寒假作业08 函数与方程及函数模型与应用（知识回顾+基础作业+中等特训+难题拔高+链接高考）-2026年高一数学上学期寒假“承上启下”冲刺复习作业秘籍（人教A版）

寒假作业08 函数与方程及函数模型与应用 函数与方程 知识点1 函数零点的定义 一般地，对于函数，把使 的实数 叫作函数的零点.函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标. 方程、函数、函数图象之间的关系： 方程有实数解函数的图象 与轴有公共点 函数 有零点 . 知识点2 函数零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是 连续不断 的一条曲线，且有 ，那么函数在区间内 至少有一个 零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 知识点3 函数单调性对零点个数的影响 如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 知识点4 几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续） （1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点 （2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 （3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0 知识点5 零点与单调性配合可确定函数的符号 是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时， 知识点6 证明零点存在的步骤 （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 函数模型及其应用 知识点1 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识点2 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 知识点3 解函数模型问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 一、@单选题 1．函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在定理直接判断. 【详解】由，得，， ，，， 因为，所以函数的零点所在区间为. 故选：A. 2．若函数在区间上无零点，则m取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的根即可求解和时的根，由不等式即可求解. 【详解】当时，则，此时无零点，符合题意， 当时，令，则，故或,解得或， 综上可知在区间上无零点，则， 故选：D 二、@多选题 3．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 3 5 7 24 13 1 则一定包含的零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据零点存在性定理结合表中的数据分析判断即可 【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线， 且， 所以一定包含的零点的区间是． 故选：BCD 4．关于函数的零点，下列选项说法正确的是（　　） A．是的一个零点 B．在区间内存在零点 C．至少有2零点 D．的零点个数与的解的个数相等 【答案】BCD 【分析】根据零点的定义和零点存在定理，结合选项逐个判断. 【详解】因为，所以是的一个零点，A不正确； 因为，， 所以在区间内存在零点，B正确； 令，得， 因为方程的判别式，且不是的根， 所以有3个零点，C正确； 由零点的定义可知D也是正确的. 故选：BCD. 三、@填空题 5．函数的零点是 ． 【答案】1和3 【分析】直接利用对数函数的性质与零点的定义，令即可求解 【详解】依题意，令，解得：或， 故答案为：1和3. 6．水银体温计用汞柱的高度表示体温，当一个人的体温为时，汞柱高；体温为时，汞柱高.汞柱高与体温的关系用表示，其中（单位：℃）为人的体温，（单位：）为汞柱高，则当汞柱高时，此人的体温是 . 【答案】 【分析】由题意，结合待定系数法求得，从而得解. 【详解】依题意，得，解得， 于是，所以. 故答案为：. 四、@解答题 7．函数 (1)画出函数的图象； (2) 当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）． (3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程） 【答案】(1)图象见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据分段函数解析式画出函数图象即可； （2）根据图象分析区间单调性，分别求出各区间端点值，即可知值域； （3）由题意与有4个交点，数形结合即可确定参数范围. 【详解】（1）由解析式得图象如下， （2） 由（1）图象知：在、上递增，在、上递递减， 且，，，， 综上，在上值域为. （3）由函数图象知：有四个不相等的实数根，即与有4个交点， 所以. 8．某华为平板电脑体验店预计年月到年月全年可以销售台平板，已知该平板电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，则每批需付运费元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入台，则全年需付运费和保管费元. (1)求全年所付运费和保管费之和关于的函数； (2)若全年只有元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量：如果不够用，最少还需补多少？ 【答案】(1) (2)每批应购入平板电脑台，全年运费和保管费最少，此时还需补元 【分析】（1）根据已知条件构造函数模型，利用待定系数法即可求解； （2）直接由基本不等式即可求解. 【详解】（1）设保管费与电脑总价值的比例系数为， 则 当时，，解得， 所以； （2）由（1），， 当且仅当，即时，等号成立， 所以每批应购入平板电脑台，全年运费和保管费最少，为元，此时还需补元. 五、#单选题 9．某工厂生产的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不超过1%，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为，其中，为正常数.如果在前10小时消除了50%的污染物，则排放前至少还需过滤的时间为（参考数据：）（    ） A．23.2h B．39.8h C．56.4h D．73.0h 【答案】C 【分析】根据给定的模型及已知求出常数k的表达式，再求出排放前过滤的总时间即可计算作答. 【详解】依题意，，即，又，即， 于是得，即有，解得， 则排放前至少还需过滤的时间为. 故选：C 10．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据二分法求解函数零点的要求判断四个选项即可. 【详解】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合， 因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 故选：C. 六、#多选题 11．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作出图象，令，则，由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根，可得判别式，根据关于x的方程有4个不同的实根，且与图象有2个交点，可得与图象也得有2个交点，分析即可得答案. 【详解】作出图象，如下图所示， 由图象可得， 令，则， 所以， 由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根， 所以，解得， 解得或， 因为与图象有2个交点， 所以与图象也得有2个交点， 所以，解得，且， 所以符合条件的选项有AC. 故选：AC 12．设函数，若关于的函数恰好有个零点，则下列说法正确的是（     ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】CD 【分析】令，则零点的个数，就是方程的根的个数，最后转化为的零点的个数问题，画出的图象，由图象逐项分析即可. 【详解】令，则，作的图象如图所示： 所对应的方程为， ， 当时，则，故方程为，解为，此时关于的函数有个零点，故A错误； 当时，方程有两个不相等的实根为：或， 若关于的函数恰好有个零点， 则只有一个零点，由图可知实数的取值范围为，故B错误； 若关于的函数恰好有个零点， 则有个零点，由图可知实数的取值范围为，故C正确； 若关于的函数恰好有个零点， 则有个零点，由图可知实数的取值范围为，故D正确； 故选：CD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 七、#填空题 13．某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到之间，而用户期望电价为．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）．该地区的电力成本价为．已知，为保证电力部门的收益比上年至少增长，则最低的电价可定为 ． 【答案】0.6/ 【分析】设出电价定为元，由题意可得不等式，解出后结合即可得. 【详解】设电价定为元，， 则由题意可得， 整理可得，又， 故，即，故最低的电价可定为. 故答案为：. 14．若函数，且关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，利用换元转法化为一元二次方程形式，根据一元二次方程根的分布特征，解不等式组即可求得的取值范围. 【详解】令，则，且函数的大致图象如图：    方程化为， 即，即. 因为方程有三个不同的实数解， 由函数的图象可知， 方程有两个不等实根，不妨设，则. 令， 则或，解得，或无解. 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 八、#解答题 15．长时间的实践表明，冲泡绿茶用开水最为合适，饮用时茶水温度在至之间口感最佳．已知环境温度为，物体温度为时，经过分钟后物体温度满足，其中为常数．某实验小组通过数据收集，计算得常数，假设近期室内温度均为． (1)以开水冲泡绿茶，经过8分钟后茶水温度约为多少？ (2)早上张老师到办公室上班，先用开水泡好一杯绿茶，然后去教室看早自习，再回到办公室准备喝茶，请帮张老师计算一下他泡的茶水能保持最佳口感的时长． （注意：本题结果都保留两位小数，参考数据，，） 【答案】(1) (2)到分钟 【分析】（1）由已知直接得到解析式，代入求解即可； （2）根据题意得到不等式，利用指数和对数的运算求解即可. 【详解】（1）由已知可得， 当时，， 所以以开水冲泡绿茶，经过8分钟后茶水温度约为； （2）由于饮用时茶水温度在至之间口感最佳， 所以，即， 所以，所以， 所以即， 张老师泡的茶水能保持最佳口感的时长为到分钟. 16．已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并解不等式； (3)设，若方程有解．求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递减，单调递增， (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求实数的值； （2）首先判断时函数的单调性，再根据函数是偶函数，判断的单调性，结合函数的性质，即可求解不等式； （3）由函数化简以及对数方程可得，再根据换元法，以及参变分离可得的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， ， ， 因为函数为偶函数，所以，即， 得； （2）由（1）知，， 设， ， 因为，，， 所以，， 则，且函数是单调递增函数， 所以， 所以函数在上单调递增，再根据函数是偶函数，在区间上单调递减； 不等式，等价于， 解得：或， 不等式的解集为； （3）， 则方程，等价于， 设，当且仅当，即时，等号成立， 而， 即，整理为，在上有解， 即，在上单调递增，所以， 所以，所以实数的取值范围是. 九、*单选题 17．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合已知条件得出，解得或，则直线、与函数的图象共有五个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，由可得， 即，解得或， 当时，即当时，， 当时，时，， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象有两个交点， 又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可得，故实数的取值范围是. 故选：A. 18．已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．既有最大值也有最小值 B．存在实数，使得 C．对任意正整数在区间上均单调递增 D．若且关于的方程有且只有两个实根，则 【答案】D 【分析】由函数图象对各选项进行判断即可． 【详解】先作出在上的图象，再扩展到整个定义域．    对于A：由图象可知函数无最小值，A错； 对于B：由图象可知函数最大值为0，B错； 对于C：对任意正整数，函数在上单调递增，C错； 对于D：时，恒过点，且在定义域上单调递减．所以方程在区间中有一个实根． 因为有且只有两个实根，所以即，亦即， 所以，解得. 故选：D. 十、*多选题 19．已知函数，，的零点分别为，，，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】AB选项，变形得到，，构造，由函数单调性得到，故AB正确；C选项，同一坐标内画出的图象，得到；D选项，结合ABC选项，利用图象得到. 【详解】AB选项，由题意得，， 因为可变形为， 令，显然为单调递增函数，故， 故，，AB正确； C选项，由题意得， 在同一坐标内画出的图象， 可以看出，C错误； D选项，由AB选项可知，而，故 又，故， 由图象可得，，所以， 故，D正确. 故选：ABD 【点睛】函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形为，从而构造，结合单调性进行求解.. 20．已知函数，若，则下列说法正确的是（   ） A．当方程有三个不同根时，三个根的乘积小于 B．当方程有四个不同根时，则 C．函数恰有个零点时， D．函数恰有个零点时， 【答案】ACD 【分析】作出函数的图象，数形结合可判断B选项；利用对数运算以及数形结合可判断A选项；利用图象以及二次函数零点分布可判断CD选项. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 若方程有三个不同根时，则， 设方程的三个根分别为、、，且， 则，， 由可得，则，所以， 因此，这三个根的乘积为，A对； 对于B选项，由图象可知，当方程有四个不同根时， 即当直线与函数的图象有个交点时，，B错； 对于C选项，因为直线与函数图象的交点个数可能为、、、， 令，， 因为函数恰有个零点，则函数有两个零点，设这两个零点分别为、，且， ，，由韦达定理可得，无解； 、，由二次函数零点分布可得，解得，C对； 对于D选项，函数恰有个零点时，，或，， 当，时， 由二次函数的零点分布可得，解得； 当时，则，可得， 此时，由，可得，，合乎题意， 所以当函数有个零点时，，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号，结合图象得出关于参数的不等式组求解. 十一、*填空题 21．已知函数，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】 【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解． 【详解】设，则， ①当时，，得； ②当时，，得； 综上所述：若，则或. 故或，则有： ①由，可得或，解得或； ②由，可得或，解得或； 综上所述：函数的所有零点为，，，4. 故所有零点的和为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题意分和两种情况讨论，运算求解, 22．已知函数．当时，的解集是 ；当函数有且仅有三个零点时，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 ； 【分析】由，将转化为，解出此不等式的解，这个解和求交集，就是所求不等式的解；有且仅有三个零点， 得到有且仅有三个根，设，则与的图像有且仅有三个交点，求的值域，分别画出和的的图像，通过图像得到的范围. 【详解】，， ，， ，，或，又，， 的解集是； 有且仅有三个零点，有且仅有三个根， 即有且仅有三个根， 设，则与的图像有且仅有三个交点， 的对称轴为， ，的值域为； 当时，的图像为： 当，即，与没有交点，与只有一个交点， 则与的图像有且仅有一个交点； 当，即，与只有1个交点，与只有一个交点， 则与的图像有且仅有两个交点； 当，即，与只有2个交点，与只有一个交点， 则与的图像有且仅有三个交点； 故当时，函数有且仅有三个零点，实数a的取值范围是； 当时，的图像为： 当，即，与没有交点，与只有一个交点， 则与的图像有且仅有一个交点； 当，即，与只有1个交点，与只有一个交点， 则与的图像有且仅有两个交点； 当，即，与只有2个交点，与只有一个交点， 则与的图像有且仅有三个交点； 故当时，不满足函数有且仅有三个零点； 综上所述，的取值范围为. 故答案为：；. 十二、*解答题 23．已知函数且函数是偶函数 (1)求的解析式 (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围 (3)若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据是偶函数得函数的对称轴，从而求解，代入即可求解解析式； （2）令，分离参数即可得到，求出的最大值，即可求解； （3）令,化为关于的方程，原函数有三个零点，即原方程有三个解，由对称性（或偶函数）知是一个解，即是新方程的一个根，由此可求得，从而求得另外的根，即求得函数的零点. 【详解】（1）将向右平移2个单位得到函数， 因为函数是偶函数，所以函数关于对称， 所以，所以，所以，所以. （2）令，因为，所以， 不等式在上恒成立， 等价于在上恒成立.所以. 令，，则，从而， 所以当时，取到最大值为，所以. （3）令，则， 方程可化为， 即，也即. 因为函数恰好有三个零点， 所以方程有三个实数根， 因为函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 所以函数必有零点0，此时， 即方程有一个根为2，所以. 所以，解得或.由，得， 由，得，所以该函数的零点为0，，2. 24．已知函数，． (1)求实数k的值； (2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明； (3)设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)在内有且仅有一个零点，理由见详解 【分析】（1）根据题意结合奇函数的定义分析求解； （2）根据单调性的定义分析证明； （3）根据题意结合单调性以及奇偶性的性质判断在区间上的单调性，再结合零点存在性定理分析判断. 【详解】（1）令，解得，所以函数的定义域为， 因为，即为奇函数， 则， 整理得， 注意到对任意上式均成立，可得，解得. （2）因为，则， 可知函数在区间上单调递减，证明如下： 对任意，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递减； （3）在内有且仅有一个零点，理由如下： 因为，则， 由（2）可知在内单调递减，且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减， 又因为为奇函数，则在内单调递减， 且在内单调递减，可知在内单调递减， 结合，， 可知在内有且仅有一个零点. 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法 1.直接求零点：令，则方程解的个数即为零点的个数； 2.零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点； 3.数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 十三、单选题 25．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 26．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 27．一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 十四、多选题 28．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 十五、填空题 29．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业08 函数与方程及函数模型与应用 函数与方程 知识点1 函数零点的定义 一般地，对于函数，把使 叫作函数的零点.函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标. 方程、函数、函数图象之间的关系： 方程有实数解函数的图象 函数 . 知识点2 函数零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是 的一条曲线，且有 ，那么函数在区间内 零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 知识点3 函数单调性对零点个数的影响 如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 知识点4 几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续） （1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点 （2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 （3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0 知识点5 零点与单调性配合可确定函数的符号 是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时， 知识点6 证明零点存在的步骤 （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 函数模型及其应用 知识点1 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识点2 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 知识点3 解函数模型问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 一、@单选题 1．函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上无零点，则m取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、@多选题 3．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 3 5 7 24 13 1 则一定包含的零点的区间是（    ） A． B． C． D． 4．关于函数的零点，下列选项说法正确的是（　　） A．是的一个零点 B．在区间内存在零点 C．至少有2零点 D．的零点个数与的解的个数相等 三、@填空题 5．函数的零点是 ． 6．水银体温计用汞柱的高度表示体温，当一个人的体温为时，汞柱高；体温为时，汞柱高.汞柱高与体温的关系用表示，其中（单位：℃）为人的体温，（单位：）为汞柱高，则当汞柱高时，此人的体温是 . 四、@解答题 7．函数 (1)画出函数的图象； (2) 当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）． (3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程） 8．某华为平板电脑体验店预计年月到年月全年可以销售台平板，已知该平板电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，则每批需付运费元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入台，则全年需付运费和保管费元. (1)求全年所付运费和保管费之和关于的函数； (2)若全年只有元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量：如果不够用，最少还需补多少？ 五、#单选题 9．某工厂生产的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不超过1%，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为，其中，为正常数.如果在前10小时消除了50%的污染物，则排放前至少还需过滤的时间为（参考数据：）（    ） A．23.2h B．39.8h C．56.4h D．73.0h 10．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   六、#多选题 11．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 12．设函数，若关于的函数恰好有个零点，则下列说法正确的是（     ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 七、#填空题 13．某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到之间，而用户期望电价为．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）．该地区的电力成本价为．已知，为保证电力部门的收益比上年至少增长，则最低的电价可定为 ． 14．若函数，且关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 八、#解答题 15．长时间的实践表明，冲泡绿茶用开水最为合适，饮用时茶水温度在至之间口感最佳．已知环境温度为，物体温度为时，经过分钟后物体温度满足，其中为常数．某实验小组通过数据收集，计算得常数，假设近期室内温度均为． (1)以开水冲泡绿茶，经过8分钟后茶水温度约为多少？ (2)早上张老师到办公室上班，先用开水泡好一杯绿茶，然后去教室看早自习，再回到办公室准备喝茶，请帮张老师计算一下他泡的茶水能保持最佳口感的时长． （注意：本题结果都保留两位小数，参考数据，，） 16．已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并解不等式； (3)设，若方程有解．求实数的取值范围． 九、*单选题 17．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．既有最大值也有最小值 B．存在实数，使得 C．对任意正整数在区间上均单调递增 D．若且关于的方程有且只有两个实根，则 十、*多选题 19．已知函数，，的零点分别为，，，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 20．已知函数，若，则下列说法正确的是（   ） A．当方程有三个不同根时，三个根的乘积小于 B．当方程有四个不同根时，则 C．函数恰有个零点时， D．函数恰有个零点时， 十一、*填空题 21．已知函数，则函数的所有零点之和为 ． 22．已知函数．当时，的解集是 ；当函数有且仅有三个零点时，则实数a的取值范围是 ． 十二、*解答题 23．已知函数且函数是偶函数 (1)求的解析式 (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围 (3)若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点 24．已知函数，． (1)求实数k的值； (2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明； (3)设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由． 十三、单选题 25．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 26．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 27．一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 十四、多选题 28．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 十五、填空题 29．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $