寒假作业02 不等式的性质、二次函数与二次不等式综合（知识回顾+基础作业+中等特训+难题拔高+链接高考）-2026年高一数学上学期寒假“承上启下”冲刺复习作业秘籍（人教A版）

寒假作业02 不等式的性质、二次函数与二次不等式综合 等式与不等式的性质 知识点1 等式的性质 性质1 如果，那么_____； 性质2 如果，，那么____； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么____； 知识点2 比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 知识点3 不等式的性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 ＜ 2 传递性 ＞ 3 可加性 ＞ 推论1：； 推论2： 4 可乘性 ＞ ； 推论3：； 推论4： ＞ （，）； 推论5： 5 取倒数 ＜ 一元二次不等式与其他常见不等式的解法 知识点1 解一元二次不等式 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根，（） 有两个相等实根 没有实根 一元二次不等式的解集 或 R 一元二次不等式的解集 写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件． （1），恒成立的充要条件是 且 ． （2），恒成立的充要条件是 且 ． （3），恒成立的充要条件是 且 ． （4），恒成立的充要条件是 且 ． 知识点2 解分式不等式 ① ② ③ ④ 知识点3 解根式、高次不等式 根式不等式可平方求解，高次不等式可用数轴穿根法求解. 知识点4 解指对数不等式 指对数不等式结合单调性求解，特别注意底数对于函数单调性的影响及对数的真数大于0. 一、@单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C 2．若两个非零实数，满足，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由两个非零实数满足， 对于A中，可得，则且，所以A正确； 对于B中，由，可得，所以，所以B正确； 对于C中，例如：时，满足，此时，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D正确. 故选：C. 二、@多选题 3．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据二次不等式解集可知，且方程的两根分别为2，3，结合韦达定理可得之间的等量关系，分别代入各个选项即可得出结果. 【详解】解：因为的解集为， 所以，且方程的两根分别为2，3， 由韦达定理可知：，结合， 解得，所以， 所以选项A、B正确； 因为，所以选项C正确； 因为，所以选项D错误. 故选：ABC 4．对于实数，，，下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】A.取特殊值判断；B.利用不等式的基本性质判断；C.取特殊值判断；D. 利用不等式的基本性质判断； 【详解】根据，取，，则不成立，故A错误； ，由不等式的基本性质知成立，故B正确； 由，取，，则不成立，故C错误； ，，， 即，，，，故D正确． 故选：BD 三、@填空题 5．若实数满足不等式，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式，即，解得，则的取值范围是. 故答案为：. 6．若关于x的不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】先考虑时的情况，再考虑时的情况，当时根据一元二次不等式恒成立问题的解法即可求解. 【详解】当即时，不等式可化为，此时不等式恒成立， 当即时，若对一切实数x都成立， 则，解得， 综上所述，若对一切实数x都成立，则. 故答案为： 四、@解答题 7．解不等式：． 【答案】 【分析】利用化商为积的思想将其转化为一元二次不等式求解即得.(注意分母不为0) 【详解】 由可得：或，又，则得： ：或， 即不等式的解集为：. 8．已知. (1)分别求出中关于的不等式的解； (2)当时，若是的必要且不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解的特征，即可分类讨论求解， （2）将必要不充分条件转化为真子集的关系，即可根据集合的包含关系求解. 【详解】（1），            不等式的解集为：.                                    当，即时，，此不等式的解集为：. 当，即时，此不等式的解集为：   当，即时，此不等式的解集为： （2）记命题对应的集合为， 当时，对应的集合为； 是的必要且不充分条件，则,             则满足：，则，              又，. 五、#单选题 9．设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助不等式的性质对选项逐个分析即可得. 【详解】对A：若，则由，有，故错误； 对B：若，则有，故错误； 对C：若，则有，故错误； 对D：由，则，，故，故正确. 故选：D. 10．不等式（其中）的解集不是（ ） A．且 B． C． D．或或 【答案】D 【分析】对于每个选项可选取的特殊值进行判断即可. 【详解】A选项，若，， 由穿针引线法可知，不等式解集为且，A正确； B选项，当时，，解得，B正确； C选项，当时，，解集为，C正确； D选项，由于解集中出现了，故， 此时， 由穿针引线法可知，不等式解集为，D错误； 故选：D 六、#多选题 11．若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项. 【详解】因为，， 对于A选项，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，不妨取，，，，此时，B错； 对于C选项，当时，则，C错； 对于D选项，因为，故，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：AD. 12．定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（    ） A．方程是“和谐方程” B．若关于的方程是“和谐方程”，则 C．若关于的方程是“和谐方程”，方程的根为和 D．若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 【答案】AD 【分析】根据“和谐方程”的定义，逐一分析选项. 【详解】对于A．，解得，所以是“和谐方程”，A正确； 对于B，若关于的方程是“和谐方程”， 不妨设实数解为，且，则， 解得，B错误； 对于C，若关于的方程是“和谐方程”， 不妨设实数解为，且，则，解得， 由，得， 则， 令，解得或，C错误； 对于D，点在反比例函数的图象上，则， 代入方程， 可得，解得，， 则，所以方程是“和谐方程”，D正确． 故选：AD． 七、#填空题 13．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将因式分解后即可求出解集，要注意隐藏条件. 【详解】不等式可化为， . 故答案为：. 14．若，且，求 . 【答案】 【分析】根据已知可得且，解方程即可得答案. 【详解】由题设，且，， 所以，即，可得. 故答案为： 八、#解答题 15．（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）移项、作差转化为一元二次不等式即可； （2）对于绝对值不等式，平方后可去掉绝对值，然后解不等式即可. 【详解】（1）移项有，即，即，且， 解得或， 则其解集为. （2）由不等式，可得， 即，即， 解得，即原不等式的解集为. 16．已知二次函数满足，且 (1)求函数的解析式. (2)当时，求函数的最大值（用表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到，将解析式代入得到，得到答案. （2）确定函数的单调区间，考虑，，三种情况，分别计算最大值得到答案. 【详解】（1），，所以，， 即， 所以，解得 ，所以. （2），开口向下，在上单调递增，在 单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减， 所以； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以. 综上所述： 九、*单选题 17．若不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式的解集为，，先求解不等式组的解集是空集时，令，根据二次函数的图象性质求解，进而可得解集不为空集的范围． 【详解】由， 若不等式组的解集是空集， 在上恒成立， 令，则二次函数开口向上，且对称轴为直线， 在上单调递增， 要使在上恒成立， 则，解得． 故不等式组的解集不是空集，实数的取值范围是． 故选：B 18．已知函数，若非空集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合A非空，得出在R上有解，进而解得a的范围，再根据两集合相等，得出在R上恒成立，利用判别式求得a的范围，综合即可求得a的范围. 【详解】集合是非空集合，所以在R上有解， 则，解得或①， 由可得， 即， 由，可得在R上恒成立， 即，解得②， 综合①②可得：. 故选：A 十、*多选题 19．已知关于的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则下列关系式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由不等式的解集，可知，从而判断A错误；根据图像的平移变换，可得变换前后对称轴不变，即，变形后可判断B正确；根据,亦可判断C正确，通过举反例，即可判断D错误. 【详解】解：由题意得,故A错误， 因为将二次函数的图像上的所有点向上平移1个单位长度， 得到二次函数的图像， 所以,即，B正确， 如图，又，所以，C正确， 当时，，， 所以，D错误. 故选：BC. 20．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．已知，若，则 【答案】ACD 【分析】作差比较大小即可判断AD；举反例即可判断B；根据不等式的性质计算即可判断C. 【详解】对A，，则，，A正确； 对B，，例如，但，B错； 对C，，则，C正确； 对D，因为，则，所以，D正确. 故选：ACD. 十一、*填空题 21．如果a>b，给出下列不等式： ①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b. 其中一定成立的不等式的序号是 ． 【答案】②⑥ 【分析】对分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立. 【详解】令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥. 【点睛】本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥. 22．若不等式的解集为，那么不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，所以， 所以不等式可整理为 ， 即， 也即，解得， 故答案为: . 十二、*解答题 23．已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式有且仅有2个整数解，求正实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）因为，当时，，由，可得不等式，即可求得答案； （2）对分类讨论解不等式分析找到满足的不等式，解不等式即得解. 【详解】（1） 当时， 由，可得不等式 即： 即： 可得： 当时，不等式的解集为， 故：不等式的解集为：； （2） 又 可得 等式可化为， ①，即时，原不等式的解集为，不满足题意； ②当，即时，， 此时， 要保证关于的不等式有且仅有2个整数解 ； ③当，即时，， 要保证关于的不等式有且仅有2个整数解 只需，解得； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题. 24．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)若两根同号，求实数的取值范围； (2)求使得的值为整数的整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程两个不相等的实数根．则，两根同号则，解不等式组可得； （2）变形为，由韦达定理代入整理可得，由整数要求得，进而求解验证值可解. 【详解】（1）由题意得即， 所以实数的取值范围为； （2）由（1）知，当时，方程有两个实数根， 可知， 于是， 由，则，则， 即要使的值为正整数，且为整数，则， 则有，化简得，则， 令，此时为整数，则满足题意． 故使得的值为整数的整数的值为. 十三、单选题 25．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 十四、填空题 26．若，对，均有恒成立，则的最小值为 【答案】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业02 不等式的性质、二次函数与二次不等式综合 等式与不等式的性质 知识点1 等式的性质 性质1 如果，那么 ； 性质2 如果，，那么 ； 性质3 如果，那么 ； 性质4 如果，那么 ； 性质5 如果，，那么 ； 知识点2 比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 知识点3 不等式的性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 2 传递性 3 可加性 推论1：； 推论2： 4 可乘性 ； 推论3：； 推论4： （，）； 推论5： 5 取倒数 一元二次不等式与其他常见不等式的解法 知识点1 解一元二次不等式 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根，（） 有两个相等实根 没有实根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件． （1），恒成立的充要条件是 且 ． （2），恒成立的充要条件是 且 ． （3），恒成立的充要条件是 且 ． （4），恒成立的充要条件是 且 ． 知识点2 解分式不等式 ① ② ③ ④ 知识点3 解根式、高次不等式 根式不等式可平方求解，高次不等式可用数轴穿根法求解. 知识点4 解指对数不等式 指对数不等式结合单调性求解，特别注意底数对于函数单调性的影响及对数的真数大于0. 一、@单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 2．若两个非零实数，满足，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 二、@多选题 3．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D． 4．对于实数，，，下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、@填空题 5．若实数满足不等式，则的取值范围是 . 6．若关于x的不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是 四、@解答题 7．解不等式：． 8．已知. (1)分别求出中关于的不等式的解； (2)当时，若是的必要且不充分条件，求实数的取值范围. 五、#单选题 9．设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 10．不等式（其中）的解集不是（ ） A．且 B． C． D．或或 六、#多选题 11．若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（    ） A．方程是“和谐方程” B．若关于的方程是“和谐方程”，则 C．若关于的方程是“和谐方程”，方程的根为和 D．若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 七、#填空题 13．不等式的解集为 . 14．若，且，求 . 八、#解答题 15．（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集 16．已知二次函数满足，且 (1)求函数的解析式. (2)当时，求函数的最大值（用表示） 九、*单选题 17．若不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知函数，若非空集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 十、*多选题 19．已知关于的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则下列关系式中正确的有（    ） A． B． C． D． 20．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知，则 D．已知，若，则 十一、*填空题 21．如果a>b，给出下列不等式： ①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b. 其中一定成立的不等式的序号是 ． 22．若不等式的解集为，那么不等式的解集为 ． 十二、*解答题 23．已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式有且仅有2个整数解，求正实数的取值范围． 24．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)若两根同号，求实数的取值范围； (2)求使得的值为整数的整数的值． 十三、单选题 25．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 十四、填空题 26．若，对，均有恒成立，则的最小值为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $