘方的逆运算对各式变形，变成指数相同的形式．变形为，然后比较底数即可． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：． 题型六 新定义下幂的运算 1．规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据规定将符号转化为指数形式，再利用 和同底数幂相乘的法则求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：A． 2．我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算，解决本题的关键是求出． 由定义可得，，． 【详解】 解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以 故选：C． 3．定义：如果，那么叫作以为底的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法正确的个数为（　　） ①；②若，则；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了对数的定义及和乘方意义，同底数幂的乘法；根据对数的定义及和乘方意义逐一判断各说法的正确性． 【详解】解：① 根据定义，若，则．因，故，①正确． ② 若，则： ∵， ∴． ∵ ∴，即， 解得， 故，②正确． ③ （）： 设，， 则，． 故，，③正确． 综上，①②③均正确， 故选：D． 4．我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得、、的值，再归纳类推出（其中为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 归纳类推得：（其中为正整数）， ∴， ∴， 故选：D． 5．定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握新定义法则的运算顺序是关键． 根据新运算的定义，将 和 代入公式 进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 6．规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3， ）． 【答案】128 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则，弄懂定义是解题的关键． 由题意可得，解得，再由，结合规定即可求解． 【详解】∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：128． 题型七 探究幂运算中的数量关系 1．若，是正整数，且满足，则，满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，将等式两边分别化简，利用同底数幂的乘法运算性质，得到指数相等的条件，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算，关键是将分解质因数后利用幂的乘方和积的乘方进行变形． 利用指数运算法则，将 分解为 ，再结合已知条件代入． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 且，， ∴． 故选：D． 3．若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据已知等式可得，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．若（a，b是常数），则a，b满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的法则和幂的乘方法则，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据乘法的意义，乘方的意义，以及同底数幂相乘的法则和幂的乘方法则，分别将等号左右两边都转化成以2为底的幂的形式，即可得解． 【详解】解：， ， 且， ． 故答案为：． 5．若，是正整数，且满足，则，满足的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，根据运算法则将式子变形为，从而即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，满足的关系是， 故答案为：． 1．定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了数的乘方的计算能力，解题的关键是理解定义． 根据定义理解，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确即可． 【详解】解：①∵， ∴，该选项正确，符合题意； ②∵， ∴， 解得，该选项错误，不符合题意； ③由得，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； ④令，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ∴正确的选项有：①③④， 故选：C． 2．已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是 ，第一百个拐弯处的数是 ． 【答案】 【分析】设第n个拐弯处的数为，由已知数据可以分析得到当时，n为奇数，，当n为偶数，，由此进行计算即可． 【详解】解：设第n个拐弯处的数为 由题意知：，，，， 观察可得：，，， ∴当且n为奇数时，，当n为偶数时，, ∴，即第六个拐弯处的数是． 故答案为： ∴第一百个拐弯处的数是 故答案为： 【点睛】本题考查数字的规律探索以及同底数幂相乘的计算法则，能够由已知数据得到通项公式是解题关键． 3．某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法等知识点，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的乘法法则是解题的关键． （1）根据乘方的定义求解即可； （2）根据乘方的定义求解即可； （3）根据乘方的定义以及同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴；   ， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵， ， ∴， ． （3）解：，理由如下： 设， ， ， ， ∴． 4．阅读材料： 求的值． 解：令①． 将等式①两边同时乘2，得 ②． ②①，得，即， 所以 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：． (2)已知数列：，9，，，，…． ①它的第100个数是_____； ②求该数列中前100个数的和． 【答案】(1) (2) 该数列中前个数的和是 【分析】（1）根据阅读材料即可解决问题； （2）①观察数列的特征，发现后一个数是前一个数的-9倍，即可解决问题； ②表示出前100个数的和，再依据规律即可解题． 【详解】（1）解：由题知：令 将等式①两边同时乘3，得： 得：， 即 ． （2）解：①观察所给数列的特征可知，后一个数是前一个数的倍，且第一个数是.所以第个数是； ②前100个数的和为： 令 两边同时乘以，得 两式相减去，得： ，即， 所以这列数中前个数的和为． 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给计算方式是解题的关键． 5．【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． (1)直接写出计算结果：______， ______． (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：_____．（直接写出结果） (3)【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 【答案】(1)，． (2)． (3)． 【分析】本题考查了除方的定义、除方与乘方的转化以及同底数幂乘法公式的应用，解题关键是理解除方的定义，掌握除方转化为乘方的方法，并能结合同底数幂乘法公式进行运算． （1）根据除方定义直接计算： ， ． （2）将除方转化为乘法，推导得 ． （3）先将按结论转化，再结合同底数幂乘法公式，提取公因式计算． 【详解】（1）解： ． ． （2）解： ． （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘除 1.1 幂的乘除 题型一 同底数幂相乘 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．若，则的值为 ． 题型二 幂的乘方运算 1．如果，那么的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若a为正整数，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．计算 ． 题型三 积的乘方运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果为 ． 5．计算： ． 6．若，则 ． 题型四 同底数幂的除法 1．计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果为（   ） A．8 B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．计算： ． 6．计算： ． 7．计算： ． 题型五 零指数幂 1．的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 2．计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 3．计算： ． 4．若代数式有意义，则的取值范围是 ． 题型六 负指数幂 1．计算的结果是（   ） A． B． C．－16 D．－8 2．计算的结果是（   ） A．2025 B． C． D． 3．计算： ， ． 题型七 科学记数法 1．修文县将猕猴桃作为“一县一业”的主导产业，从2023年至今，修文县猕猴桃进入高质量发展期．据悉，2025年修文县猕猴桃产量将超过75000吨．数据75000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．2025年10月1日全球首台16000000瓦漂浮式风电机组在广西北海市铁山港区完成一体化组装．这是全球已安装单机容量最大的漂浮式海上风电系统装备，标志着我国海上风电装备制造业向深远海再迈一步．数据16000000用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 3．碳纳米管，又名巴基管，是一种具有特殊结构的一维量子材料，其直径一般为厘米，其中用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 5．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为 ． 6．我国首次火星探测任务“天问一号”火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里．若将数据830万用科学记数法表示为 ． 题型一 同底数幂乘法的逆用 1．已知，，则的值（   ） A．15 B．50 C． D．无法确定 2．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则用含、的式子可表示为（    ） A． B． C． D． 4．计算 ． 5．若，，则 ； 6．，则的值为 ． 题型二 积的乘方的逆用 1．计算（　　） A．2 B． C． D． 2．计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D． 3．计算的值等于（   ） A． B．4 C．5 D． 4．计算 ． 5．计算的结果是 ． 6．已知a、b互为倒数，化简： ． 7．若，则 ． 题型三 同底数幂除法的逆用 1．已知，则的值为（  ） A．9 B．8 C．6 D．5 2．已知，，则的值是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．已知，，则（   ） A． B．1 C． D． 4．若，则的值是 ． 题型四 幂的混合运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 4．若，则 ． 5．计算： 6．计算： (1)； (2)． 题型五 比较值的大小 1．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 3．在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：；．，． 请你根据上面所提供的信息，判断和的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 4．若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的大小关系是 ．（用“”连接） 6．已知，则之间的大小关系为 ．（用“”连接） 题型六 新定义下幂的运算 1．规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 2．我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 3．定义：如果，那么叫作以为底的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．下列说法正确的个数为（　　） ①；②若，则；③． A．0 B．1 C．2 D．3 4．我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 5．定义新运算：，则的运算结果是 ． 6．规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3， ）． 题型七 探究幂运算中的数量关系 1．若，是正整数，且满足，则，满足的关系式为 ． 2．已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 3．若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若（a，b是常数），则a，b满足的关系式是 ． 5．若，是正整数，且满足，则，满足的关系是 ． 1．定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是 ，第一百个拐弯处的数是 ． 3．某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 4．阅读材料： 求的值． 解：令①． 将等式①两边同时乘2，得 ②． ②①，得，即， 所以 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：． (2)已知数列：，9，，，，…． ①它的第100个数是_____； ②求该数列中前100个数的和． 5．【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． (1)直接写出计算结果：______， ______． (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：_____．（直接写出结果） (3)【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 学科网（北京）股份有限公司 $