17.2三角形的内角和（知识梳理、题型归纳、例题讲解、过关检测）2025-2026学年沪教版七年级数学下册

本讲义聚焦三角形内角和定理及其证明，系统梳理外角定义与性质，归纳8字型、A字型、燕尾型等导角模型，构建从基础定理到性质应用再到模型拓展的递进式学习支架。 通过题型分类与变式训练，培养学生几何直观与推理能力，导角模型总结助力数学语言表达。课中例题解析辅助教师教学，课后过关检测帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

沪教版新教材七年级下册同步教学讲义（知识梳理、题型归纳、例题讲解、过关检测） 17.1三角形的内角和 知识点导航 题型归纳 三角形的内角和 利用三角形的内角和求角的度数 设未知数列方程求角的度数 三角形的外角及其性质 利用三角形外角的性质求角的度数 利用三角形外角的性质进行计算、推理或证明 常见的导角模型 三种基本模型（8字型、A字型、燕尾型） 双角平分线的夹角模型 三角形的折叠求角模型 知识点梳理 1. 三角形的内角和 （1）三角形内角和定理：三角形内角和等于180. （2）三角形内角和定理的证明 剪拼法 平行线+内错角+同位角 平行线+内错角 2. 三角形的外角及其性质 （1）三角形外角的定义 三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形(与此内角相邻)的外角. ∠1和∠3 都是△ABC的外角， 但∠2不是△ABC的外角. （2）三角形外角的性质 ① 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. ∠ACD=∠A+∠B ∠ACD∠A，∠ACD>∠B （3）三角形的外角和：三角形的外角和等于360. 注意：在三角形的每个顶点处只能取一个外角. ∠1+∠2+∠3=360 3.常见的导角模型 （1）常见的三种基本模型 8字型 A字型 燕尾型 图形 结论 ∠A+∠B=∠C+∠D ∠B+∠C=∠ADE+∠AED ∠BOC=∠A+∠B+∠C （2）三角形中的叠角模型 不压边求角 压一边求角 压两边求角 图形 结论 ∠1+∠2=2∠A ∠1-∠2=2∠A ∠1+∠2=2∠A （3）双角平分线的夹角模型 例题讲解 【题型1】利用三角形的内角和求角的度数 例1（24-25七年级下·上海静安·月考）在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直定义，由三角形内角和定理可得，通过角平分线定义可得，根据，，从而求得，最后通过角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是， 故选：． 变式1（24-25七年级下·上海静安·月考）将一块含有的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质及对顶角相等的有关知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．根据题意画出图形，再根据对顶角相等及直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示： 由对顶角相等可得， ∵此三角形是直角三角形， ∴，即． 故选：C． 变式2（24-25七年级下·上海虹口·月考）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，与交于点G，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质的运用，三角形内角和定理，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．折叠得到，，再根据，可得． 【详解】解：∵把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2】列方程求角的度数 例2（24-25七年级下·上海长宁·期末）在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 设，则，根据列方程求出，，然后根据三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． ∴为直角三角形． 故选：A． 变式1（24-25七年级下·上海·月考）在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定义，三角形的分类．根据题意得出，根据三角形的内角和列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴是直角三角形， 故选：B． 变式2（24-25七年级下·上海·月考）在中，，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，设，则，，根据三角形内角和定理建立方程，求出α的值，进而求出，即可得出结论． 【详解】解：设，则，， 根据三角形内角和定理可知，， ∴， ∴， ∴， ∴是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【题型3】利用三角形的外角性质求角的度数 例3（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，利用性质求解即可． 【详解】是的外角 解得： 故选：D． 变式1（24-25七年级下·上海黄浦·月考）已知如图，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．利用三角形内角与外角的关系解答即可． 【详解】解：如图，、是的外角， ，， 即， ， ． 故选：B． 变式2（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，，，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查了三角形外角的性质，根据，得出答案即可．熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 【详解】解：∵，，为的外角， ∴． 故选：C． 【题型4】利用三角形的外角性质进行计算、推理或证明 例4（24-25七年级下·上海浦东·月考）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又∵， ∴ ， 即． 变式1（24-25七年级下·上海嘉定·月考）如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，，求的度数； (2)当，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据是高，求出，根据是角平分线，求出，进而求出的度数； （2）根据是高，是角平分线，证得和，据此进行证明即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 是高， 于点D， ， ， 是角平分线， ， ， 的度数为； （2）证明：在中，是高，是角平分线， 于点D，，且， ， ， ， ， ， ． 变式2（24-25七年级下·上海徐汇·月考）【题目】如图1，根据图形填空． （1）______，______； （2）____________； 【应用】 （3）如图2，求的度数； 【拓展】 （4）如图3，若，则为______度． 【答案】（1）；（2）；（3）（4）220 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键． （1）利用三角形外角性质即可求出； （2）根据外角性质，将转化到一个三角形内计算即可； （3）利用三角形外角性质将转化到一个三角形中，再根据三角形内角和即可得到结果； （4）利用外角套外角可得，，根据对顶角相等，即可计算出结果． 【详解】解：（1）因为是三角形的外角， 所以． 因为是三角形的外角， 所以． 故答案为；． （2）因为，， 所以． 故答案为；． （3）因为，， 所以． （4）根据三角形外角性质可得， ，． 因为， 所以． 所以． 故答案为：220． 【题型5】三种基本模型 例5（24-25七年级下·上海·月考）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查了三角形内角和定理及对顶角相等，理解题意是解题关键． （1）根据对顶角相等及三角形内角和定理即可证明； （2）根据角平分线得出，再由题意结合图形确定，，求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∵， ∴； （2）∵和的平分线交于点， ∴， ∴①， 由（1）得， 即②， 得：， ∴． 变式1（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 【答案】43 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 变式2（24-25七年级下·上海闵行·期中）形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，延长到，根据三角形的外角的性质得出，继而得出，代入已知数据，即可求解． 【详解】解：连接，延长到． ∵， ∴， ∵，，， ∴ 故选：B 【题型6】双角平分线的夹角模型 例6（24-25七年级下·上海闵行·月考）（20-21七年级下·上海金山·期末）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，再利用三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵∠A=n°， ∴∠ABC+∠ACB=（180-n）°， ∵BD、CE分别是△ABC的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=（180-n）°=90°-n°， ∴∠COD=∠OBC+∠OCB=90°-n°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠OBC+∠OCB的度数是解题的关键． 变式1（24-25七年级下·上海·期中）如图，、分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，那么的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义及三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键，由角平分线得，．再根据三角形的外角性质得，，从而得． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，． ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：． 变式2（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴ ， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 【题型7】三角形叠角求角模型 例7（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质，连接．首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：连接． ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：． 变式1（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，将纸片沿折叠，则、和这三个角有什么数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，熟练掌握折痕是角平分线以及三角形的内角和定理，外角的性质，是解题的关键． 根据折叠和平角的定义，求出，根据外角的性质和三角形的内角和定理推出，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C． 变式2（24-25七年级下·上海闵行·月考）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形外角的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接，由折叠的性质得出．由三角形外角的性质可得出结论； （2）由三角形外角的性质得出，则可得出结论； （3）①延长交的延长线于L，由（2）中结论可知，求出．则可得出答案． 【详解】解：（1），理由如下： 如图①，连接， 将三角形纸片沿折叠，点A落在四边形内点的位置， ． ， ， 即； 故答案为：； （2），理由如下： 如图②，设与交于点F， ， ， ； （3）如图③，延长交的延长线于L，由（2）中结论可知， ， ． ， ． 故答案为：． 过关检测 一、单选题 1．在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形内角和是180°，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：在中，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 2．将一副三角板按图中方式叠放，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】 解：由题意可得： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图，熟知三角板各角的度数是解题的关键． 3．将一个含的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角板中角度的求解，根据题意得：，，，根据平行线的性质和邻补角可得，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意得：，，， ， ， 故选：B． 4．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．利用三角形内角和以及角平分线的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 两锐角的角平分线、交于点F， ，， ， ， 故选：A． 5．已知中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，设，则，，根据三角形的内角和是180度分别求出各个角的度数即可判断三角形的种类． 【详解】解：∵ ∴设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， 则这个三角形是是钝角三角形， 故选：C 6．如图，中，，E、D分别在和上，点F在的延长线上，平分，，，，则的度数为（    ） A．105° B．95° C．90° D．85° 【答案】D 【分析】先利用平行线的性质求出∠AEF与∠ABC的度数，再利用角平分线求出∠ABD的度数，最后利用三角形外角的性质求出∠BDC的度数． 【详解】∵，， ∴∠AEF=∠F=50°， ∵， ∴∠ABC=∠AEF=50°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠ABC=， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=60°+25°=85°， 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 二、填空题 7．如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出，，进而得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，在中，，是的角平分线，则 ， ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．由平分，得．由平分，得，进而解决此题． 【详解】解：平分， ． 平分， ． ． 故答案为：、、． 9．当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形内角和，理解“友好三角形”的意义是解题的关键；分三种情况：当为的时；当为时；当角外的另两个内角有倍数关系时，分别计算即可． 【详解】解：当为的时，即； 当一个角为的时，即； 当角外的另两个内角满足一个角是另外一个内角的时，， ； 综上，“友好角”的度数为或或． 故答案为：或或 10．如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则 度（用含x、y的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，，进一步利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∴； 故答案为： 三、解答题 11．在，，，求，，的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，正确的计算是解题的关键． 设，则，，根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：∵，， 设，则，， 根据题意得，， 解得 ∴， ∴，． 12．求出下列各图形中x的值： 【答案】图（1）中；图（2）中；图（3）中；图（4）中 【分析】本题考查三角形内角和定理，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：图（1）中：，即； 图（2）中：，解得：，即； 图（3）中：，解得：，即； 图（4）中：，解得：，即． 13．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，将直角三角形纸片的角沿折叠，点落到纸片边缘的点处．，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据直角三角形的性质可得，再根据折叠的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴． 14．在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 【答案】的度数为；的度数为 【分析】本题考查了角平分线的定义，高线的定义，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的性质求得，，进而根据高线的定义以及三角形内角和定理求得，根据，即可求得，根据即可求得． 【详解】解：，， ， 、是的角平分线，， ，， ， 是高线， ， ， ． 15．如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解：沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 16．如图①，与相交于点，得到一个“字”． (1)求证：. (2)如图②，其中共有几个“字” (3)如图②，若，分别是，的平分线，利用（1）中的结论，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握“字”的定义是解此题的关键 （1）利用三角形内角和定理解决问题即可； （2）根据“字”的定义即可解决问题； （3）利用（1）中结论解决问题即可 【详解】（1）证明：在中，． 在中，． ， ； （2）解：如图：令、交于点，、交于点，、交于点， 由图可得：图中有“字”、“字”、“字”，“字”、“字”、“字”，共有个“字”； （3）解：在“字”中，由（1），可得． 在“字”中，由（1），可得． 由，得． 平分，平分， ，． ∴，即 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版新教材七年级下册同步教学讲义（知识梳理、题型归纳、例题讲解、过关检测） 17.1三角形的内角和 知识点导航 题型归纳 三角形的内角和 利用三角形的内角和求角的度数 设未知数列方程求角的度数 三角形的外角及其性质 利用三角形外角的性质求角的度数 利用三角形外角的性质进行计算、推理或证明 常见的导角模型 三种基本模型（8字型、A字型、燕尾型） 双角平分线的夹角模型 三角形的折叠求角模型 知识点梳理 1. 三角形的内角和 （1）三角形内角和定理：三角形内角和等于180. （2）三角形内角和定理的证明 剪拼法 平行线+内错角+同位角 平行线+内错角 2. 三角形的外角及其性质 （1）三角形外角的定义 三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形(与此内角相邻)的外角. ∠1和∠3 都是△ABC的外角， 但∠2不是△ABC的外角. （2）三角形外角的性质 ① 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. ∠ACD=∠A+∠B ∠ACD∠A，∠ACD>∠B （3）三角形的外角和：三角形的外角和等于360. 注意：在三角形的每个顶点处只能取一个外角. ∠1+∠2+∠3=360 3.常见的导角模型 （1）常见的三种基本模型 8字型 A字型 燕尾型 图形 结论 ∠A+∠B=∠C+∠D ∠B+∠C=∠ADE+∠AED ∠BOC=∠A+∠B+∠C （2）三角形中的叠角模型 不压边求角 压一边求角 压两边求角 图形 结论 ∠1+∠2=2∠A ∠1-∠2=2∠A ∠1+∠2=2∠A （3）双角平分线的夹角模型 例题讲解 【题型1】利用三角形的内角和求角的度数 例1（24-25七年级下·上海静安·月考）在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 变式1（24-25七年级下·上海静安·月考）将一块含有的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式2（24-25七年级下·上海虹口·月考）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，与交于点G，若，则的度数为 ． 【题型2】列方程求角的度数 例2（24-25七年级下·上海长宁·期末）在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 变式1（24-25七年级下·上海·月考）在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 变式2（24-25七年级下·上海·月考）在中，，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【题型3】利用三角形的外角性质求角的度数 例3（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 变式1（24-25七年级下·上海黄浦·月考）已知如图，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于　　 A． B． C． D． 变式2（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，，，则度数为（   ） A． B． C． D． 【题型4】利用三角形的外角性质进行计算、推理或证明 例4（24-25七年级下·上海浦东·月考）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 变式1（24-25七年级下·上海嘉定·月考）如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，，求的度数； (2)当，求证：． 变式2（24-25七年级下·上海徐汇·月考）【题目】如图1，根据图形填空． （1）______，______； （2）____________； 【应用】 （3）如图2，求的度数； 【拓展】 （4）如图3，若，则为______度． 【题型5】三种基本模型 例5（24-25七年级下·上海·月考）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 变式1（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 变式2（24-25七年级下·上海闵行·期中）形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型6】双角平分线的夹角模型 例6（24-25七年级下·上海闵行·月考）（20-21七年级下·上海金山·期末）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1（24-25七年级下·上海·期中）如图，、分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，那么的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 变式2（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 【题型7】三角形叠角求角模型 例7（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 变式1（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，将纸片沿折叠，则、和这三个角有什么数量关系（   ） A． B． C． D． 变式2（24-25七年级下·上海闵行·月考）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 过关检测 一、单选题 1．在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．将一副三角板按图中方式叠放，则等于（    ） A． B． C． D． 3．将一个含的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 4．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 5．已知中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．如图，中，，E、D分别在和上，点F在的延长线上，平分，，，，则的度数为（    ） A．105° B．95° C．90° D．85° 二、填空题 7．如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 8．如图，在中，，是的角平分线，则 ， ， ． 9．当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 ． 10．如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则 度（用含x、y的代数式表示）． 三、解答题 11．在，，，求，，的度数． 12．求出下列各图形中x的值： 13．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，将直角三角形纸片的角沿折叠，点落到纸片边缘的点处．，，求的度数．    14．在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 15．如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 16．如图①，与相交于点，得到一个“字”． (1)求证：. (2)如图②，其中共有几个“字” (3)如图②，若，分别是，的平分线，利用（1）中的结论，求证：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $