寒假作业03 基本不等式及其应用（知识回顾+基础作业+中等特训+难题拔高+链接高考）-2026年高一数学上学期寒假“承上启下”冲刺复习作业秘籍（人教A版）

寒假作业03 基本不等式及其应用 基本不等式 知识点1 基本不等式 如果，那么（当且仅当 时取“=”）. 说明： ①对于非负数，我们把称为的 ，称为的 . ②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有；另一方面当 时，有. ④ 结构特点：和式与积式的关系. 知识点2 利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值 ； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值． 知识点3 几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式： （a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式： （，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. 知识点4 基本不等式链 一、@单选题 1．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 二、@多选题 3．下列命题正确的是（    ） A．若，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．若，则的最大值是 D．若，，，则的最小值是 4．若a，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、@填空题 5．已知，若的最小值大于9，则满足条件的一个的值为 ． 6．已知，，且，则的最小值为 ． 四、@解答题 7．已知，，则，，，中哪一个最大？ 8．（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 五、#单选题 9．如果两个正方形的边长之和为2，那么它们的面积之和的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 10．若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 六、#多选题 11．下列说法正确的有（ ） A．若，那么 B．若，则 C．若，则有最小值2 D．若，则有最大值1 12．已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值是1 B．的最小值是4 C．的最大值是 D．的最小值是1 七、#填空题 13．若已知，则取最小值时a的值为 14．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 八、#解答题 15．某公司计划在本地租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．经测算，若在距离车站10km处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站多远处？ 16．如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周（斜线部分）铺设宽度相同的观赏通道.已知三块花卉的面积均为150平方米.    (1)若矩形花卉的长比宽至少多5米，求花卉宽的取值范围； (2)若矩形花卉四周及中间观赏通道的宽度均为2米，在（1）的条件下，求矩形花卉宽为多少时，观赏通道的面积最小，并求其最小值. 九、*单选题 17．已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．4 D． 18．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 十、*多选题 19．已知正实数a，b满足，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则的最小值为3 D．若，，则 20．已知，都为正数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 十一、*填空题 21．已知，则的最小值是 ． 22．定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 . 十二、*解答题 23．(1)已知，，且，求xy的最小值； (2)若正数x，y满足，求的最小值； (3)已知，求函数的最小值. 24．已知正实数x，y满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 十三、单选题 25．已知，则（   ） A． B． C． D． 十四、填空题 26．设，则的最小值为 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业03 基本不等式及其应用 基本不等式 知识点1 基本不等式 如果，那么（当且仅当 时取“=”）. 说明： ①对于非负数，我们把称为的 算术平均数 ，称为的 几何平均数 . ②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有；另一方面当 时，有. ④ 结构特点：和式与积式的关系. 知识点2 利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值 ； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值． 知识点3 几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式： （a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式： （，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. 知识点4 基本不等式链 一、@单选题 1．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可. 【详解】因为，显然有，故A正确； 而，所以，故B正确； 又，所以，故C正确； 不妨令则，故D错误. 故选：D. 2．已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】由基本不等式求解即可． 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1， 而，且，故无最小值. 故选：A 二、@多选题 3．下列命题正确的是（    ） A．若，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．若，则的最大值是 D．若，，，则的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式逐项判断，注意不等成立的前提条件． 【详解】对于选项，若均为负数，不等式不成立，所以错误； 对于选项，，所以， 则， 所以，，当且仅当，即当时，等号成立，故正确； 对于选项，因为，，当且仅当即时，等号成立，所以，故正确； 对于选项，因为，所以， 所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是，故错误． 故选：． 4．若a，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质可判断AB；利用基本不等式求最值可判断CD. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，当且仅当时等号成立，但，故C错误； 对于D，若，则，当且仅当即等号成立，但， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、@填空题 5．已知，若的最小值大于9，则满足条件的一个的值为 ． 【答案】6（答案不唯一） 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为，则，所以， 故答案为: 6（答案不唯一）. 6．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得代入，结合不等式求解即可. 【详解】由可得：， 所以， 当且仅当即. 故答案为：. 四、@解答题 7．已知，，则，，，中哪一个最大？ 【答案】 【分析】先利用基本不等式判断最大数为或，再做差判断正负可得出最大的数. 【详解】因为，，所以，， 所以四个数中最大的数应为或； 又因为，，所以 所以，所以最大. 8．（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 【答案】（1）（i）（ii）；（2）32 【分析】根据基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘 “1”法即可求解（ii）， 【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得， 故，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为64； （ii），，， ，当且仅当且， 即，时等号成立，即 取得最小值18； （2）由可得 当且仅当，即时等号成立 故的最小值为32. 五、#单选题 9．如果两个正方形的边长之和为2，那么它们的面积之和的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式解决实际问题即可； 【详解】设一个正方形的边长为x，面积之和为y， 则另一个正方形的边长为，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故两个正方形面积之和的最小值为 故选：D 10．若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】方法一  由，从而，利用基本不等式求解；方法二  对原条件式转化得，得到 ，利用基本不等式求解； 【详解】解：方法一  由条件得， 由，知， 从而， 当且仅当，即，时取等号． 故的最小值为5． 方法二  对原条件式转化得， 则 ， 当且仅当，，即，时取等号． 故的最小值为5． 故选：D 六、#多选题 11．下列说法正确的有（ ） A．若，那么 B．若，则 C．若，则有最小值2 D．若，则有最大值1 【答案】BD 【分析】利用举反例排除A项；利用作差比较法判断B项；利用基本不等式取等条件不满足排除C项；分类考虑的取值情况，先凑项再运用基本不等式求值判断D项. 【详解】对于A，若取，满足，但，故A错误； 对于B，因，则，所以，故B正确； 对于C，因，由， 当且仅当时，即时等号成立，因，则等号不成立，故C错误； 对于D，当时，；当，， 若，因， 当且仅当，即时等号成立，此时的最大值为1； 若，显然 ，故D正确. 故选：BD. 12．已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值是1 B．的最小值是4 C．的最大值是 D．的最小值是1 【答案】AC 【分析】对于A、B、D：利用基本不等式求出最值，即可判断；对于C：利用二次函数求最值. 【详解】正数x，y满足. 对于A：，所以.（当且仅当时“=”成立）. 所以的最大值是1.故A正确； 对于B：因为，所以，所以，所以（当且仅当时“=”成立）.故B错误； 对于C：因为正数x，y满足，所以，其中， 所以， 所以当时，的最大值是.故C正确； 对于D：因为正数x，y满足，所以， 所以（当且仅当，即时“=”成立）.故D错误. 故选：AC 七、#填空题 13．若已知，则取最小值时a的值为 【答案】 【分析】利用基本不等式求目标式的最小值，根据取值条件确定对应参数值. 【详解】由题设， 当且仅当，即时等号成立， 所以目标式取最小值时a的值为. 故答案为： 14．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 八、#解答题 15．某公司计划在本地租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．经测算，若在距离车站10km处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站多远处？ 【答案】 【分析】用字母表示相应的最，建立等式关系，利用待定系数法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】设每月土地费用为（万元），每月货物的运输费用为（万元）， 仓库到车站的距离为（千米），两项费用之和为， 因为每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比． 所以设，，， 因为在距离车站10km处建仓库，每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元， 所以， 因此，显然， 所以，当且仅当时取等号， 即当时取等号， 因此要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站处. 16．如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周（斜线部分）铺设宽度相同的观赏通道.已知三块花卉的面积均为150平方米.    (1)若矩形花卉的长比宽至少多5米，求花卉宽的取值范围； (2)若矩形花卉四周及中间观赏通道的宽度均为2米，在（1）的条件下，求矩形花卉宽为多少时，观赏通道的面积最小，并求其最小值. 【答案】(1) (2)花卉宽为10米时，观赏通道面积最小，最小值是272平方米 【分析】（1）设草坪的宽为，根据草坪的面积来求得的取值范围. （2）先求得整个观赏通道面积的表达式，结合基本不等式求得最小值以及此时的值. 【详解】（1）设矩形花卉的宽为，则长为， 依题意，即， ，即. 所以花卉宽的取值范围是. （2）依题意所有观赏通道的面积 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以花卉宽为10米时，观赏通道面积最小，最小值是272平方米. 九、*单选题 17．已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】由基本不等式乘1法即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以所求最小值为． 故选：D 18．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】变换，再利用均值不等式计算最值即可. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A 十、*多选题 19．已知正实数a，b满足，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则的最小值为3 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】把的相应值代入，结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可． 【详解】因为， 对于A，当时，，则， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，则， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，当时，，则， 则 ， 当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于C，当时，，解得（舍负）， 当且仅当时取等号，故D正确． 故选：ACD． 20．已知，都为正数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式一一分析判断即可. 【详解】对于A：，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 则的最大值为，故A正确， 对于B：，，， ， ，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值为，故B正确， 对于C：，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 显然不成立，所以，则其最小值不为，故C错误， 对于D，，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值为，故D正确. 故选：ABD． 十一、*填空题 21．已知，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，代入利用基本不等式计算可得. 【详解】∵， ∴且， ∴， 当且仅当，即，时取等号， ∴的最小值为. 故答案为：. 22．定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 . 【答案】 【分析】由题先分析出实数，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可. 【详解】因为，， 所以两个数中有一个负数，不妔设，所以， 由已知可得，所以， 所以，所以， 所以，所以， 由，故的最大值是. 故答案为： 十二、*解答题 23．(1)已知，，且，求xy的最小值； (2)若正数x，y满足，求的最小值； (3)已知，求函数的最小值. 【答案】(1)16；(2)5；(3)5. 【分析】(1)利用基本不等式将题设中的转化为xy，得到关于的不等式，求解不等式即可得出的最小值； (2)将两边同时除以5xy得，利用结合基本不等式即可求解； (3)将配为，结合和基本不等式即可求解. 【详解】(1)， 又，即， ，即， 当且仅当时，等号成立． ∴xy的最小值为16． (2)， ， ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为5﹒ (3)， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为5﹒ 24．已知正实数x，y满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，因为x，y为正数，所以．将原式变形得，再利用均值不等式求最值即可； （2）由（1）知，所以，再利用均值不等式求最值即可； （3）由（1）知，，再化简结合均值不等式求最值即可. 【详解】（1）因为， 所以，即． 由于x，y为正数，所以，所以． 于是 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． （2）由（1）知，所以， 故 ， 当且仅当时等号成立, 故的最小值为． （3）由（1）知， 所以 ， 取等条件： 故的最小值为． 十三、单选题 25．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 十四、填空题 26．设，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $