15.1 分式及其基本性质 课件 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

该初中数学课件围绕分式概念、有意义及值为零的条件、基本性质、约分与通分展开。通过复习导入中的行程问题、圆柱体积计算等实际情境，引导学生对比整式与分式，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以实际问题培养数学眼光，类比分数性质发展数学思维，通过典例精析强化数学语言表达。如用百米赛跑时间抽象分式概念，类比分数性质学习分式基本性质，帮助学生建立知识联系，提升抽象与推理能力，也为教师提供结构化教学资源，便于高效教学。

15.1 分式及其基本性质 1. 分式 1.了解分式的概念. 2.理解分式有意义的条件及分式值为零的条件．(重点) 3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件． (难点) 学 习 目 标 第十届田径运动会 情 境 导 入 （1）如果乐乐的速度是7米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒； （2）如果乐乐的速度是a米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒； （3）如果乐乐原来的速度是a米/秒，经过训练她的速度每秒增加了1米，那么她现在所用的时间（ ）秒. 7 100 a 100 a+1 100 填空： 1.乐乐同学参加百米赛跑. 复 习 导 入 （4）后勤老师若把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形保温桶中，水面高度为( )cm；若把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为( ). V S （5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计为 元. （8a+b） 复 习 导 入 知识点1 分式的有关概念 请将上面问题中得到的式子分类： 单项式： 多项式： 既不是单项式也不是多项式： 8a+b 整 式 问题1 8a+b 讲 授 新 课 式子： 它们有什么相同点和不同点？ 相同点 不同点 （观察分母） 从形式上都具有分数 形式， 分母中是否含有字母 分子A、分母B 都是整式 问题2 讲 授 新 课 形如 (A、B是整式，且B中含有字母)的式子， 叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母. 整式和分式统称为有理式. 理解要点： （1）分式也是代数式； （2）分式是两个整式的商，它的形式是 （其中A、B都是整式并且还要求B是含有字母的整式）. 分式的定义 讲 授 新 课 （1）分式与分数有何联系？ ②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性. 整数 整数 整式 整式 (分母含有字母） 分数 分式 类比思想 特殊到一般思想 ① 7 100 a+1 100 思 考 整数 分数 整式 分式 有理数 有理式 数、式通性 (2)既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称为什么呢？ 数的扩充 式的扩充 整式和分式统称有理式. 思 考 注意：在分式中，分母的值不能为零.如果分母的值为零，则分式没有意义.例如，在分式中，a≠0；在分式中，m≠n. 例1 下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ 解： 和 是整式， 和 是分式. 典 例 精 析 判一判：下面的式子哪些是分式？ 分式: 2 -5 5x-7 31 针 对 练 习 1.判断时，注意含有的式子，是常数. 2.式子中含有多项时，若其中有一项分母有字母，则该式也为分式，如： . 归纳总结 课 堂 总 结 1.把 a kg的盐溶在 b kg的水中，那么在 m kg这种盐水中的含盐量为 kg． 2.一辆汽车 b h行驶了a km，则它的平均速度为 km/h；已知一列火车行驶 a km比这辆汽车少用1h，则它的平均速度为 km/h． 3.已知每个人做某项工作的效率相同，m 个人做 d 天可以完成，若增加 r 人，则完成工作所需的天数为 ． 知识点2 根据实际问题列分式 讲 授 新 课 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式 中的分母应满足什么条件？ 当B=0时，分式 无意义. 当B≠0时，分式 有意义. 知识点3 分式有、无意义的条件 想一想 讲 授 新 课 已知分式 . (1) 当 x=3 时，分式的值是多少? (2) 当x=-2时，你能算出分式的值吗? 不能，当x=-2时，分式分母为0，没有意义. 当x≠-2时，分式有意义. (3)当x为何值时，分式有意义？ 当 x=3 时，分式值为 问题3 讲 授 新 课 例2 (1)当x为何值时，分式 有意义? (2)当x为何值时，分式 有意义? 解：（1）分母x－1≠0 ，即x≠1. 所以，当x≠1时，分式 有意义. （2）分母2x+3≠0 ，即x≠-. 所以，当x≠-时，分式 有意义. 典 例 精 析 例3 已知分式 有意义，则x应满足的条件（ ） A.x≠1 B.x≠2 C.x≠1且x≠2 D.以上结果都不对 解题技巧：分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零. C 典 例 精 析 （2）当x 时，分式 有意义； （1）当x 时，分式 有意义； x≠y （3）当b 时，分式 有意义； （5）当x 时，分式 有意义. （4）当 时，分式 有意义； 为任意实数 做一做 针 对 练 习 分式 的值为零应满足什么条件？ 当 A=0而 B≠0时，分式 的值为零. 注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况. 知识点4 分式值为零的条件 想一想 讲 授 新 课 解：当分子等于零而分母不等于零时, 分式的值为零， ∴当x =1时，分式的值为零. ∴ x =1， 则x2 -1=0，且x+1≠0， 例4 当x为何值时，分式的值为零? 典 例 精 析 （2）当x-2=0， 即x=2 时， 解: （1）当2x-3=0，即x=时，分式的值不存在. 例5 当x取什么值时，分式 的值. （1）不存在；（2）等于0？ 分式的值等于0. 典 例 精 析 1.下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. C 2.当a＝－1时，分式 ( ) A.没有意义 B.值等于零 C.值等于1 D.值等于－1 A 3.当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. A 随 堂 检 测 4.当x=5时，分式 的值等于零,k= . －10 5.在分式 中，当x为何值时，分式有意义？ 分式的值为零？ 解：当x≠3时，该分式有意义； 当x=-3时，该分式的值为零. 随 堂 检 测 6.某市对一段全长1500米的道路进行改造，原计划每天修x米，为了人们出行方便，结果提前10天完成任务，那么实际完成此项工程的天数是___________. 随 堂 检 测 分式的有关概念 分 式 分式有、无意义的条件 分式值为零的条件 根据实际问题列分式 课 堂 总 结 15.1.2 分式的基本性质 第1课时 分式的基本性质及约分 1.理解并掌握分式的基本性质.(重点) 2.会运用分式的基本性质进行分式的约分.(难点) 学 习 目 标 分数的 基本性质 分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变. 2.这些分数相等的依据是什么？ 1.把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？ = 相等吗？ 解： = 情 境 导 入 知识点1 分式的基本性质 思考：下列两式成立吗？为什么？ = (c≠0) (c≠0) 思 考 分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变. 即对于任意一个分数，有： 分数的基本性质 = = (c≠0) 讲 授 新 课 你认为分式与，与相等吗？ （a、m、n均不为0） 类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？ 想一想 思 考 分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 上述性质可以用式子表示为： 其中A、B、C是整式. 分式的基本性质 新 知 小 结 　例1 填空：  xxxx               　　看分母如何变化，想分子如何变化. 　　看分子如何变化，想分母如何变化. 想一想：（1）中为什么不给出x ≠0,而（2）中却给出了b ≠0? 典 例 精 析 想一想: 运用分式的基本性质应注意什么? (1)“都” (2) “同一个” (3) “不为0” 思 考 例2　不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数. 解： (1) (2) = = = = 典 例 精 析 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号. ⑴ ⑵ ⑶ 解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= 总结：要使分子与分母中不含“—”号，直接数分式中“—”号的个数，奇数个为负，偶数个为正. 针 对 练 习 想一想： 联想分数的约分，由例1你能想出如何对分式进行约分吗？ 知识点2 分式的约分 （ ） （ ） 与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的公因式. 讲 授 新 课 例3　约分： （1） ； （2） . 分析：约分的前提是要先找出分子与分母的公因式. 找公因式的方法: （1）约去系数的最大公约数； （2）约去分子、分母相同因式的最低次幂. （3）分子、分母是多项式时，要先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分. 典 例 精 析 解：（1） （2） （1） ; （2） . （公因式是4x） = [公因式是（x-2）] = 典 例 精 析 在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧： 小颖： 小明： 你对他们俩的解法有何看法？说说看！ 一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式. 议一议 合 作 探 究 注意：判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解. 知识点3 最简分式 最简分式的定义： 分子与分母没有公因式的分式称为最简分式. 思考：分式与分式有什么区别？ 思 考 例4 化简下列分式: 分析：为化简要先找出分子和分母的公因式. 解： (公因式是5abc) 注意：分式的化简结果是最简分式. 典 例 精 析 解： 分析：化简时，分子或分母若是多项式，能分解则必须先进 行因式分解，再找出分子和分母的公因式进行化简. [公因式是(x+3)] （2） = 典 例 精 析 约分: 解： 解： 针 对 练 习 （１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； （２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式． 约分的基本步骤 注意：（1）约分前后分式的值要相等；（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式；（3）约分是对分子、分母整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 新 知 小 结 2.下列各式中是最简分式的（ ） B 1.下列各式成立的是（ ） D A.= B.= C.= D.= A. B. C. D. A.扩大两倍　 B.不变　　 C.缩小　 D.缩小 3.若把分式的 x 和y 都扩大两倍，则分式的值( ) B 随 堂 检 测 4.下列各分式，哪些是最简分式？哪些不是最简分式？不是最简分式的请化简. 解:最简分式： 不是最简分式： 随 堂 检 测 解： 5.约分： 随 堂 检 测 基本性质 分式的基本性质及约分 ==(C≠0). 一找分子、分母的公因式； 二约去公因式； 三结果是最简分式. 约分 最简分式 分子与分母没有公因式的分式. 课 堂 总 结 15.1.2 分式的基本性质 第2课时 分式的通分 1. 理解最简公分母的概念；（重点） 2. 会用分式的基本性质对分式进行通分.（难点） 学 习 目 标 练一练 给下列分数进行通分： 与； 与. ==，==； ==，=. 解： 思考：如何给与进行通分呢？ 复 习 导 入 类似于分数的通分要找最小公倍数，分式的通分要先确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 试一试 找出下面各组分式的最简公分母： 最小公倍数 最简公分母 最高次幂 单独字母 知识点1 最简公分母 讲 授 新 课 省略系数1即为最简公分母 最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂，单独出现的字母或式子作为分母的一个因式. 讲 授 新 课 求下列分式的最简公分母: x(x-5)(x+5) (x+y)2 (x-y) 针 对 练 习 找最简公分母： 第一看系数；第二看字母(式子）. 分母是多项式的先因式分解，再找公分母. 分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母（叫做最简公分母）. 知识点2 分式的通分 讲 授 新 课 例1 通分： （1）最简公分母： 通分： （2）最简公分母： 通分： 解： 分析：把异分母的分式分别化为与原来的分式相等的 同分母的分式，确定最简公分母是通分的关键. 典 例 精 析 最简公分母： 解： 分析：取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，即最简公分母. 典 例 精 析 通分： 解：(1)最简公分母是2a2b2c. 解：(2)最简公分母是(x+5)(x-5). 针 对 练 习 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 约分 通分 分数 分式 依据 找分子与分母的 最大公约数 找分子与分母的公因式 找所有分母的 最小公倍数 找所有分母的 最简公分母 分数或分式的基本性质 想一想 新 知 小 结 1.分式-，的最简公分母是 （ ） A.3abc B.6abc C.6 D.3c 2.，，的最简公分母是 （ ） A.() B. C.(a+b)(a-b) D. 3.分式与的最简公分母是_______________. C B 2 随 堂 检 测 （1） ， ， ； （2） ， ， . 4.通分： 解:(1)最简公分母为 ， 所以 ， ， . 随 堂 检 测 （2） ， ， . 解：最简公分母为 ， 所以 ， . 随 堂 检 测 最简公分母的概念 分式的约分 分式的通分 课 堂 总 结 $