寒假作业12 平面向量的概念与线性运算（知识回顾+基础作业+中等特训+难题拔高+链接高考）-2026年高一数学上学期寒假“承上启下”冲刺复习作业秘籍（人教A版）

寒假作业12 平面向量的概念与线性运算 知识点1 平面向量的定义与表示 （1）向量：在数学中，我们把既有 大小 又有 方向 的量叫做向量． （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： 起点 ， 方向 ， 长度 ． ②表示方法： 向量可以用 有向线段 表示，向量的大小称为向量的 长度 (或称模)，记作 || .向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. 知识点2 平面向量的有关概念 (1)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (2)单位向量：长度等于1个单位的向量． (3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点3 平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 减法 求与的相反向量的和的运算 三角形 法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向 相同 ；当时，的方向与的方向 相反 ；当时， 知识点4 平面向量线性运算的运算律 1.向量加法的运算律 （1）交换律： ． （2）结合律： ． 2.向量减法的运算律 几何意义：可以表示为从向量的 终点 指向向量的 终点 的向量． 定义：，即减去一个向量相当于加上这个向量的 相反 向量． 3.与，之间的关系 (1)对于任意向量，，都有 ； (2)当，共线，且同向时，有 或 ； (3)当，共线，且反向时，有 ． 4.数乘运算律 一般地，设，是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： （1）对实数加法的分配律： ． （2）对实数乘法的结合律： ． （3）对向量加法的分配律： ． 知识点5 平面向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在 唯一一个 实数，使 ． 给定四点，其中为不共线的三点，且，则三点共线的充要条件是 ． 知识点6 平面向量基本定理 条件 ，是同一平面内的两个 不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使 基底 若，不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 知识点7 平面向量的坐标表示 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量都可用从原点出发的有向线段表示．原点到，的向量，分别是轴正方向和轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，则的坐标 视为在这组基下的坐标，等于向量终点的坐标． 知识点8 平面向量线性运算的坐标表示 已知，，则： （1） ， ， 即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． （2）若点A坐标为，点B坐标为，O为坐标原点， 则 ， ， ，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． (3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标 ； (4)设向量，则 ． (5)中点坐标公式：若的坐标分别为，，线段的中点P的坐标为，则 知识点9 平面向量平行（共线）的坐标表示 设，，其中．向量，共线的充要条件是 ． 一、@单选题 1．下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量； （2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的； （3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数； （4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量. 故选：A. 2．已知平面向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行求得，应用向量线性关系的坐标运算求目标式的坐标. 【详解】由题设，则， 所以. 故选：C 二、@多选题 3．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABD 【分析】根据向量基底的定义逐一分析即可判断. 【详解】对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确； 对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确； 对于：由，可得， 所以和共线，故不能作为基底，故错误； 对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确. 故选：. 4．下列命题中不正确的有（    ） A．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； B．单位向量都相等； C．任一向量与它的相反向量不相等； D．共线的向量，若起点不同，则终点一定不同． 【答案】ABCD 【分析】根据共线向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，若向向量与是共线向量，则，或A,，，在同条直线上，故A错误； 对于B，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故B错误； 对于C，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故C错误； 对于D，比如共线的向量与(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故D错误. 故选：ABCD． 三、@填空题 5．已知向量 则 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】 , 故答案为： 6．已知向量．若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算和向量共线的坐标形式得到方程，解出即可. 【详解】因为，所以. 又，所以，解得. 故答案为：. 7．已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，将转化为坐标，利用坐标对应相等即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为点，， 所以，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为 故答案为： 8．如图，在平行四边形ABCD中，，，，则 .    【答案】 【分析】利用向量的线性运算将用表示，然后根据系数相等求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以，所以. 故答案为：. 9．已知向量，，若非零向量与共线，其中、，则等于 . 【答案】/ 【分析】求出向量与的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得的值. 【详解】因为向量，，则， ， 因为非零向量与共线，则， 若时，则，不合乎题意，所以，且， 由可得. 故答案为：. 四、@解答题 10．设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据向量的运算法则，可得. （2）解：根据向量的运算法则， 可得. （3）解：根据向量的运算法则， 可得. 11．（1）已知向量，，若，求k的值； （2）已知，判断与是否共线?如果共线，它们的方向相同还是相反? 【答案】（1）；（2）共线，相同. 【分析】（1）计算出，由平行关系得到方程，求出k的值； （2）计算出，从而得到，得到答案. 【详解】（1）， ， 因为，所以，解得. （2）因为， ， 因为，所以，所以与共线. 又，所以与的方向相同. 12．已知，是同一平面内的两个向量，其中， (1)若，求在上的投影向量； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据投影向量的定义即可结合数量积求解， （2）根据数量积的性质，结合共线即可求解. 【详解】（1）由，所以， 在上的投影数量为， 故在上的投影向量为 （2）， 当时，则存在唯一的实数使得，解得，故当时，与共线，且方向相同，此时夹角为0， 综上可知：与的夹角为锐角时，且 13．已知向量，，点，若 (1)求与向量方向相同的单位向量的坐标； (2)求点M的坐标； (3)若点满足，求y与的值. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用，即可求解. （2）由，可得，进而可求得的坐标； （3）利用向量相等即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 与向量方向相同的单位向量； （2）因为，所以， 整理得， 因为点，所以； （3）因为，所以，所以， 即，所以， 解得， 五、#单选题 14．四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 15．是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）． A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由A，B，D三点共线，则存在实数，使，用表示后，由向量相等可得． 【详解】因为，，， 则， 又A，B，D三点共线， 故存在实数，使，即， 则，解得． 故选：A． 16．如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为即，点为的中点， 所以， 所以. 故选：D. 六、#填空题 17．已知，若的坐标为 ． 【答案】 【分析】 根据平面向量线性运算的坐标表示进行计算即可. 【详解】因为， 所以, 则, 又, 则, 故答案为：. 18．如图，在中，、分别是边、的中点，是边上的点，且，，若，则 ， .    【答案】 / / 【分析】由已知可得，，设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的两种表达式，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可出、的值. 【详解】因为为的中点，则， 因为是边上的点，且，则， 因为、、三点共线，设，即， 所以，， 因为为的中点，则， 因为、、三点共线，设， 又因为、不共线，则，解得， 所以，，所以，. 故答案为：；. 七、#解答题 19．已知向量． (1)若三点共线，求的值； (2)若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，由三点共线，可得. （2）由，，若四边形为矩形，求解．即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以，． 又三点共线，所以，所以， 解得． （2）由 ， 若四边形为矩形，则．即， 解得． 由，得 解得．所以． 20．如图，在梯形ABCD中，，O为AC与BM的交点. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线性运算可得，，结合数量积的定义和运算律分析求解； （2）由数量积的运算律结合（1）中结论可得，进而可求，，结合向量夹角运算求解. 【详解】（1）由题意可知：，， 可得则，， 若，则， 所以. （2）由（1）可知：，， 且， 可得， 则，即， ，即， 所以. 21．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于． (1)用和表示； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件可得，，再结合向量的加减法和平面向量基本定理可求得结果； （2）由题意可得，再结合和三点共线，可求出，从而可证得结论. 【详解】（1）， ， 又为上靠近的三等分点， ， ； （2）交于，， 由（1）知． ． 三点共线， ，解得， ． 即 22．如图所示，在中，，，，.    (1)试用向量，来表示，； (2)若，求证：D，O，N三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据几何关系，结合图象以及向量的运算法则，即可表示出，； （2）根据已知可推得，然后根据向量的运算即可得出，进而得出证明. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. 因为， 所以， 所以. （2）因为，所以， 则， ， 所以，即证D，O，N三点共线. 23．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合），设，    (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时的值. 【答案】(1) (2)时，的最小值. 【分析】（1）结合向量的线性运算，根据平面向量基本定理列式求解； （2）结合（1）的结论，利用基本不等式常数代换技巧求解最值即可. 【详解】（1）如图所示，延长交于，已知点是的重心， 故为中点，所以，    所以， 所以，①. 因为三点共线，设，即， ②， 由①②得， 所以，即. （2）由题意可知，且. 所以， 当且仅当，即时取等号， 又因为，所以时，的最小值. 八、*解答题 24．在的边上分别取点，使，，设线段与交于点，记，用表示向量． 【答案】 【分析】根据向量共线定理计算得到答案. 【详解】因为共线，记，则， 所以①， 同理，记，所以②， 由①，②得， 所以． 25．如图，在中，，点为和的交点，设． (1)若，求的值； (2)若在上，，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用平面向量线性运算，用基底表示，根据平面向量基本定理求出系数即可求解； （2）利用平面向量线性运算，用基底表示，根据得到，从而得到系数与夹角的关系式，利用三角函数的值域确定系数的范围. 【详解】（1）由题意，因为，所以. 设， 则，即, ，即， 所以，解得，所以， 所以. （2）由（1）可知，所以. 设，与的夹角为，其中， 则 ， 而， 因为，所以, 即， 因为，所以， 解得. 因为，所以，即，解得. 所以的取值范围是. 26．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据向量的线性运算化简求解即可； （2）设，利用向量的共线求出即可得解； （3）令，利用向量基本定理可得的关系，转化为关于的二次函数求最值即可得解. 【详解】（1）依题意， ， ； （2）因交于，由（1）知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即； （3）由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又不共线，则有，得， 因为， 所以在上递增， 所以，故的取值范围是． 九、单选题 27．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，根据平面向量的线性运算依次判断选项即可. 【详解】如图，在平行四边形中，且， A：，故A正确； B：，故B正确； C：由，得，故C错误； D：，故D正确. 故选：C 28．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，再由，即可得到答案. 【详解】由于是边上的中点，则. . 故选：B. 29．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】连结，则为的中位线， ，    故选：A 十、填空题 30．已知，，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】根据向量的平行关系求解即可． 【详解】由题意可知，，则， 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业12 平面向量的概念与线性运算 知识点1 平面向量的定义与表示 （1）向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量． （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： ， ， ． ②表示方法： 向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. 知识点2 平面向量的有关概念 (1)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (2)单位向量：长度等于1个单位的向量． (3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点3 平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 加法 求两个向量和的运算 法则 法则 减法 求与的相反向量的和的运算 法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向 ；当时，的方向与的方向 ；当时， 知识点4 平面向量线性运算的运算律 1.向量加法的运算律 （1）交换律： ． （2）结合律： ． 2.向量减法的运算律 几何意义：可以表示为从向量的 指向向量的 的向量． 定义：，即减去一个向量相当于加上这个向量的 向量． 3.与，之间的关系 (1)对于任意向量，，都有 ； (2)当，共线，且同向时，有 或 ； (3)当，共线，且反向时，有 ． 4.数乘运算律 一般地，设，是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： （1）对实数加法的分配律： ． （2）对实数乘法的结合律： ． （3）对向量加法的分配律： ． 知识点5 平面向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在 实数，使 ． 给定四点，其中为不共线的三点，且，则三点共线的充要条件是 ． 知识点6 平面向量基本定理 条件 ，是同一平面内的两个 结论 对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使 基底 若，不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 知识点7 平面向量的坐标表示 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量都可用从原点出发的有向线段表示．原点到，的向量，分别是轴正方向和轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，则的坐标 视为在这组基下的坐标，等于向量终点的坐标． 知识点8 平面向量线性运算的坐标表示 已知，，则： （1） ， ， 即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． （2）若点A坐标为，点B坐标为，O为坐标原点， 则 ， ， ，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． (3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 ； (4)设向量，则 ． (5)中点坐标公式：若的坐标分别为，，线段的中点P的坐标为，则 知识点9 平面向量平行（共线）的坐标表示 设，，其中．向量，共线的充要条件是 ． 一、@单选题 1．下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知平面向量，且，则（    ） A． B． C． D． 二、@多选题 3．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．下列命题中不正确的有（    ） A．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； B．单位向量都相等； C．任一向量与它的相反向量不相等； D．共线的向量，若起点不同，则终点一定不同． 三、@填空题 5．已知向量 则 . 6．已知向量．若，则实数的值为 ． 7．已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 8．如图，在平行四边形ABCD中，，，，则 .    9．已知向量，，若非零向量与共线，其中、，则等于 . 四、@解答题 10．设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 11．（1）已知向量，，若，求k的值； （2）已知，判断与是否共线?如果共线，它们的方向相同还是相反? 12．已知，是同一平面内的两个向量，其中， (1)若，求在上的投影向量； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 13．已知向量，，点，若 (1)求与向量方向相同的单位向量的坐标； (2)求点M的坐标； (3)若点满足，求y与的值. 五、#单选题 14．四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 15．是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）． A．3 B． C． D．2 16．如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 六、#填空题 17．已知，若的坐标为 ． 18．如图，在中，、分别是边、的中点，是边上的点，且，，若，则 ， .    七、#解答题 19．已知向量． (1)若三点共线，求的值； (2)若四边形为矩形，求的值． 20．如图，在梯形ABCD中，，O为AC与BM的交点. (1)若，求； (2)若，求. 21．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于． (1)用和表示； (2)求证：． 22．如图所示，在中，，，，.    (1)试用向量，来表示，； (2)若，求证：D，O，N三点共线. 23．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合），设，    (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时的值. 八、*解答题 24．在的边上分别取点，使，，设线段与交于点，记，用表示向量． 25．如图，在中，，点为和的交点，设． (1)若，求的值； (2)若在上，，且，求的取值范围． 26．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 九、单选题 27．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 28．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 29．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ）    A． B． C． D． 十、填空题 30．已知，，，则k的值为 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $