寒假作业06 指数与对数运算突破（知识回顾+基础作业+中等特训+难题拔高+链接高考）-2026年高一数学上学期寒假“承上启下”冲刺复习作业秘籍（人教A版）

寒假作业06 指数与对数运算突破 指数 知识点1 根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做___根式 ___，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①__负数____没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作___0___． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 知识点2 分数的指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定： （，且） 负分数指数幂 规定：（，且） 性质 0的正分数指数幂等于 0 ，0的负分数指数幂 无意义 知识点3 实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 对数 知识点1 对数的定义 如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作 ，这里，a叫作对数的 底数 ，N叫作对数的 真数 ．    知识点2 常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作 ，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为 知识点3 对数的基本性质及对数恒等式 性质1 负数 和 零 没有对数 性质2 1的对数是 ，即 性质3 底数的对数是 即 对数恒等式： ， 知识点4 对数的运算性质 如果且，，，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 推广：． ，， 知识点5 换底公式 换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2：。 一、@单选题 1．若，，则的值为（    ） A．2 B．1 C．8 D．3 【答案】D 【分析】将，转化为对数的形式求出，然后代入化简求值即可 【详解】因为，所以； 又，所以 所以 故选：D. 2．（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据对数换底公式及运算知识即可求解. 【详解】，故A正确. 故选：A. 二、@多选题 3．已知，且，下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】AD可举出反例；C选项可推导出或；B选项，根据单调可得到. 【详解】若，则无意义，A错误； 因为，且为单调函数，所以，B正确； 因为，则，所以或，C错误； 若，则无意义，D错误. 故选：ACD 4．下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 【答案】BD 【分析】利用根式与分数指数幂的运算计算可判断A；由分数指数的运算性质计算可判断B；利用完全平方公式计算可判断C；利用对数的换底公式与对数运算公式计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，两边平方得，两边再平方可得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 三、@填空题 5．计算的结果为 ． 【答案】/1,5 【分析】根据指数幂的运算法则及指数幂的性质计算即可. 【详解】原式. 故答案为： 6．计算： . 【答案】/0.5 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 四、@解答题 7．计算： (1)； (2) 【答案】(1)4 (2)49 【分析】（1）由指数幂的运算即可得解； （2）由对数运算法则即可得解. 【详解】（1）； （2） . 8．（1）已知，求的值； （2）化简； （3）. 【答案】（1）7；（2）5；（3）210 【分析】（1）对已知条件平方可得答案； （2）利用指数、对数的运算公式可求答案； （3）利用根式与分数指数幂的互化和指数幂的运算性质即得. 【详解】（1）因为，所以； （2）原式； （3） . 五、#填空题 9．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】由得到，再利用指数幂的运算求解. 【详解】解：因为，， 所以，， 故答案为： 10．设，， （1）用含，的式子表示，形式为 . （2）用含，的式子表示，形式为 . 【答案】 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】因为，， （1）由； （2）由. 故答案为：；. 11．设，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由一元二次方程因式分解结合对数运算求解即可； 【详解】， 即， 即，又， 所以， 解得：， 故答案为： 六、#解答题 12．计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）指数的运算法则及性质化简求解； （2）根据式子的结构特征，利用完全平方公式及立方和公式化简即可得解. 【详解】（1） （2）因为， 所以，即， 所以，即， 所以. 13．（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】（1）. （2）由，得，， 所以． 七、*单选题 14．已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算法则和换底公式即可求解. 【详解】由，得，所以，又，所以. 故选：D． 15．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，根据指数和对数的运算性质可得和是方程的根，又由和均大于可得，即可求解的值. 【详解】令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 所以和是方程的根， 由解得， 又因为，均大于，且函数单调递减，所以，， 所以， 故选：B 16．已知a是方程的解，b是方程的解，则为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】依题意，设，利用指对数互化可得，再将化简可得，即可求出的值. 【详解】因为是方程的解，所以， 令，则有， 所以，① 因为b是方程的解，所以，即，② 设，易知在R是单调递增， 由①②得，，所以， 代入得，， 故选：C 17．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数的运算化简，再利用基本不等式即可求得，由，可得，然后构造函数，根据函数的单调性可就得，化简得，由题设即可得出，从而得解. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，可取等号， 又因为，所以. 又因为，所以. 令， 易得在上单调递减， 又，所以， 即， 所以，即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用基本不等式可推出，构造函数，利用函数的单调性比较的大小，从而推出是解题关键. 八、*填空题 18．已知且，则的值是 . 【答案】 【分析】通过指对转化，将已知的指数式转化为对数式，再通过公式将已知式化简得到关于的方程，解方程即可. 【详解】由知. 又，所以，且， 代入得. 所以，即， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 19．若正数，满足，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】由正数，满足，得，所以.根据基本不等式可求得的最小值. 【详解】正数，满足，则， 所以，即，所以. 所以. 所以. 因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以.所以的最小值为当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 九、*解答题 20．求值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由根式和指数式的运算性质即可计算求解； （2）由对数的运算性质即可计算求解； 【详解】（1）原式； （2）原式． 21．（1）求值：； （2）求值：； （3）若，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）；（3）①；②. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，进行运算即可； （2）根据对数的运算性质即可求解； （3）①因为，代入即可求解； ②由，代入计算，再根据的取值进行分类，开根号即可. 【详解】（1）； （2） ； （3）①因为，又， 所以； ②因为，又，则， 所以， 令，因为幂函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，又， 所以当时，，即，所以； 当时，，即，所以； 综上所述，若，则. 十、填空题 22．已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 23．已知且，则 ． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $束假作业 HANJIAZUOYE 寒假作业06指数与对数运算突破 知识回顾 指数 知识点1根式的概念及性质 (1)概念：式子a叫做， 这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)① 没有偶次方根 ②0的任何次方根都是0，记作V6=一 8(a”- (neN,且n>1). ④Van=a(n为大于1的奇数). ⑤Vn-al= ----a≥0 --a<0 (n为大于1的偶数). 知识点2 分数的指数幂的意义 正分数指数 规定：a"= (a>0,m,n∈N,且n>1) 幂 分数指数 负分数指数 幂 幂 规定：a=亲=存(a>0,m,nEN,且n>1) 性质 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 知识点3实数指数幂的运算性质 (1)aras=」 (a>0,r,sER) (2)(a)8 (a>0,rs∈R). (3)(ab)= (a>0,b>0,reR). 1/6 寒 假作业 HANJIAZUOYE 对数 知识点1对数的定义 如果ab=N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作，这里，a叫作 对数的 N叫作对数的一 指数或对数 底数 b=log N 幂或真数 知识点2常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把l0g10N记作一，以无理数e=2.71828…为底数的对数 称为自然对数，并且把log。N记为_ 知识点3对数的基本性质及对数恒等式 性质1 和 没有对数 性质2 1的对数是 即log21= (a>0,a≠1) 性质3 底数的对数是 即log2a= (a>0,a≠1) 对数恒等式：aoW=一，logaaN= 知识点4对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么： (1)loga(MN)= (2)log器= (3)1ogM”= 推广：log2(NN2…Nk)=log N1+log N2+…+10g Nk(NN2…,Nk>0) 2/6 假作业 HANJIAZUOYE log.b=-logb,log,.b"=log,b,log b=logb 1 n n 知识点5换底公式 换底公式：1og,b=1g.b=lgb_Inb loge a lga Inai 推广1：对数的倒数式10g。b=,1 -→log。b·log a=1 logh a 推广2：log,blog6clog。a=1→log。b log,c log。d=log。d。 基础作业 一、@单选题 若4=3,2，则2x+y的值为 A.2 B.1 C.8 D.3 2.10g225×log34×log59=（) A.8 B.6 C.4 D.2 二、@多选题 3.已知a>0,且a≠1，下列说法不正确的是() A.若M=N,则log。M=log。N B.若log。M=log。N,则M=N C.若log。M2=log,N2,则M=N D.若M=N,则log。M2=log。N2 4.下列各式正确的是() A.设a>0,则vaa=a B.已知2a+b=1,则27°：3 =3 34 C.若a2+ai=3,a2+a2=49 3/6 寒假作业 HANJIAZUOYE D.a=1o847,b=1og45,则1ogs2=1-a a+b 三、®填空题 5.计第(-3+3×24 的结果为 6.计算： -(r(》 四、@解答题 7.计算： (1)4g25+ 0.125; (2)(2l0g45+31og225)(10g52+6log54 8。(1)已知+x=3,求x+的值： (2)化简：162+2e3-lg4-2lg5 (3>2x2×5+W22)-4x16）-2×9s+-1024 49 中等特训 五、#填空题 9.己知a=log23,2=5,则2a-2w= 10.设lg2=a,lg3=b, (1)用含a,b的式子表示log518，,形式为 (2)用含a,b的式子表示log630,形式为】 11.设0<a<1,若lga2)+(lga)=3,则a=」 4/6 奥假作业 HANJIAZUOYE 六、#解答题 12.计算： ②已知a+ai=2,求a+a a+a的值. 13. (1)计算： 4可-{9+02s (2)已知x-x=2,求+x 产+的值。 雅题拔高 七、*单选题 14.已知log47=a,6=4,则10g4214=() A.Ita b+2ab D. a+b B C.btab ab+l 2ab+2 15.已知m=4s”-9“,n=9·+6:,则”的值为() n A.5+1 B.5-1 2 2 C.5+1 D.5-1 2 2 16.已知a是方程x+lgx=3的解，b是方程2x+100=3的解，则a+2b为() 3 B. C.3 D.-3 17.己知m=10g,5+l0g259,且5m+12m=13”,则() A.m>nx2 B.n>m>2 C.mx2x n D.n>2>m 八、填空题 18,已知=5=A且2+=2，则4的值是 x y 19.若正数a,b满足log2√a+3b=1+log4a+l0g4b,则a+3b的最小值为」 5/6 寒假作业 HANJIAZUOYE 九、解答题 20.求值： 4- 5x1） (1) +0.252×2 287-10g,2-log49+lg2+ 1 og310 ②)gv27+lg8-lgV1000 lg1.2 德 (2)求值： lg3+号g9+2g2T-lg5 1g81-1g27 (3)若x+x=3,求下列各式的值： ①x2+x2: ②-r. 链愤高考 十、填空题 22.已知函数f(x)=4+1og2x 则 1 1 5 23.已知a>10g40g.42则a= 6/6