寒假作业11 三角恒等变换（知识回顾+基础作业+中等特训+难题拔高+链接高考）-2026年高一数学上学期寒假“承上启下”冲刺复习作业秘籍（人教A版）

鬼假作业 HANJIAZUOYE 寒假作业11三角恒等变换 知设回顶 知识点1正弦的和差公式 sin(a+B)=sin a cos B+cosa sin B sin(a-B)=sin a cos B-cosa sin B 知识点2余弦的和差公式 cosla+B)=cosa cos B-sin a sin B cosa-B)=cosa cosB+sina sin B 知识点3正切的和差公式 tan(a+B)=tana+tan B 1-tan a tan B tan(a-B)=tana-tanp 1+tana tan B 知识点4正弦的倍角公式 1 sin2a=2 sin a cosa→ sin cos=sin 2a 知识点5余弦的倍角公式 cos2a cos2a-sin2a=(cosa +sina)(cosa-sina) 升幂公式：cos2a=1-2sin2a,cos2a=2cos2a-1 sina1-cos2a cos'a-1+cos2a 降幂公式： 2, 2 知识点6正切的倍角公式 tan 2a= 2tan a 1-tan2a 知识点7推导公式 (sin a +cosa)+(sin a-cosa)2=2 1/29 鬼假作业 ANJIAZUOYE 知识点8辅助角公式 b y=asinx+bcosx (a>0)y=Ja2+b2sin(x+o) tan = a 其中 基仙作亚 一、@单选题 1.sin音-() 1 5 √6-√2 √6+√2 A. B.2 C.4 D.4 【答案】C 【分析】由sin 12 =sin(2- 3 ④，结合两角差的正弦公式，结合特殊角的三角函数值，进行计算，即可求解 【详解】由sin π 元nπ3212_6-2 12 n(=sin cos =sin( 34 4-cos "sin 342222 4 故选：C 2.若tan8=-2,则cos28=() B. c D. 5 【答案】A 【分析】由余弦二倍角公式和同角的三角函数关系计算即可. 【详解】cos20=cos20-sin20=cos20-sin20=1-tan20_1-43 cos20+sin20 1+tan20 1+4 5' 故选：A 二、@多选题 3.下列等式中正确的是() 2/29 鬼假作业 HANJIAZUOYE 1 A. sin15°cos15°= 4 2sin'2.50-1=V2 tan71°-tan26o C.1+tan71°tan26° =1 D.sin26°cos34°+cos26°sin34°=5 【答案】AC 【分析】A选项，逆用正弦倍角公式进行求解；B选项，逆用余弦二倍角公式计算：C选项，逆用正切差角 公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算， 【详解】A选项，sin15cos15°=in30°= 4,A正确： ，B错误 B选项，2sim22.5°-1=-cos45°=-V2 tan71°-tan26° C选项， 1+tan71°tan26° =tan71°-26)=tan45°=1，C正确： sin26°cos34°+cos26°sin34°=sin26°+34°)=sin60°= 5 D选项， 2,D错误 故选：AC 4.下列各式中，值是2的是() A. cosx cos x++sin xsin+ B tanl0°+tan35°+tanl0°tan35 tan 22.5 2-c0s220° C. 1-tan222.5o D. 3-sin50° 【答案】ACD 【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，二倍角公式即可逐个选项判断. =cos- π1 3 2,A正确： tanl0°+tan35°+tanl0°tan359 =tan(10°+35)(1-tanl0°tan35）+tanl0°tan35 3/29 鬼假作业 HANJIAZUOYE =tan45°=1，B不对； 21-tan22.5。an45°= tan22.5°12tan22.5°1 1-tan222.5° ,C正确： 31 2-c0s220° c0s40° 22 13-sin50) 3-sin50° 3-sin50° 3-sin50° 故选：ACD 三、@填空题 5.若tanu=3,tanB=5,则tan(a-B)的值为 【答案】-8/-0.125 【分析】根据给定条件，利用差角的正切公式计算得解. tana-tan B 3-5 1 【详解】由ama=3”anB=5得ana-B)= 1+tan a tan B 1+3×5 8 故答案为：8 25 cOSQ= 6.已知0<<π， ,则aa+孕 【答案】3 【分析】利用同角的三角函数的关系可求得tana,进而利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】由cosa= 5,0<a<,可得ina=V-cos'a=5 V5 5, tand+tan n4_tana+1=3 所以 ana sin&-1,所以tan(a+乃= π1-tana cosa 2 4 1-tan a tan 4 故答案为：3. 四、@解答题 7.求下列各式的值： 4/29 鬼假作业 ANJIAZUOYE (1)cos20cos40°-sin20°sin40°， (2)sin5cos40°+sin85sin40° 1 【答案】(1)2 @号 【分析】(1)(2)利用两角和（差）的余弦公式得解. 【详解】(1)原式=c0s(20°+40)=cos60°=1 2 2)原式=c0s859cos40°+sin85sin400=c0s850-409=os45°sV2 2 osa-2sina 8.(1)已知tana=-2,求 osa+sina的值； (2)求tan20°+tan25°+tan20°tan25°的值. 【答案】(1)-5；(2)1. 【分析】(1)在目标式中，将弦化切求值即可： (2)由an(20°+25)=tan450 及和角正切公式，即可求值， cosa-2sina_1-2tama-4-5: 【详解】(1)因为tana=-2,所以cosa+sia=1+tana1-2 (2):tan(20°+25)= -tan20°tan250=tan45°=1， tan20°+tan25° ∴.1-tan20°tan25°=tan20°+tan25°， ∴.tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1 中置特训 五、#单选题 1 B.-2 C. 1 D.3 5/29 鬼假作业 HANJIAZUOYE 【答案】B 【分析】先换元，再结合诱导公式应用二倍角公式计算即可. 【详解】令0=牙+a,得a=0-子，即s如0-5 m语-a)s语-20-刃-m经20小w2012m0= 故选：B. 0a,B∈0， 10.已知 sina=cosB,tana=3tan B,sin(a-B)=() B. c.v 2 【答案】B 【分析】由a,P∈0， sina cos B' 得α+P=乃，再将正切变成正弦和余弦，化简并结合同角三角函 数的基本关系可求解出cos2α，再利用二倍角关系求解即可. 【详解】由a,B∈0，乃 sina=cosB,得a+B=T 2 sina 3sin B 又由tan&=3tanB,得 osacossin'a3cosa 1 1 所以cos2a= sin(a-B)--cos2a=1-2cosa- 故选：B. 11.我国国旗的图案由一大四小五颗五角星组成，如图，己知该五角星的五个顶点构成正五边形的五个顶 点，则coscos(元-B)=（) 6/29 鬼假作业 ANJIAZUOYE 1 A.cos18' B.c0s236 C.2 D.4 【答案】D 【分析】由图可得B=交，。-子，后由二信角公式可得答案 【详解】由中间的五边形内角和5B=5-2江，则B-行，又由图可得，五角星五个镇顶角都为。· π 两个a与一个B为同一个等腰三角形的内角，可得2a+B=元，则a=5, cosacos(B)-cocos 3π 2sinπ。 05= 51 5 5 2sinπ 2sinπ π4 4sin 故选：D. 六、#填空题 12.若0<a<π' cosa=- 6 6 6 【答案】3 【分析】由条件结合二倍角公式可得 2 -6sm号6=0，解方程可求m号 2 2，再结合a的范围排 除增解可得结论 in 6 【详解】因为cosa=- 6 2 cosa=1-2 sin 2 7/29 鬼假作业 ANJIAZUOYE =-6sin a 6sin 2, -v6sin <-6=0 所以4sm+63号-6)-0。 所以sn&=-V6 a 6 sin- 4或23， 因为0<a<元' 22,故sing>0, 所以0<<π 2 6 故答案为： 3 【答案】 4V5 9 【分析】根据和差角公式以及辅助角公式可得 6)3,即可利用二倍角余弦公式求解 .π 41 cos 2a =1-2×- 3/ 99，进而根据同角关系即可求解. 数2a+引}1-2sima*81-2号-g 8/29 鬼假作业 HANJIAZUOYE 故答案为： 4v5 9 14.若函数 f(x)=4sinx+3cosx 在=时取到最大值，则sin2x,= 24 【答案】25 【分析】根据辅助角公式，对函数进行恒等变换，判断何时取得最大值，再根据正余弦两角和差公式，和 同角三角函数关系，求出角的正弦值，再根据二倍角公式，求出结果 【详解】已知八到=4snx+3cosx=5snx+子os)=5sinx+p),其中an0-子 5 3 4 当sin(x,+p)=1时，取得最大值，且sin0=亏，cos0= 5, 可知cos(x,+p)=±V1-sin'(,+p)=0 sinxo=sin[(+-]=sin(p)cos-cos()sin=1x-0x3 34 5 55 同理可得cosx,=cos[(x,+p)-p]=cos(x+p)cosp+sin(x,+p)sinp=0x 4,,.33 sin 2xo 2sin xo cosxo=2x ×3×4-24 5525· 24 故答案为： 25 2 2π cos sin 2a+ 15.若 12 3,则 3 【答案】g 【分析】根据已知角的余弦值，利用二倍角公式计算可得结果. 9/29 鬼假作业 HANJIAZUOYE 【详15知2a+）a}引=ma+ 1 故答案为：9 七、#解答题 16.己知锐角a, B满足sina=: cos(a+p)=-5 cos B (1)求 的值； (2)求sin2a+cos2B的值. 【答案】) 5 9 (2)25 【分析】（1D根据题高，利用平方关系求出c0sa,如a+B川，可得osB=cos[a+B川-]，代人运算 得解： (2)由(1)求出sin2a,cos2B得解. 又由“、6为搅角、有 0<a+B<π 5 oB=cos[+B)]cos(+)cosa+sin()sina 10/29假作业 HANJIAZUOYE 寒假作业11三角恒等变换 知函回顾 知识点1正弦的和差公式 sina+β)=sin a cos B+cosa sinβ，sin(a-B)=sina cosβ-cos a sin B 知识点2余弦的和差公式 cos(a+B)=cosa cos B-sin a sin B cos(a-B)=cosa cos B+sin a sin B 知识点3正切的和差公式 tan(a+B)=tana+tan B 1-tan a tan B」 tan(a-B)=tana-tanB 1+tan a tan B 知识点4正弦的倍角公式 sin 2a =2 sin a cos a sina cosa= 2 sin 2a 1 知识点5余弦的倍角公式 cos 2a cos2 a-sin2a =(cos a sin a )(cos a sin a) 升幂公式：cos2a=1-2sin2au,cos2a=2cos2au-1 降幂公式：sin2a=1=cos2u,cos2a=」 1+cos 2a 2 2 知识点6正切的倍角公式 tan 20 2tana 1-tana 知识点7推导公式 (sin a +cos a)2+(sin a -cos a )2=2 知识点8辅助角公式 1/7 鬼假作业 HANJIAZUOYE y=asinx+bcosx, a>0台y=v+办5x+o),其中am9-名pe(受受 a 基础作亚 一、@单选题 1.sm) A.号 B.3 C.6- D.6+V2 2 4 2.若tan0=-2,则cos20=() B.5 3 c号 二、@多选题 3.下列等式中正确的是() A.sin15cosl5°=J 4 B.2sim2.50-1=2 tan71-tan26° C. =1 1+tan71°tan26° D.sin26°cos34°+cos26°sin34=1 4.下列各式中，值是，的是() A.cosxcosx+ sin x sinx+ 3 B.tanl0°+tan35°+tanl0°tan35 3 tan22.5° C. D.2-c0s220 1-tan222.5° 3-sin50° 三、@填空题 5.若tana=3,tanB=5,则tan(a-β)的值为 2W5 6.已知0<a<π，cosu= 5 则tana+= 四、@解答题 7.求下列各式的值： (1)cos20°cos40°-sin20sin40°， 2/7 寒假作业 HANJIAZUOYE (2)sin5°cos40°+sin85°sin40°. 8.（1)已知tana=-2,求0sa-2sing的值： cosa +sina (2)求tan20°+tan25°+tan20°tan25°的值. 中等特训 五、#单选题 A. c 3 10.已知a,Be0引 sina cos B,tana =3tan B,sin(a-B)=() B. c D.3 2 11.我国国旗的图案由一大四小五颗五角星组成，如图，己知该五角星的五个顶点构成正五边形的五个顶 点，则cosacosπ-β)=() A.cos18 B.c0s236 c.8 D. 六、#填空题 12.若0<a<π，cosa=- 5in号，则sn号 62 13已知a为锐角，且m后a小5ma-号周sm2a+写引 14.若函数f(x)=4sinx+3cosx在x=x时取到最大值，则sin2x。= 15.者mra+}子则sna+】 3/7 假作业 HANJIAZUOYE 七、#解答题 16.已知锐角a,B满足sina 3'cos(a+B)= 5 (1)求cosB的值： (2)求sin2a+cos2B的值. 1、()①已知sna-B)cosa--cosB-asma-号，B是第三象限角，求mB+5证的值， 5π (2)已知a,B是锐角csa=号cosa+p到=- 1 ,求cosB的值. 14 3 18.如图，在平面坐标系x0y中，第二象限角的终边与单位圆交于点A,且点A的纵坐标为三，B为第 2v5 一象限角，cosB= 5 A 0 (1)求sin(a-B)的值； (2)求 sin(2a+2π-sin2 (a 的值. 1-cosπ-2au+sin2au 19.求函数f(x) sin‘x+cosx+l的值域。 sin'x+cos'x+1 难题高 八、*单选题 20.已知a8+-2,则sn20-}() c. D. 4 5 21.已知cos140°-a)+sin110°+a=sin(130°-a),求tana=() 4/7 假作业 HANJIAZUOYE A.3 3 B.-3 C.5 D.-V5 3 A.1-3 B.1+3 D.13 2 2'2 22 ②3.若0<a<且2tam2a-6+am/a+元】 6 A.-3 B. 3 D.v6 3 3 C.-6 3 3 九、*多选题 24.已知函数fy-(2sinr+2cosx+1,则() sinx +cosx+1 A.f(x)的值域为[-V2,V2] B.f(x)是周期函数 C.f(x)在工+2k,元+2k,keZ单调递减 、4 D.f(x)的图像关于直线x=严对称，但不关于点 对称 十、*填空题 25.若a∈ ,且(1+cos2a)(1+sinB)=sin2 acosB,则2tana-tanB的最小值为 26.已知函数f(x)=sin(ox+a)+cos(ox+B)(o>0),若存在a,Be(0,π)使得fa)f(B)=4,则 f(x)的最大值为一，。的一个取值为一 27.已知B∈0 2 cosa +6cos(a+2B)=2sin(a +B)sin B tan(a+B)tan B= sin(a +2B) 的最小值是 cos(a B)cos B 十一、解答题 5/7 寒假作业 HANJIAZUOYE 28.某景区有一座山峰，山顶有一个端坐在天然石峰上的少女石像，石峰CE与石像DE的高度均为50m, 游客从山底A处向山顶C处爬山，在P处观赏石像的视角为∠DPE,坡长AC=200√2m D A B (1)设∠CAB=a,用a表示tan∠DAB; ②)已知在A处观赏石像的视角为∠DAE,an∠D4E= 231 (i)求坡度∠CAB的大小： (ii)若在山腰P处建一座凉亭，使∠DPE最大，求凉亭P与山底A的距离. 箍授高考 十二、单选题 29.已知0<a<,cos8=兰，则si咖a-4/( 25 A.2 B.② c.32 D. 7V2 10 10 10 30.已知cos(a+B)=m,tana tan B=2,则cos(a-B)=() A.-3m B.m 3 c D.3m 31.下列函数的最小正周期是2π的是() A.sinx+cosx B.sinxcosx C.sin2x+cosx D.sin2x-cos2x 32.已知 cosa cosa-sina A.2V5+1 B.2V5-1 C.3 2 D.1-V5 十三、填空题 6/7 宋 假作业 HANJIAZUOYE 33.函数f(x)=sinx-√5cosx在[0，π上的最大值是_一 34.已知a为第一象限角，B为第三象限角，tana+tanB=4,tana tan B=√2+1，则 sin(a+β)= 7/7