江西省南昌市第一中学2025-2026学年高三上学期数学周测（四）

南昌一中2025-2026学年度高三数学周练四 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．是虚数单位，复数满足：，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 4．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为（   ） A． B． C．2 D．3 5．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 6．已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（   ） A．0 B．±1 C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．将6名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为（    ） A．260 B．280 C．360 D．390 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现2点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件A与B互斥. D．对于随机事件A与B，若，，则事件A与B独立. 10．动点P在椭圆C上，，为C的左、右焦点，直线和直线分别交C于点A，B，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（   ） A．椭圆焦距为3 B．离心率 C．面积最大值为12 D．和斜率乘积为定值 11．如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列为公差为的等差数列，且、、依次成等比数列，则 ． 13．二项式的展开式中，含项的系数是 ．（用数字作答） 14．设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在中，已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 16．如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．某校以“和经典相伴，与书香同行”为主题举行学习活动．为了解男女同学对该活动的感兴趣程度，对该校多位同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中为正整数． 参加 不参加 合计 男生 女生 合计 (1)当足够大时，估计该校任一不参加活动的学生是男生的概率； (2)若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求的最小值． 附： 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)证明：． 19．已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点在椭圆M上．过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B，C两点． (1)求椭圆M的方程； (2)证明直线BC的斜率为定值； (3)求面积的最大值． 试卷第16页，共17页 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌一中2025-2026学年度高三数学周练四 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的计算和交集的运算可得结果. 【详解】由，又，所以. 故选：C. 2．是虚数单位，复数满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，再求即可. 【详解】因为，所以. 故选：A 【点睛】本题主要考查共轭复数，同时考查复数的运算，属于简单题. 3．已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】法一：对，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得答案. 【详解】法一：， 即； 法二 由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图， 若，，，，， 则，，故. 故选：C. 4．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为，根据已知条件求出，再利用勾股定理可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为， 由，得，又， 所以，解得，； 所以圆锥的高为. 故选：A. 5．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 6．已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（   ） A．0 B．±1 C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆的方程得出圆心坐标和半径；再根据题意分析得出圆心O到直线：的距离d为1；最后利用点到直线距离公式等式求解即可. 【详解】圆的圆心坐标是，半径为2. 因为圆上恰有三个点到直线距离等于1， 所以圆心O到直线：的距离d为1，即，得. 故选：C. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角差的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化 【详解】因为，解得， 所以 . 故选：C 8．将6名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为（    ） A．260 B．280 C．360 D．390 【答案】A 【分析】分三地分别有1人、1人、4人，人、人、人，各有2人三种情况讨论，在每种情况中用总数减去去甲地和、去同一个地方的情况数，再加上、去甲地的情况数，即可得到答案. 【详解】（1）三地分别有1人、1人、4人共有种； ①去甲地，如果甲地有人，则有种，如果甲地有人，则有种，所以去甲地共有种； ②、去同一个地方，有种； ③、去甲地，有种； 所以，三地分别有1人、1人、4人的情况下，符合题意的共有种； （2）三地分别有人、人、人共有种； ①去甲地，如果甲地有人，有种，如果甲地有人，有种，如果甲地人，有种，所以去甲地共有种； ②、去同一个地方，如果这个地方有人，有种，如果这个地方有人，有种，所以、去同一个地方共有种； ③、去甲地，如果甲地有2人，则有种，如果甲地有3人，则有种，所以、去甲地共有种； 所以，三地分别有人、人、人的情况下，共有种； （3）三地各有2人，共有种； ①去甲地，有种； ②、去同一个地方，有种； ③、去甲地，有种； 所以，三地各有2人的情况下，符合题意的共有种； 综上，符合题意的安排方案共有种， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现2点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件A与B互斥. D．对于随机事件A与B，若，，则事件A与B独立. 【答案】ABD 【分析】利用二项分布的数学期望公式计算可判断A；利用正态分布密度曲线的对称性计算可判断B；举例法可判断C；计算可得，可判断D. 【详解】对于A，因为随机变量，所以，故，故A正确； 对于B，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称， 又因为，所以，所以，故B正确. 对于C，抛掷两次，第一次为2点，第二次出现3点，则事件A，B同时发生，故A，B不互斥，故C错误. 对于D，，又， 所以，即事件A与B相互独立，故D正确； 故选：ABD. 10．动点P在椭圆C上，，为C的左、右焦点，直线和直线分别交C于点A，B，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（   ） A．椭圆焦距为3 B．离心率 C．面积最大值为12 D．和斜率乘积为定值 【答案】BC 【分析】由焦点弦三角形的周长为得，由左顶点和上顶点距离为得，从而，判断AB选项，由焦点弦三角形的面积判断C选项，由直线斜率公式和椭圆上的点满足椭圆的方程计算判断D选项. 【详解】因为点P，A在椭圆上，所以，， 故的周长为， 解得，因为左顶点和上顶点的距离为， 解得，则，焦距为，故A错误； ，故B正确； ， 当点P位于轴上时，面积取得最大值12，故C正确； 设，则，即， 因为，，所以，， 故不是定值，故D错误. 故选：BC. 11．如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【分析】由线面垂直的性质定理可判断A，由三棱锥的体积公式计算可判断B，由直棱锥的外接球半径计算方法可判断C，作出过，C，E三点确，进而求得截面的周长判断D. 【详解】对于A，∵，，， 平面，平面，∴平面， 又平面，∴，故A正确； 对于B：三棱锥的体积，故B错误； 对于C，设三棱锥的外接球的半径为， 的外接圆半径为，， 在中，由余弦定理得，， 所以，则有， 三棱锥的外接球的表面积为，故C正确. 对于D，如图，过，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形 （其中F为的中点，故等腰梯形的周长为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列为公差为的等差数列，且、、依次成等比数列，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，结合题意可得出关于的方程，求出的值，即可得出的值. 【详解】因为数列为公差为的等差数列，由题意可得，即， 解得，故. 故答案为：. 13．二项式的展开式中，含项的系数是 ．（用数字作答） 【答案】84 【分析】由二项式定理求解. 【详解】二项展开式通项公式为， 所以的系数为，即， 故答案为：84. 14．设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为 . 【答案】/ 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义及平行关系求出切线方程，进而求出最大距离. 【详解】函数，求导得， 依题意，，即，解得， 则两条切线的斜率为，对应的两个切点为， 切线方程为和，即和， 切线过定点，切线过定点， 所以两平行线之间距离的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在中，已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用辅助角公式将化成，结合角的取值范围，可求角. （2）利用余弦定理，结合基本不等式，可求的最大值，再利用三角形的面积公式，可求三角形面积的最大值. 【详解】（1）因为，所以 又因为. 所以，故. （2）由余弦定理，，所以． 又因为，所以，即. 当且仅当时取等号． 所以面积. 所以面积的最大值为. 16．如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式求解即可； 法二：利用等体积法求得D到平面距离为，在中，由余弦定理得，进而求出，利用等面积法求得为点到交线的距离，设平面与平面的夹角为，求出，进一步求出，即可得解. 【详解】（1）因为平面，平面，则， 因为，即， 因为，平面，平面， 故平面. （2）法一：平面，， 以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以、、、、， ，，，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：因为， 所以， 又， 而，所以， 故，即D到平面距离为. 依题意，计算可得，在中，，，， 由余弦定理，得， 因为，所以， 又， 设为点D到交线的距离，则， 设平面与平面的夹角为， 所以，所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．某校以“和经典相伴，与书香同行”为主题举行学习活动．为了解男女同学对该活动的感兴趣程度，对该校多位同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中为正整数． 参加 不参加 合计 男生 女生 合计 (1)当足够大时，估计该校任一不参加活动的学生是男生的概率； (2)若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求的最小值． 附： 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用频率估计概率即可得出答案； （2）根据小概率值的独立性检验得到即可得出答案. 【详解】（1）设事件为“该校任一不参加活动的学生是男生”，由调查数据可知当足够大时，以频率估计概率可知该校任一不参加活动的学生是男生的概率． （2）零假设为：是否参加活动与性别无关． 由题意可得， 若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，即不成立， 则，解得． 因为为正整数，则的最小值为10． 18．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)证明：． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，，无单调递减区间 (3)证明见解析 【分析】（1）先求导，再求切线斜率和切点坐标，再写出切线方程. （2）由得增区间，由得减区间． （3）将函数解析式代入得，对求导得单调区间，求出最小值，得的关系，最后判断在定义域内是否都成立. 【详解】（1）， ， 故曲线在点处的切线方程为， 即曲线在点处的切线方程为． （2）设， 当时，单调递减. 当时，，单调递增. 于是，故，在上单调递增. 故的单调递增区间为，，无单调递减区间． （3）设函数. 当时，单调递减. 当时，单调递增. 于是．对于，有，即. 当时，，即，此时. 当时，，即，此时. 综上，. 19．已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点在椭圆M上．过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B，C两点． (1)求椭圆M的方程； (2)证明直线BC的斜率为定值； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给定的点求出即得椭圆M的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理并结合斜率坐标公式化简计算得证. （3）利用（2）的信息，利用弦长公式及点到直线的距离求出三角形面积关系式，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）设椭圆M的右焦点，则，而，解得， 所以椭圆M的方程为. （2）设直线的方程为，显然直线不过点，即， 由消去得，， 设，则， 由直线的倾斜角互补，得， 即， 整理得， 则， 整理得，因此， 所以直线BC的斜率为定值.    （3）由（2）知，直线的方程为，， ，即，， ， 点到直线的距离，的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 试卷第16页，共17页 试卷第6页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $