寒假作业09 三角函数概念与诱导公式（知识回顾+基础作业+中等特训+难题拔高+链接高考）-2026年高一数学上学期寒假“承上启下”冲刺复习作业秘籍（人教A版）

寒假作业09 三角函数概念与诱导公式 知识点1 特殊角的三角函数值 知识点2 同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 知识点3 三角函数的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 一、@单选题 1．若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用扇形的面积、弧长公式求圆心角的弧度即可. 【详解】令扇形的圆心角的弧度数为，半径为，则，即， 又，故. 故选：A 2．在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边过点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合三角函数定义式，及同角三角函数关系式在齐次式中的应用可得解. 【详解】由已知得， 则， 故选：C. 二、@多选题 3．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据诱导公式逐一进行判断即可. 【详解】对于A, ，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：ABC. 4．已知,且和是方程的两个实数根,则=（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】解出方程的两根,再将所求式子同除变成的式子即可. 【详解】解方程得或; 分子分母同时除以得; 当时,, 当时,. 故选：. 三、@填空题 5．已知某扇形的半径为，圆心角为2，则该扇形的弧长为 ，该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用扇形弧长公式和面积公式求解. 【详解】扇形的半径，圆心角为， 则该扇形的弧长，该扇形的面积. 故答案为：；. 6．如图所示，角的终边与单位圆（圆心在原点，半径1）交于第二象限的点，则 ． 【答案】/ 【分析】由三角函数的定义可得答案. 【详解】由三角函数定义可知． 故答案为： 四、@解答题 7．设角α的终边经过下列各点，求角α的正弦函数值、余弦函数值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正弦函数值为，余弦函数值为 (2)正弦函数值为，余弦函数值为 (3)正弦函数值为，余弦函数值为 (4)正弦函数值为，余弦函数值为 【分析】利用三角函数的定义进行求解. 【详解】（1）由三角函数定义可知，； （2）由三角函数定义可知，； （3）由三角函数定义可知，； （4）由三角函数定义可知， 8．如图，在平面坐标系xOy中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再利用同角三角函数关系结合角的范围，求出； （2）在第一问的基础上，代入求解即可. 【详解】（1）由题知，，因为， 所以，又为第二象限角， 所以，即 （2）. 五、#单选题 9．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出小轮每分钟转的圈数和小轮每秒钟转的弧度数，从而求出弧长. 【详解】大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈， 故小轮每分钟转的圈数为， 因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是． 故选：B． 10．若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】由得，从而，所以，所以. 六、#多选题 11．若，则正确的结论为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意由商数关系以及平方关系依次得，，由此即可得解. 【详解】依题意，，， 所以，将代入得， ，，，所以AC选项正确，BD选项错误． 故选：AC. 七、#填空题 12．已知，则 . 【答案】2 【分析】由诱导公式可求出正切值，分子分母同除即可求解. 【详解】由诱导公式可得：，即， . 故答案为：. 13．已知角的终边经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据终边上的点可得，再应用诱导公式及同角三角函数的关系化简求值. 【详解】由角的终边经过点，则 . 故答案为： 14．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则 ， ． 【答案】 【分析】根据角终边经过点，从而可求出，，再根据角的终边与角的终边关于原点对称，从而可求解. 【详解】对空：由点在角的终边上，所以，. 对空：由角的终边与角的终边关于原点对称，所以. 故答案为：；. 15．已知，则 ． 【答案】 【分析】先由已知等式得到，再由同角的三角函数关系和平方关系化简即可； 【详解】则， 故答案为：. 八、#解答题 16．已知. (1)若，则的值； (2)若x为三角形的内角，则的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对两边平方，求出，再求出，根据角所在象限，即可求解. （2）根据平方关系，即可求得，根据角的象限，即可判断，继而求出. 【详解】（1）因为, 即所以, 所以， 又，故所以， 所以. （2）联立, 消去得， 即，又，所以， 解得:或(舍去). 所以， 所以. 17．如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，并与单位圆交于点． (1)求点的坐标； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由三角函数定义，根据题中条件，用表示出，，，，由同角三角函数基本关系，即可求出点的坐标； （2）根据同角三角函数基本关系，求出，再利用诱导公式对式子进行化简，再代值计算即可． 【详解】（1）由得，， 又，所以， 由题可知，所以， ， 所以点的坐标为． （2）由（1）可知． 所以 ． 18．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）去掉根号，化简得到； （2）在（1）基础上，得到，所以； （3）计算出，根据诱导公式得到，，得到答案. 【详解】（1）式子中有根号，先考虑去根号， ． （2）由，可得， 所以． （3）当时，， 所以，所以， 于是， ， 所以． 19．已知角的终边在直线上． (1)求及的值； (2)若函数，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）根据三角函数的定义即可得解； （2）根据诱导公式化简函数，结合（1）就可求解； 【详解】（1）设为直线上除去原点的任意一点， 则， 若角的终边在第四象限，则 ； 当角的终边在第二象限，则 . （2） ， 或. 九、*单选题 20．已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用题目中角度之间的关系将方程变形，再利用消元法用来表示和的值，化简可求得的值. 【详解】，， ， 设，则， 原方程组可表示为，即， 由①得，由②得， 两式联立得，， 将的值代入中得，， 则. 故选：D. 21．设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】根据题意可知，当时，，此时； 又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有1011个元素； 当时，易知 又易知，所以可得 ， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果. 十、*多选题 22．已知定义在R上的函数，满足是奇函数，且是偶函数.则下列命题正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由是奇函数，利用奇函数的定义得到，计算得到①，由是偶函数，利用偶函数的定义得到②，联立①②可得，分别求解选项即可得解. 【详解】是奇函数，，，①， 是偶函数，， ，②， 联立①②可得，， 选项A，，故选项A正确； 选项B，，故选项B正确； 选项C，， ，此时不恒等于，故选项C错误； 选项D，，， ，故选项D正确. 故选：ABD. 十一、*解答题 23．如图，矩形中，，点分别在线段（含端点）上，为的中点，，设. (1)求角的取值范围； (2)求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值. 【答案】(1) (2)；当时，的周长取得最小值为 【分析】（1）由图形可知当点位于点时，角取最大值，当点位于点时，角取最小值，求解即可. （2）结合图形中的直角三角形，利用三角函数和勾股定理，把的三条边用角表示，可求出，再利用换元法，通过函数单调性求最小值. 【详解】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，此时， 因为，所以， 当点位于点时，由对称性知取最大值，角取最小值， 所以角的取值范围是. （2）在直角中，， 在直角中，且，所以， 在直角中，由勾股定理得，， 因为，所以，所以， 所以， 令，因为，所以， 又由， 可得，且在上单调递减， 当时，，此时，即， 综上，当时，的周长取得最小值，最小值为. 【点睛】易错点睛：平面几何与三角函数结合的题目，在三角函数这一部分，要注意角的取值范围，要与几何图形表示的结果相一致，特别是求范围和最值的内容. 24．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． (1)类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； (2)判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)奇函数， (3)． 【分析】（1）利用、的表示式分别化简计算即可得 ； （2）根据的表达式，利用奇偶性的定义判断为奇函数，再将其解析式化成，利用函数的单调性即可求其值域； （3）将题设不等式恒成立等价转化成在上恒成立，继而只需求在上的最大值，通过整理换元，利用函数的单调性即可求得其最大值，即得参数范围. 【详解】（1）由题意，； . （2）因，， 则对于，，是奇函数； 又， 因在上单调递增且为正，故在上单调递减， 则在是增函数， 由，得故得， 即的值域为. （3）由题意可知在上恒成立， 整理得在上恒成立 令， 则， 令，由，可得，，即得， 则，， 因函数在上递增，在上递减，故， 依题意，，即m的取值范围为． 十二、单选题 25．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 26．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业09 三角函数概念与诱导公式 知识点1 特殊角的三角函数值 知识点2 同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 知识点3 三角函数的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 一、@单选题 1．若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边过点，则等于（   ） A． B． C． D． 二、@多选题 3．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知,且和是方程的两个实数根,则=（    ） A． B． C． D． 三、@填空题 5．已知某扇形的半径为，圆心角为2，则该扇形的弧长为 ，该扇形的面积为 ． 6．如图所示，角的终边与单位圆（圆心在原点，半径1）交于第二象限的点，则 ． 四、@解答题 7．设角α的终边经过下列各点，求角α的正弦函数值、余弦函数值： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．如图，在平面坐标系xOy中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为. (1)求的值； (2)求的值. 五、#单选题 9．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（　　） A． B． C． D． 10．若，则（    ） A． B． C． D．2 六、#多选题 11．若，则正确的结论为（    ） A． B． C． D． 七、#填空题 12．已知，则 . 13．已知角的终边经过点，则 ． 14．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则 ， ． 15．已知，则 ． 八、#解答题 16．已知. (1)若，则的值； (2)若x为三角形的内角，则的值. 17．如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，并与单位圆交于点． (1)求点的坐标； (2)求的值． 18．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值． 19．已知角的终边在直线上． (1)求及的值； (2)若函数，求的值． 九、*单选题 20．已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 21．设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 十、*多选题 22．已知定义在R上的函数，满足是奇函数，且是偶函数.则下列命题正确的有（   ） A． B． C． D． 十一、*解答题 23．如图，矩形中，，点分别在线段（含端点）上，为的中点，，设. (1)求角的取值范围； (2)求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值. 24．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． (1)类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； (2)判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 十二、单选题 25．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26．已知，则（    ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $