北京市清华大学附属中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

G23级试卷

数学

2025.12

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 设集合，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若复数的模为，则的值为（    ）.

A. 1 B.  C. 3 D.

3. 已知向量，，若，则（    ）.

A.  B.  C.  D.

4. 在等差数列中，，当取得最小值时，（    ）

A. 27 B. 18 C. 6 D. 3

5. 已知双曲线的一个焦点为，直线，则“点到直线的距离不小于1”是“直线与双曲线没有公共点”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 已知点，，，则的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，那么下列命题中假命题是

A. 既不是奇函数也不是偶函数 B. 在上恰有一个零点

C. 是周期函数 D. 在上是增函数

8. 设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于，两点，与轴交于点，点的

纵坐标为，且与的面积之比是，则（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知，曲线在点的切线都过坐标原点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 如图，在棱长为的正方体中，是线段的中点，点，满足，，其中，，则下列说法中错误的是（    ）

A. 存在，使得平面平面

B. 不存在，，使得平面平面

C. 的最小值为

D. 至少存在两个不同的点，使得平面与平面的夹角和平面与平面的夹角相等.

二､填空题共道小题，每小题分，共分.

11. 的展开式中的系数为__________.

12. 已知圆的圆心是，直线交于､两点.写出使得的面积为的一组，的值__________，__________.

13. 如图所示，鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所

示的十字立方体，其上下､左右､前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为.现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的表面积的最小值为__________，该鲁班锁的体积为__________.

14. 设，关于的方程的实根个数记为，若，则______________；已知，若存在使得，则的取值范围是______________.

15. 已知曲线：与轴交于，两点，点是上一个动点，给出下列四个结论：

①点在上；

②面积的最大值为1；

③曲线内含无数个面积大于的等腰三角形；

④至少存在个点，满足.

其中，所有正确结论的序号为__________.

三､解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.

16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求的值；

（2）给出以下三个条件：

条件①：；条件②：；条件③：.

这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：

（i）求的值；