寒假作业04 函数的概念与性质综合（知识回顾+基础作业+中等特训+难题拔高+链接高考）-2026年高一数学上学期寒假“承上启下”冲刺复习作业秘籍（人教A版）

寒假作业04 函数的概念与性质综合 函数的概念及其表示 知识点1 函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的 ，在集合中都有 和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ． 知识点2 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的 ，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指： ， ， . （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 知识点3 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数 相同， 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 知识点4 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 知识点5 函数的表示方法 知识点6 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 ，有不同的 ，则称其为分段函数. 函数的基本性质 知识点1 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 （区间I称为函数的 ，也可分别称为 和 ） 知识点2 函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 知识点3 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 知识点4 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 对称 一、@单选题 1．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 2．下列函数中哪个与是同一个函数（    ） A． B． C． D． 二、@多选题 3．已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 4．下列每组中的函数不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 三、@填空题 5．函数的定义域是 . 6．函数在上单调递增，，则 . 四、@解答题 7．判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 8．已知定义在上，且，当时，． (1)求证：当时，； (2)求证：在上单调递减． 五、#单选题 9．若偶函数在上单调递增，则（ ）． A． B． C． D． 10．定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 六、#多选题 11．已知定义在R上的函数满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．不存在零点 D． 12．对于函数（），下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为. B．函数在上为增函数. C．函数在上为减函数. D．当时，函数为奇函数. 七、#填空题 13．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为 . 14．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的取值范围为 ． 八、#解答题 15．用平移图像的方式作出的图像，并说明函数的值域． 16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，现已画出函数在轴右侧的图象，如图所示.      (1)请将函数的图象补充完整，根据图象写出函数在上的单调区间； (2)求函数在上的解析式. 九、*单选题 17．已知函数，若在上单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 十、*多选题 19．已知是函数的一个零点，若，都有，则（    ） A． B． C．有最大值 D．是奇函数 20．已知是定义在上的偶函数，且，当时，+1，则下列各选项正确的是（    ） A．当时， B．的周期为4 C． D．的图象关于对称 十一、*填空题 21．函数，对使成立，则的取值范围是 . 22．已知函数是定义在上的偶函数，当，且，总有，则不等式的解集为 . 十二、*解答题 23．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断并证明函数在定义域内的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 24．已知函数，其中． (1)是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明． (2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 十三、单选题 25．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 26．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 27．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业04 函数的概念与性质综合 函数的概念及其表示 知识点1 函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的 任意一个数 ，在集合中都有 唯一确定的数 和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ． 知识点2 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的 定义域 ，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指： 定义域 ， 对应法则 ， 值域 . （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 知识点3 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数 定义域 相同， 对应关系 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 知识点4 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 知识点5 函数的表示方法 解析式；列出表格 知识点6 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 取值区间 ，有不同的 对应方式 ，则称其为分段函数. 函数的基本性质 知识点1 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 增函数 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 减函数 ，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 单调性 （区间I称为函数的 单调区间 ，也可分别称为 单调递增区间 和 单调递减区间 ） 知识点2 函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 知识点3 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 知识点4 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 轴 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 原点 对称 一、@单选题 1．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据范围代入解析式即可. 【详解】因为， 所以，. 故选：A. 2．下列函数中哪个与是同一个函数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数三要素中的定义域和对应关系是否相同，即可判断两个函数是否同一函数. 【详解】A.，与函数不是同一个函数，故A错误； B.的定义域是，而函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数，故B错误； C.的定义域是，与函数的定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误； D.的定义域为，且，所以与函数是同一函数，故D正确. 故选：D 二、@多选题 3．已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意令，，求出对应的x值，结合二次函数的性质以及选项即可求解. 【详解】令，解得； 令，解得； 由二次函数的图象与性质可得，若要使函数的值域是， 则它的定义域是可能是，，． 故选：ACD． 4．下列每组中的函数不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数； 对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于D，函数的定义域为{，且}，函数的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数． 故选：ACD． 三、@填空题 5．函数的定义域是 . 【答案】且 【分析】根据题意列出不等式组求解即可. 【详解】解：由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为：且. 故答案为：且 6．函数在上单调递增，，则 . 【答案】 【分析】分析可知，存在唯一的实数，使得，可得出，由可求得的值，进而可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】因为函数在上单调递增，则存在唯一的实数，使得， 又因为，则，即, 所以，，解得，所以，，故. 故答案为：. 四、@解答题 7．判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)不是集合A到集合B的函数 (2)是集合A到集合B的函数 (3)不是集合A到集合B的函数 (4)是集合A到集合B的函数． 【分析】函数要求对于数集A中的任意一个实数，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的数与它对应，由此可判断题中关系是否为函数. 【详解】（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． （2）对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数． （3）集合A中的负整数没有平方根，故在集合A中有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函数． （4）对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 8．已知定义在上，且，当时，． (1)求证：当时，； (2)求证：在上单调递减． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数满足的表达式及其函数值，由并结合不等式性质可证明； （2）利用函数单调性定义证明即可. 【详解】（1）由题可知， 由，得， 而，当时，， 从而，即． 另解：，． （2）对于任意的，， 由于，所以有， 故， 即在上单调递减． 五、#单选题 9．若偶函数在上单调递增，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数有，结合区间单调性即可得答案. 【详解】由偶函数知：， 又在上单调递增且， 所以，即. 故选：D. 10．定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小． 【详解】∵函数图象关于对称，且对任意， 当时都有， ∴在上单调递减，在单调递增， ， ∵，∴， ∴． 故选：B． 六、#多选题 11．已知定义在R上的函数满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．不存在零点 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，令，可得， 因为，所以，所以A正确； 对于B中，函数的定义域为全体实数，由，显然不符合， 所以函数不是奇函数，所以B不正确； 对于C中，由，令，可得， 即，解得或， 所以函数没有零点，所以C正确； 对于D中，由， 令，可得，所以，即， 所以D正确. 故选：ACD． 12．对于函数（），下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为. B．函数在上为增函数. C．函数在上为减函数. D．当时，函数为奇函数. 【答案】ABD 【分析】由解析式可直接判断定义域，由，结合的单调性可判断的单调，由奇偶性的定义可判断是否为奇函数； 【详解】对于A选项，由解析式易知函数的定义域为，故A正确； 对于B选项，函数的定义域为，而为增函数，为减函数，故是增函数. 证明如下：任取，当，则， .故在上为增函数.故B正确，C错误； 对于D选项，假设存在实数，使为奇函数，则，， 即，，. 故存在实数，使函数为奇函数，故D正确. 故选：ABD 七、#填空题 13．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，即可的解. 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 由图象知的值域为. 故答案为： 14．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分，和，画出和的图象，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】当时，显然恒成立． 当时，可以理解为将的图象向右平移个单位长度后， 得到的的图象始终在的图象的下方（或重合）， 当时，画出和的图象，如下： 需满足，又，解得2； 当时，画出和的图象，如下： 的图象始终在的图象的下方，满足要求， 综上，故的取值范围为． 故答案为： 八、#解答题 15．用平移图像的方式作出的图像，并说明函数的值域． 【答案】作图见解析，值域为 【分析】由解析式分析出的图像是由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，再根据图像即可得出值域． 【详解】首先作出的图像， 向右平移1个单位得到的图像， 向上平移2个单位得到的图像，    从图像可以看出的值域为． 16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，现已画出函数在轴右侧的图象，如图所示.      (1)请将函数的图象补充完整，根据图象写出函数在上的单调区间； (2)求函数在上的解析式. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用奇函数图象关于原点对称，可作图分析函数的单调性； （2）利用奇函数恒等式可求解对称区域解析式，即可求解. 【详解】（1）根据奇函数的图象关于原点对称可得图象,如图所示：    结合图象可得函数的单调递增区间为：， 单调递减区间为：； （2）因为时，， 当时，， ， 因为函数为奇函数，， 所以当时，， 又函数为奇函数且定义域为，则， 故. 九、*单选题 17．已知函数，若在上单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性求参数的取值范围. 【详解】由题意，函数在上单调递减， 则. 故选：D 18．若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，所以转化为，即可得到. 【详解】由题意知， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 又，使得成立，所以，解得，即的最小值为. 故选：B. 十、*多选题 19．已知是函数的一个零点，若，都有，则（    ） A． B． C．有最大值 D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】利用赋值法可判断A；令，得，进而求得；构造函数可排除C，设，则，令即可证明函数是奇函数. 【详解】由题意，，令，则，解得， 对于A，令，则，解得， 令，则，解得，故A正确； 对于B，令，则， 则，故B正确； 对于C，设函数， 此时，，符合题意； 此时，的值域为，则无最大值，故C错误； 对于D，设， 因为，有， 即，有， 所以，有， 令，则，所以函数是奇函数， 即函数是奇函数，故D正确； 故选：ABD. 20．已知是定义在上的偶函数，且，当时，+1，则下列各选项正确的是（    ） A．当时， B．的周期为4 C． D．的图象关于对称 【答案】AB 【分析】利用是定义在上的偶函数可判断A；利用得的周期可判断BC；利用特殊值可判断D. 【详解】是定义在上的偶函数，设，则， ，故A正确； 由得，的周期为4，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 十一、*填空题 21．函数，对使成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一次函数与二次函数的性质，求得函数在固定区间上的值域，结合题意，建立不等式组，可得答案. 【详解】由函数，则其单调性为单调递增，所以其在上的值域为； 由函数，根据二次函数的性质，其在上的值域为； 根据题意，，可得不等式组，解得， 所以可得. 故答案为：. 22．已知函数是定义在上的偶函数，当，且，总有，则不等式的解集为 . 【答案】. 【分析】由题意可得在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以有，求解即可. 【详解】解：因为，且时，， 假设，则， 所以， 所以， 所以在上单调递减， 又是偶函数， 所以在上单调递增， 由， 又因为， 所以， 所以， 解得， 原不等式的解集为. 故答案为： 十二、*解答题 23．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断并证明函数在定义域内的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，， (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，，列出方程组，能求出，，由此能求出. （2）在上单调递增，利用定义法能进行证明. （3）由，得，利用函数的定义域和单调性列出不等式组，能求出实数的取值范围. 【详解】（1）是定义在上的奇函数，且， ，解得，， 经检验，，满足题意，. （2）在上单调递增，证明如下： 在上任取，，令， 则， ，，，，， ， 在上单调递增. （3），， ，解得. 实数的取值范围是. 24．已知函数，其中． (1)是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明． (2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可． （2）利用基本不等式求的最小值解决恒成立问题. 【详解】（1）函数定义域为R，若是奇函数，则，解得， 此时，，符合题意， 故. （2）当时，， 由，则，当且仅当，即时等号成立， 所以，又不等式恒成立，得， 则实数的取值范围为. 十三、单选题 25．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 26．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 27．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $