寒假作业05 抽象函数综合（知识回顾+基础作业+中等特训+难题拔高+链接高考）-2026年高一数学上学期寒假“承上启下”冲刺复习作业秘籍（人教A版）

寒假作业05 抽象函数综合 知识点1 函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个 非零常数 ，使得对每一个都有，且 ，那么函数就叫做周期函数． 非零常数 叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的 正数 ，那么这个最小 正数 就叫做的 最小正周期 ． 若，则的周期为： 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 知识点2 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 知识点3 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 知识点4 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 一、@单选题 1．已知函数的定义域为，为奇函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为奇函数得的图象关于点对称，即，进而得即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，， 因为，所以， 所以的最小正周期为4，则. 故选:B. 2．已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数为奇函数，为偶函数的条件，建立关于的方程，通过带入特定值推导各选项的函数值即可. 【详解】根据题意，因为函数为奇函数，所以， 即， 所以的图象关于点成中心对称，所以. 又因为为偶函数，所以， 即，所以的图象关于直线对称，所以. 故选：D. 二、@多选题 3．已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】BCD 【分析】根据已知，利用奇函数、偶函数的性质进行判断. 【详解】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误； 由，得，所以为奇函数，B项正确； 因为，所以为偶函数，C项正确； 因为，所以为偶函数，D项正确. 故选：BCD. 4．已知定义在上的奇函数满足，若，则（    ） A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数的基本性质对选项AB进行验证，根据函数周期结合函数奇偶性对选项CD进行验证，即可得出答案. 【详解】对于A：函数为奇函数，则， 则， 则的一个周期为4，故A正确； 对于B：，则函数关于对称，故B正确； 对于C：的一个周期为4， ， 令中的，则， 函数为定义在上奇函数， ， ，故C正确； 对于D：的一个周期为4， ， 函数为奇函数， ， ，故D错误； 故选：ABC. 三、@填空题 5．已知偶函数满足，则 ． 【答案】0 【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然后计算即可． 【详解】令，则，又， 所以，于是化为：， 所以的周期， 所以． 故答案为：0. 6．已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则 . 【答案】 【分析】由题意可得且，直接计算即可求解. 【详解】设函数的最小正周期为，则. 因为是定义在上的偶函数，所以， 所以. 故答案为： 四、@解答题 7．已知函数满足，且在上单调递减，比较，，的大小． 【答案】 【分析】由可知函数图象关于对称，再结合单调性比较函数值． 【详解】，． 又在上单调递减，且， ， 故． 8．已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【答案】偶函数 【分析】通过赋值找到与的关系，从而确定奇偶性. 【详解】令，则，即， ∵，解得． 再令，则，移项可得， ∴是偶函数． 五、#单选题 9．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义逐项判断即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 对于A，，所以为奇函数，故A错误； 对于B，，所以为偶函数，故B错误； 对于C，，与和均不相等， 所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，故为偶函数，故D正确. 故选：D. 10．已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平移法则确定函数关于直线对称，且在上单调递增，结合函数对称性和单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称， 又在上单调递增， 由，得，即， 平方并化简，得，解得或，即的取值范围为． 故选：D 六、#多选题 11．设函数的定义域为，和均为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数满足 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数为上的偶函数 【答案】AC 【分析】通过奇函数得到两个等量关系，再通过对自变量进行取值后化简得到，判断A选项；根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断B,C选项；结合函数周期，通过化简知道函数的奇偶性，判断D选项. 【详解】因为为奇函数，所以， 又为奇函数，所以， 所以， ∴，A选项正确； 由为奇函数可知关于点对称，由为奇函数， 可知关于点对称，B错误，C正确； 因为是奇函数，D选项错误. 故选：AC. 12．（多选）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图像关于对称 D． 【答案】BCD 【分析】根据题设有、，进而可得，即可判断的对称性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后结合在上的单调性及对称性，比较函数值大小. 【详解】由题设，，即，则关于对称，C正确； ，即，关于对称， 所以，即周期为4， 且，即为偶函数，A错误； 则，B正确； 又，且，都有，即在上递增， 因为，，所以，D正确. 故选：BCD 七、#填空题 13．若函数是定义在上的偶函数，是奇函数，，则 . 【答案】 【分析】由奇函数的定义，是奇函数，所以有，分别令取和，即可求出与的值，再利用为偶函数，可求出与的值，然后代入式中求解即可. 【详解】∵是奇函数， ∴， 令，得，即，∴， 令，得，即， ∵是定义在上的偶函数， ∴，， ∴. 故答案为：. 14．已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且．则，，的大小顺序是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】由条件②可得，结合条件①可得；由条件③可得在单调递减,结合条件②可得在上单调递增，结合单调性可以得到函数值的大小顺序. 【详解】由条件②函数的图象关于直线对称，所以， 由①，可得， 因为，即， 所以，所以， 由③知，所以函数在上单调递减， 由条件②函数的图象关于直线对称， 所以在单调递增， 所以，即． 故答案为： 八、#解答题 15．设是R上的奇函数，，当时，. (1)的值； (2)当时，的图象与x轴所围成图形的面积. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据已知可得函数的周期为4，再由奇偶性与给定范围的表达式即可求解； （2）由已知可得函数的图象关于直线x＝1对称，又当时，，且的图象关于原点成中心对称，再结合的图象求解即可． 【详解】（1）由，得， 所以是以4为周期的周期函数，又为奇函数，所以； （2）由是奇函数且， 得，即． 故函数的图象关于直线x＝1对称． 又当时，，且的图象关于原点成中心对称， 则的图象如图所示．    当时，设的图象与x轴围成的图形面积为S， 则. 16．（1）已知函数，，若，都有，求证：为奇函数. （2）设函数定义在上，证明：是偶函数，是奇函数. （3）已知是定义在上的函数，设，，试判断与的奇偶性；根据，与的关系，你能猜想出什么样的结论？ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）答案见解析 【分析】（1）对，适当赋值，使所给的式子出现及，从而利用奇函数定义证明即可；对于（2）（3）可直接用奇偶性的定义判断. 【详解】（1）令，则，所以， 令，，则，所以， 所以是奇函数. （2）因为，所以，可见的定义域也是， 设，， 则与的定义域也是，显然定义域是关于原点对称的. 因为， ， 所以为偶函数，为奇函数， 即是偶函数，是奇函数. （3）因为，， 所以是偶函数，是奇函数. ， 由此可得一般结论：如果一个函数的定义域关于原点对称， 那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 九、*单选题 17．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】先由为奇函数，推出关于对称，则，进而求出的解析式，则的解析式可求，解出根即可. 【详解】因为为奇函数，所以关于对称， 则关于对称，即， 当时，， 当时，， 则， 所以， 则， 因为，则或， 解得或，所以. 故选：A 18．已知对任意x，，都有，且，那么 （    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数 【答案】D 【分析】令，结合可求得的值，再令即可判断的奇偶性. 【详解】令，有， 因为，所以， 再令，得：， 所以，又， 所以是偶函数. 故选：. 【点睛】关键点点睛：抽象函数的奇偶性的判断，根据所给的等式进行取值是解题的关键. 十、*多选题 19．已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若对任意，，总有，则是奇函数 B．若对任意，，总有，则是偶函数 C．若对任意，；总有，则 D．若对任意，，总有，则 【答案】ACD 【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】对于A，对任意，，总有，令得；令得，所以； 令得，所以； 令得，所以是奇函数，故A正确； 对于B，对任意，，总有，令得； 令得，所以是奇函数，故B错误； 对于C，对任意，，总有，由A选项分析， 令得，又因为， 所以，故C正确； 对于D，对任意，，总有，由B选项分析， 令得， 令得，所以； 令得 令得，所以 令得，所以，故D正确. 故选：ACD. 20．定义在上的函数满足，函数为奇函数，且对，当时，都有.函数与函数的图象交于点，以下结论正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C．函数在区间上单调递减 D． 【答案】BCD 【分析】由题意得函数的轴对称与中心对称性，进而得到周期性，赋值可得A；由变形可得函数在区间的单调性，由对称性可得C； 结合性质可证明BD. 【详解】由题意，对，当时，都有. 则当时，；当时，； 故在单调递增. 由函数为奇函数， 则，即， 则函数的图象关于中心对称①； 选项A，令，则，则，故A错误； 选项B，由函数满足， 则， 则的图象关于对称②， 由①②得，，则， 所以有， 则是以为周期的周期函数③， 则由②③得，， 即是偶函数，故B正确； 选项C，由的图象关于对称， 函数在区间的单调性与的单调性相反， 又由函数的图象关于中心对称， 函数在区间的单调性与的单调性相同， 故函数在区间的单调递减，故C正确； 选项D，由， 则的图象也关于中心对称； 故函数与的图象交点也成对关于对称； 不妨设，则，且， 即，且， 故，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过单调性的定义得到函数的单调性，再求出其周期性和奇偶性从而对各选项逐步分析. 十一、*填空题 21．已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； . 附注：. 【答案】 【分析】根据已知可得的图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得的周期，结合已知条件和周期即可求和. 【详解】因为，所以函数的图象关于点对称，且； 又的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称， 即为偶函数，所以，所以以4为周期， 所以，，， ，所以， 因为，所以，同理，，，，， 所以. 所以. 故答案为：； 【点睛】关键点睛：根据函数的对称性得函数的周期，从而利用周期和对称性求和是解决本题的关键. 22．已知定义在R上的函数满足，若函数与有n个公共点，分别为，则 . 【答案】 【分析】由题可知，与都是关于对称，故可得所有公共点的横坐标之和为，所有纵坐标之和为，即可求得结果. 【详解】因为，故可得关于对称，且 又因为， 故也关于对称，且； 由题可知，当与有个公共点时，则其中一个一定是点， 剩余个公共点成对出现，可分为组，每一组都是关于点对称. 故可得，， 则. 故答案为：. 【点睛】本题考查函数对称性的研究，以及对称性的应用，属综合困难题，涉及三角函数的诱导公式，属综合性困难题. 十二、*解答题 23．设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； (3)若函数的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据反证法，以及“弱对称中心图形”定义即可证明； （3）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解. 【详解】（1）由，解得． 当时，，对于任意的， 都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． （2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形． 理由如下：假设，使得，解得，与矛盾， 所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形； （3）由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增，所以， 所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以． 综上可知，实数的取值范围为． 十三、单选题 24．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 25．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业05 抽象函数综合 知识点1 函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个都有，且 ，那么函数就叫做周期函数． 叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的 ，那么这个最小 就叫做的 ． 若，则的周期为： 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 知识点2 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 知识点3 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 知识点4 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 一、@单选题 1．已知函数的定义域为，为奇函数，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 二、@多选题 3．已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 4．已知定义在上的奇函数满足，若，则（    ） A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D． 三、@填空题 5．已知偶函数满足，则 ． 6．已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则 . 四、@解答题 7．已知函数满足，且在上单调递减，比较，，的大小． 8．已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 五、#单选题 9．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 10．已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 六、#多选题 11．设函数的定义域为，和均为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数满足 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数为上的偶函数 12．（多选）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图像关于对称 D． 七、#填空题 13．若函数是定义在上的偶函数，是奇函数，，则 . 14．已知定义在R上的函数满足以下三个条件： ①对于任意的x∈R，都有； ②函数的图象关于直线对称； ③对于任意的，且．则，，的大小顺序是 ．（用“”连接） 八、#解答题 15．设是R上的奇函数，，当时，. (1)的值； (2)当时，的图象与x轴所围成图形的面积. 16．（1）已知函数，，若，都有，求证：为奇函数. （2）设函数定义在上，证明：是偶函数，是奇函数. （3）已知是定义在上的函数，设，，试判断与的奇偶性；根据，与的关系，你能猜想出什么样的结论？ 九、*单选题 17．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 18．已知对任意x，，都有，且，那么 （    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数 十、*多选题 19．已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若对任意，，总有，则是奇函数 B．若对任意，，总有，则是偶函数 C．若对任意，；总有，则 D．若对任意，，总有，则 20．定义在上的函数满足，函数为奇函数，且对，当时，都有.函数与函数的图象交于点，以下结论正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C．函数在区间上单调递减 D． 十一、*填空题 21．已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； . 附注：. 22．已知定义在R上的函数满足，若函数与有n个公共点，分别为，则 . 十二、*解答题 23．设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； (3)若函数的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 十三、单选题 24．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 25．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $