寒假作业13 平面向量的数量积（知识回顾+基础作业+中等特训+难题拔高+链接高考）-2026年高一数学上学期寒假“承上启下”冲刺复习作业秘籍（人教A版）

寒假作业13 平面向量的数量积 知识点1 平面向量的数量积的定义及性质 （1）数量积的定义 一般地，当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（也称内积），记作，即 ． （2）数量积的性质 ① ② ，即 ③ ． 知识点2 平面向量的夹角及其公式 定义：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作，，则 叫做向量与的夹角． 注意：①当时，向量与 ； ②当时，向量与 ，记作； ③当时，向量与 ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，不是向量与的夹角．作，则才是向量与的夹角． 向量的夹角公式： . 知识点3 平面向量数量积的运算律 已知向量和实数，则 （1）交换律： ； （2）数乘结合律： ； （3）分配律： ． 注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若均为非零向量，且，但得不到． （2），因为，是数量积，是实数，不是向量，所以与向量共线，与向量共线，因此，在一般情况下不成立． （3）推论：． 知识点4 平面向量数量积中的坐标运算 若，，与的夹角为.则： （1） ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 ； （2） ，或 ； （3） ； （4）若，为非零向量，则 = . 知识点5 投影向量 向量的投影 ①定义：如图，设，是两个非零向量， ， ，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量是||cosθ. 一、@单选题 1．已知向量，，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．已知向量在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．设，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、@填空题 5．设向量和满足，，则的值为 . 6．已知向量，，若，则 . 7．已知，是夹角为的两个单位向量，，， 若，则的值为 . 三、@解答题 8．设为实数，已知向量与不共线，，，当为何值时，向量与垂直？ 9．如图所示，在边长为2的正方形中，分别是的中点， (1)求证：； (2)求的值. 四、#单选题 10．已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 11．在平行四边形ABCD中，已知，，，，则（    ） A．－9 B．－6 C．6 D．9 12．已知向量，若在方向上的投影向量模长为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 13．如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（   ） A． B．2 C． D．1 14．如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 15．在等腰直角中，斜边为的中点，为的中点.将线段绕着点旋转得到线段，则（    ） A．-2 B． C． D．-1 五、#多选题 16．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 17．在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．与的夹角为30° D． 18．已知向量，，，设，所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 19．设平面向量，，，，在方向上的投影向量为，则（    ） A．的最大值为4 B．最大值为2 C． D． 六、#填空题 20．已知向量满足，则向量与的夹角为 . 21．已知向量满足：，则在上的投影向量的坐标为 ． 22．已知为单位向量，且，则在上的投影向量为 . 七、#解答题 23．设向量满足及. (1)求的值. (2)求与的夹角的余弦值. 24．已知向量，． (1)求的值； (2)，求； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 25．已知向量，，且． (1)求； (2)求与的夹角． 26．如图，已知是边长为2的正三角形．如图，、是边的两个四等分点． (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为线段上的动点，求的最小值． 八、*单选题 27．已知向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A．3 B． C．1 D． 九、*多选题 28．如图，在平面四边形ABCD中，下列结论一定正确的是（　　　）    A． B． C． D．若，则四边形ABCD为平行四边形 29．若向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．的最大值为 十、*解答题 30．在中，已知，，，，，CM与BN相交于点P． (1)求CM的长度； (2)若，求的值； (3)求的最小值，并求此时的余弦值． 十一、单选题 31．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 32．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 33．正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 34．已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 35．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 36．已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 37．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 十二、填空题 38．已知,，求 39．已知平面向量若，则 40．已知向量，满足，，则 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业13 平面向量的数量积 知识点1 平面向量的数量积的定义及性质 （1）数量积的定义 一般地，当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（也称内积），记作，即 ． （2）数量积的性质 ① ② ，即 ③ ． 知识点2 平面向量的夹角及其公式 定义：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作，，则 叫做向量与的夹角． 注意：①当时，向量与 同向 ； ②当时，向量与 垂直 ，记作； ③当时，向量与 反向 ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，不是向量与的夹角．作，则才是向量与的夹角． 向量的夹角公式： . 知识点3 平面向量数量积的运算律 已知向量和实数，则 （1）交换律： ； （2）数乘结合律： ； （3）分配律： ． 注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若均为非零向量，且，但得不到． （2），因为，是数量积，是实数，不是向量，所以与向量共线，与向量共线，因此，在一般情况下不成立． （3）推论：． 知识点4 平面向量数量积中的坐标运算 若，，与的夹角为.则： （1） ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和 ； （2） ，或 ； （3） ； （4）若，为非零向量，则 = . 知识点5 投影向量 向量的投影 ①定义：如图，设，是两个非零向量， ， ，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量是||cosθ. 一、@单选题 1．已知向量，，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量数量积的坐标运算即可. 【详解】由题意，， ，因此. 故选：B 2．已知向量在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量的定义以及模的坐标运算公式即可得解. 【详解】由题意，所以. 故选：D. 3．设，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的定义即可求解. 【详解】因为，，， 所以由，得， 因为，所以. 故选：A. 4．已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量计算公式即可得到答案. 【详解】在上的投影向量为. 故选：A. 二、@填空题 5．设向量和满足，，则的值为 . 【答案】2 【分析】根据平面向量的模及数量积运算量即可解答. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故答案为：2 6．已知向量，，若，则 . 【答案】4 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】， 由于， 所以. 故答案为：4 7．已知，是夹角为的两个单位向量，，， 若，则的值为 . 【答案】 【分析】把代入，结合向量的运算可得答案. 【详解】由题意知，即， 即，化简可求得. 故答案为：. 三、@解答题 8．设为实数，已知向量与不共线，，，当为何值时，向量与垂直？ 【答案】 【分析】由题意可得，代入，，求解即可. 【详解】解：当向量与垂直时， 有， 即， 又，， 所以， 解得， 所以当时，与垂直. 9．如图所示，在边长为2的正方形中，分别是的中点， (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用向量的线性运算和数量积运算可判断垂直； (2) 利用向量的线性运算和数量积运算，即可求值. 【详解】（1） 由 因为正方形的边长为，所以有： ， 所以，即； （2）由， 因为正方形的边长为，所以有： ， 即 四、#单选题 10．已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量数量积的运算法则，以及投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】由， 可得，解得 则在上的投影向量为. 故选：D. 11．在平行四边形ABCD中，已知，，，，则（    ） A．－9 B．－6 C．6 D．9 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的数量积的运算，即可求得本题答案. 【详解】因为， 所以， 则， 又因为， 所以， 则， ①-②，得，即， 所以. 故选：A 12．已知向量，若在方向上的投影向量模长为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的坐标，再求出，即得解. 【详解】解：由题得， 所以， 所以在方向上的投影向量模长为，解得. 故选：B 13．如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理求出，再由平面向量的线性运算和数量积的定义求解即可. 【详解】因为，分别为，的中点，所以，， 有，所以， 分别过作，则， 所以，在直角三角形中，易得， 设， 因为D，O，F三点共线，所以，即， 故， ， 故选：D. 14．如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设，结合图形由数量积的运算率和向量加法可得. 【详解】设，． 同理， 所以联立得， 所以． 故选：B 15．在等腰直角中，斜边为的中点，为的中点.将线段绕着点旋转得到线段，则（    ） A．-2 B． C． D．-1 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】在等腰中，由斜边，得，而为的中点，为的中点， 则，所以. 故选：D 五、#多选题 16．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用向量的坐标运算，求向量的夹角判断A；验证向量是否共线判断B；求向量的模判断CD. 【详解】A，由题知，则，A正确； B，，因为，所以向量与不平行，B错误； C，，，，C正确； D，，，所以，D正确. 故选：ACD 17．在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．与的夹角为30° D． 【答案】AD 【分析】建立平面直角坐标系，求出，，，四点坐标，利用坐标进行向量的坐标运算即可求解. 【详解】以点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系， 在平面直角坐标系下，，,，， 所以,， ，， 由于，所以，A正确； 根据投影向量的定义，结合图象，在方向上的投影向量为，B错误； ， 所以与的夹角不是为30°，C错误； ，则，D正确． 故选：AD 18．已知向量，，，设，所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由两边平方，将条件代入可得，再由可得，再求出，从而可对各个选项作出判断，得到答案. 【详解】向量，， 由，可得， 即，解得，所以A正确； ，所以， 又，所以，所以C正确，D不正确； ，则，故B正确. 故选：ABC. 19．设平面向量，，，，在方向上的投影向量为，则（    ） A．的最大值为4 B．最大值为2 C． D． 【答案】AC 【分析】设与的夹角为，则由数量积的公式可得，，当为锐角时，，即可判断A，C ，D，由向量的求模公式可得即可判断B. 【详解】设与的夹角为， 对于选项A，，因为，所以，即的最大值为4，故选项A正确. 对于选项B，， 所以最大值为，故选项B错误. 对于选项C，因为在方向上的投影向量为，所以与的夹角为或，， 所以，即，故选项C正确. 对于选项D，当为锐角时，，，， 故选项D错误. 故选：AC 六、#填空题 20．已知向量满足，则向量与的夹角为 . 【答案】 【分析】由两边平方得，利用数量积的定义可求向量与的夹角. 【详解】∵，∴， 由得，，∴， ∴，∴， 由得，，即向量与的夹角为. 故答案为：. 21．已知向量满足：，则在上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解． 【详解】由得， 又，所以，所以， 所以在上的投影向量的坐标为． 故答案为：． 22．已知为单位向量，且，则在上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据投影向量的概念由数量积公式计算即可. 【详解】由，平方可得，则， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 七、#解答题 23．设向量满足及. (1)求的值. (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求得，结合展开化简即可求解； （2）由定义得，化简即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以； （2）设与的夹角为， 因为， 所以与的夹角的余弦值为. 24．已知向量，． (1)求的值； (2)，求； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1)5； (2)； (3) 【分析】（1）求出的坐标，再求出模即可； （2）求出和的坐标，再由，得到关于的方程，求解即可； （3）由向量与的夹角为锐角，得到且与不共线，从而建立关于的不等式关系，求解即可. 【详解】（1）由，知，所以． （2）由，知,, 因为， 所以，解得： （3）由题可得，，由已知有与的夹角为锐角， 故即是要且与不共线． 从而命题等价于，即，所以的取值范围是． 25．已知向量，，且． (1)求； (2)求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据转化为，进而可得，故，即可得； （2）由数量积的坐标运算公式求向量的夹角. 【详解】（1）因为向量，，所以， 由得，解得，所以． 又，所以． （2）设向量与向量的夹角为，因为，， 所以． 又，所以，即向量与向量的夹角是． 26．如图，已知是边长为2的正三角形．如图，、是边的两个四等分点． (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】（1）以、为基底表示出，代入原式根据数量积的定义及运算法则进行计算即可. （2）利用平面向量基本定理列方程组进行求解. （3）由平面向量数量积的运算，结合二次函数的最值的求法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以         . （2）设，则， 所以，解得. （3）记， ， 设， 则，， ，， 所以当，即时，取得最小值，为. 八、*单选题 27．已知向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由，平方得到，再结合数量积的定义得到求解即可. 【详解】因为，所以，又，所以 所以， 所以，所以， 所以（是向量与的夹角）. 所以， 所以， 所以， 所以的最大值为3. 故选：A. 九、*多选题 28．如图，在平面四边形ABCD中，下列结论一定正确的是（　　　）    A． B． C． D．若，则四边形ABCD为平行四边形 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算及数量积的运算律，逐项计算判断即可得解. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，由选项A知，， 则，B错误； 对于C， ，C正确； 对于D， ，而， 因此，即，四边形ABCD为平行四边形，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：向量数量积，合理利用数量积的运算律是求解问题的关键. 29．若向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】由题意可得，，对于A，利用向量的夹角公式即可判断；对于B，利用基本不等式，结合即可判断；对于C，利用向量的夹角公式可得，再结合即可判断；对于D，利用即可判断. 【详解】因为， 所以①， 因为， 所以②， 得，，即. 对于A，因为， 所以由①得，，解得， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以， 因为， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 又因为， 所以， 所以， 综上，，故B正确； 对于C，由，得， 因为， 所以，， 可得，或 解得，或，故C错误； 对于D，由，得， 因为， 所以，则， 所以的最大值不是，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了向量的数量积及夹角的计算，解题的关键是由，解得，并用数量积表示向量夹角. 十、*解答题 30．在中，已知，，，，，CM与BN相交于点P． (1)求CM的长度； (2)若，求的值； (3)求的最小值，并求此时的余弦值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，的余弦值为 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，再根据平面向量的数量积的运算律求解即可； （2）根据平面向量共线的推论，可得，进而根据平面向量的数量积的运算律求解即可； （3）根据平面向量的线性运算及数量积的运算律，可得，即可得到时，取得最小值，进而得到，，进而根据平面向量的数量积的运算律及夹角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，则， 则， 则，即CM的长度为. （2）当时，， 由于三点共线，则存在实数， 使得， 由于三点共线，则存在实数， 使得， 所以，解得， 则， 则 . （3）由，，， 则，， 所以 ， 则时，取得最小值. 此时，， 则，， 所以 ， ， 由（1）知，， 所以. 十一、单选题 31．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 32．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 33．正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 34．已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 35．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 36．已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 37．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 十二、填空题 38．已知,，求 【答案】4 【分析】 由平面向量数量积的坐标运算求解. 【详解】由题意得 故答案为：4 39．已知平面向量若，则 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 40．已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $