17.1三角形的有关概念（同步练习作业设计、题型归纳、分类训练、综合提升） 2025-2026学年沪教版(五四制)七年级数学下册

沪教版（新教材）七年级数学下册（同步练习、题型归纳、分类训练、综合提升） 17.1三角形的有关概念 目标导航: 1.理解三角形的相关概念，三角形的三边关系，会对三角形进行分类； 2.理解三角形的高线、中线、角平分线，会进行相关的画图、计算、推理。 分类训练 【题型1】判定三条线段能否组成三角形 1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．共有4种取法，由三角形三边关系定理分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：共有以下4种取法： 、、；、、；、、；、、． ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，能构成三角形， ∴能构成的三角形的个数是1个． 故选：A． 2．（24-25七年级下·上海普陀·月考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．1，2，1 B．2，7，8 C．4，6，11 D．1.5，2.5，4 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．判断时只需验证较短两边的和是否大于最长边即可． 【详解】解：A. 1，2，1：较短边之和，等于最长边2，不能组成三角形． B. 2，7，8：较短边之和，满足条件，能组成三角形． C. 4，6，11：较短边之和，不能组成三角形． D. 1.5，2.5，4：较短边之和，等于最长边4，不能组成三角形． 故选B． 3．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】A．2，3，5：最小两边和为，等于最大边5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B．3，5，9：最小两边和为，小于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； C．3，6，9：最小两边和为，等于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； D．3，7，9：最小两边和为，大于最大边9，满足条件，能组成三角形． 故选D． 4．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的边角关系， 根据三角形中“大角对大边”的性质，结合已知条件分析的可能长度． 【详解】解： 在中，，由大角对大边定理可知，的对边大于的对边，已知厘米，因此厘米， 所以只有D选项5.4厘米满足此条件． 故选：D． 5．（24-25七年级下·上海松江·期中）下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边逐个判断即可． 【详解】解：A、，不能做成三角形框架，不符合题意； B、，不能做成三角形框架，不符合题意； C、，能做成三角形框架，符合题意； D、，不能做成三角形框架，不符合题意； 故选：C． 【题型2】已知三角形的两边长求第三边的取值范围 6.（24-25七年级下·上海·月考）若一个三角形的两条边分别是和，则第三边的长度不可以取（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】A 【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和． 【详解】设第三边长度为，根据三角形三边关系得：， 求得， 故四个选项里面，A不满足． 故选：A． 7．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 8．（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可求出应满足的条件． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海金山·期中）如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系的定理可以确定的取值范围，再解不等式即可．解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得： ， 解得：． 故答案为：． 【题型3】三角形的概念辨析 11.（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 12．（24-25七年级下·上海·阶段测试）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 13．（24-25七年级下·上海浦东新·月考）下列分类正确的是（    ） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类即可求解． 【详解】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）. 14．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 15．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查平行公理、垂线的性质、三角形中各类线的交点性质、直线位置关系及点到直线的距离的定义，需逐一分析各说法的正确性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，原说法缺少“直线外一点”的条件，故错误，不符合题意； ②平面内，过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； ③三角形的三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高线所在直线交于垂心，故原说法错误，不符合题意； ④平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故错误，不符合题意； ⑤点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故错误，不符合题意； 综上，正确的有②，共1个， 故选：A． 【题型4】三角形有关线段的作图题 16.（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)； (4)，； 【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离． 过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高； 过点作线段，垂足为点，线段即为所求； 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度； 因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离． 【详解】（1）解：如下图所示， 线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 17．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【分析】本题主要考查了画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点C作交延长线于点E，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，在由三角形面积公式得到． 【详解】（1）解：如图，过点C作交延长线于点E，则即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： （3）解：∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：∵点D是边的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴图形中面积相等的两个三角形是：和， 故答案为：和． 18．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)中线 (4)30 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）根据点到直线的距离的定义求解即可； （3）由题意可得，则线段是的中线； （4）由题意可得，则进而可得， ， 则 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （3）解：如图， ∴线段是的中线， 故答案为：中线； （4）解：， ， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的平行线，交于点； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了画平行线，画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点C作交延长线于D，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据平行线的画法画图即可； （4）可证明，再根据点到直线的距离的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于D，则即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：∵， ∴， ∴点到直线的距离是线段的长度． 20．（25-26七年级上·上海·月考）如图，已知 的面积是 30，请完成下列问题∶ (1)如图 1， 是 的中线，则 _____ (填“>”、“<”或“=”) (2)如图 2 ，若 、 分别是 的中线，求四边形 的面积可以用如下方法∶ 连接 ，由 得 ，同理，可得 ． 设 ，则 ． 由题意得 可列方程组 ，解得_____； 通过解这个方程组可得四边形 的面积为_____； (3)如图3， ， ，请直接写出四边形 的面积∶_____． 【答案】(1)= (2)， (3) 【分析】主要考查了等底同高的三角形面积相等，高相同的三角形的面积比等于底的比，二元一次方程组的解法．准确理解题干中的方法并正确应用是解题的关键． （1）利用三角形的面积公式计算即可得出结论； （2）解方程组求解即可，四边形 的面积为； （3）利用（2）中的方法，设，，则，，利用已知条件列出方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作于点，如图1， 是的边上的中线， ． ，， ． 故答案为：； （2）解：． 解得：， 四边形的面积为：． 故答案为：，； （3）解：∵ ， ， ∴设，，则，， ∵， ， ∵， ，， 可列方程组：， 解得：． ． 【题型5】有关面积的问题 21．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，分别与，对应，连接，，设与交于点．如果，点是线段的中点，且，若，则 （用含有的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的面积公式，掌握旋转的性质是解题的关键．根据题意作出图形，进而结合题意求得，，根据，点是线段的中点，得到，，据此即可求解． 【详解】解：如图， ∵，且， ∴， ∴， ∵，点是线段的中点， ∴，， ∵是旋转得到的， ∴． 故答案为：． 22．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是 ． 【答案】2.5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 【详解】解：∵、是的中线，连接，的面积是10， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 23．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，、分别为、的中点，，如果阴影部分的面积为2，那么的面积是 【答案】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由题意可得，，，，从而求出，即可得解． 【详解】解：∵，的面积为2， ∴， ∵、分别为、的中点， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，连接，根据三角形中线的性质易求，进而求出，同理得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是中边上的中线，的面积是8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，是边的中点，阴影部分的面积为，则的面积是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴，，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． 拓展提升 1．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意； B．，能构成三角形，故此选项不合题意； C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为6，3，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为2，2，3的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为1，2，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 3.（23-24七年级下·河北邢台·期末）图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键． 根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：∵三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，等腰三角形分为：两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形． ∴Q表示的是等边三角形． 故选：A． 4．（24-25七年级下·上海·期中）已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 【答案】B 【分析】此题主要考查因式分解的应用．把代数式因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】解： ， 因为为三角形三边长，所以，， 所以原式小于零． 故选：B． 5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形面积有关的计算，由得出，，求出，再由计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）在中，，，则长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，熟知三角形的三边关系是解答的关键．根据三角形的三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海青浦·月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 9．（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形的两条边长分别为3和8，且第三边的长为整数，那么第三边的长的最小值是 ． 【答案】6 【分析】设第三边长为x，根据题意，得即，故最小值为6，解答即可． 本题考查了矩形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】设第三边长为x，根据题意，得即， 故最小值为6， 故答案为：6． 11．（24-25七年级下·上海宝山·期中）a、b、c为三角形的三边，化简： 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大小第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识；根据三角形三边关系确定的符号，由绝对值的性质及整式加减法则即可化简． 【详解】解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴， 即， ∴ ． 12．（24-25七年级下·上海·月考）如图，点是的边上的一点， (1)过点作的垂线，交于点； (2)在（1）的基础上作的边上的高，垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离； (4)线段、这两条线段大小关系是______用“”号连接． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)； (4)． 【分析】本题考查作图基本作图、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画图即可． （2）根据三角形的高的定义画图即可． （3）结合点到直线的距离的定义可得答案． （4）根据垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：由图可知，线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （4）解：由题意得，线段、这两条线段大小关系是． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海·期中）阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查三角形中线性质、三角形的面积，熟知等高三角形的面积关系是解答的关键． （1）根据题干证明过程，结合三角形的面积公式求解即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）由（2）可得，，再结合已知求解即可． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ． ，， ． 故答案为：，； （2）证明：如图3，过点作于点． ，， ∴； （3）解：同理（2）得，， ∵的面积为，是边上靠近点的三等分点， ∴， ∴， ∵是边上靠近点的四等分点， ∴， ∴， 故答案为：12． 14．（24-25七年级下·上海·期中）阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查三角形中线性质、三角形的面积，熟知等高三角形的面积关系是解答的关键． （1）根据题干证明过程，结合三角形的面积公式求解即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）由（2）可得，，再结合已知求解即可． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ． ，， ． 故答案为：，； （2）证明：如图3，过点作于点． ，， ∴； （3）解：同理（2）得，， ∵的面积为，是边上靠近点的三等分点， ∴， ∴， ∵是边上靠近点的四等分点， ∴， ∴， 故答案为：12． 15.（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高线． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的中点 ． （2）解：过作于，如图： 点到的距离为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版（新教材）七年级数学下册（同步练习、题型归纳、分类训练、综合提升） 17.1三角形的有关概念 目标导航: 1.理解三角形的相关概念，三角形的三边关系，会对三角形进行分类； 2.理解三角形的高线、中线、角平分线，会进行相关的画图、计算、推理。 分类训练 【题型1】判定三条线段能否组成三角形 1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·上海普陀·月考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．1，2，1 B．2，7，8 C．4，6，11 D．1.5，2.5，4 3．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 4．（24-25七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 5．（24-25七年级下·上海松江·期中）下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 【题型2】已知三角形的两边长求第三边的取值范围 6.（24-25七年级下·上海·月考）若一个三角形的两条边分别是和，则第三边的长度不可以取（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 7．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 8．（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是 ． 9．（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ． 10．（24-25七年级下·上海金山·期中）如果的两边长分别为和，那么第三边的取值范围是 ． 【题型3】三角形的概念辨析 11.（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 12．（24-25七年级下·上海·阶段测试）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·上海浦东新·月考）下列分类正确的是（    ） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 14．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段 的长度． 15．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4】三角形有关线段的作图题 16.（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 17．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 18．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 19．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的平行线，交于点； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． 20．（25-26七年级上·上海·月考）如图，已知 的面积是 30，请完成下列问题∶ (1)如图 1， 是 的中线，则 _____ (填“>”、“<”或“=”) (2)如图 2 ，若 、 分别是 的中线，求四边形 的面积可以用如下方法∶ 连接 ，由 得 ，同理，可得 ． 设 ，则 ． 由题意得 可列方程组 ，解得_____； 通过解这个方程组可得四边形 的面积为_____； (3)如图3， ， ，请直接写出四边形 的面积∶_____． 【题型5】有关面积的问题 21．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，分别与，对应，连接，，设与交于点．如果，点是线段的中点，且，若，则 （用含有的式子表示）． 22．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是 ． 23．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，、分别为、的中点，，如果阴影部分的面积为2，那么的面积是 24．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于 ． 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，是边的中点，阴影部分的面积为，则的面积是 ．    拓展提升 1．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 2．（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1 3.（23-24七年级下·河北邢台·期末）图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 4．（24-25七年级下·上海·期中）已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是（　　）    A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ． 7．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）在中，，，则长度的取值范围是 ． 8．（24-25七年级下·上海青浦·月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 9．（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简： ． 10．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形的两条边长分别为3和8，且第三边的长为整数，那么第三边的长的最小值是 ． 11．（24-25七年级下·上海宝山·期中）a、b、c为三角形的三边，化简： 12．（24-25七年级下·上海·月考）如图，点是的边上的一点， (1)过点作的垂线，交于点； (2)在（1）的基础上作的边上的高，垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离； (4)线段、这两条线段大小关系是______用“”号连接． 13．（24-25八年级上·山西朔州·期中）阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 14．（24-25七年级下·上海·期中）阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 15.（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $