江西省南昌市第一中学2025-2026学年高三上学期数学周练（二）

南昌一中2025-2026学年度高三数学周练二 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再求出交集即可. 【详解】由，可得，解得， 所以，所以或， 所以或. 故选：C. 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】等价转化，再从集合的包含关系即可判断和选择. 【详解】因为，即，又是的真子集， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．已知，则下列各不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取特殊值排除A，B选项，利用指数函数的性质判断C选项，利用指数函数的性质结合基本不等式，从而判断D选项. 【详解】对A项，取，则，故A错误； 对B项，取，则，故B错误； 对C项，在上单调递减，，，故C错误； 对D项，在上单调递增，， 则，，当且仅当时取等号 即，故D正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据已知条件判断所给不等式是否成立，涉及了指数函数性质的应用，属于中档题 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列出不等式组，求出解集，即为定义域. 【详解】由题意得：，解得：，故定义域为 故选：C 5．已知，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】先求，再求，即可求解. 【详解】根据已知， 所以. 故选：. 6．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-2)等于(　　). A．-7 B．-3 C．7 D．3 【答案】A 【详解】为定义在上的奇函数，当时，为常数），，解得，，， ，故选A. 7．已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．675 B．1350 C．2025 D．4050 【答案】D 【分析】根据赋值法，用x替换y，y替换x得到，故是常函数，设，再结合可解即可求. 【详解】用x替换y，y替换x可得，当，时，，故可知是常函数，于是知当时，，其中c为常数，故，解得，于是. 故选：D. 8．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简得出，再应用基本不等式计算的最小值即可求解. 【详解】已知，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则（    ） A．当时， B． C．函数是增函数 D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】A选项，利用，得到A正确；B选项，举出反例；CD选项，画出的图象，得到函数单调性和值域，得到D正确. 【详解】A选项，时，，故，A正确； B选项，当时，，， 故此时，B错误； CD选项，的图象如下： 可以看出在R上不单调递增，且值域为，C错误，D正确. 故选：AD 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式的性质判断A，举反例判断B，C，构造函数后利用导数判断单调性，得到函数值的关系再判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确， 对于B，当时，，故B错误， 对于C，当，此时， ，故不成立，故C错误， 对于D，构造，恒成立， 所以在上单调递增，因为，所以， 故成立，故D正确. 故选：AD 11．已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用函数奇偶性的定义推导出，进一步可推导出，结合函数周期性的定义可判断A选项；利用函数解析式以及函数周期性可判断BCD选项. 【详解】因为是偶函数， 所以， 又因为是奇函数，所以，所以， 所以， 所以，所以的周期为，故A错误； 又当时，， 所以，选项B正确； ，选项C正确； ，选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知集合，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得. 【详解】由，故， 由，得， 故有，即，即， 即的最小值为. 故答案为：. 13．已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由幂函数的定义与单调性可得出关于实数的等式或不等式，解出，可得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得， 正数、满足，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 14．已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，可得出当直线与函数的图象有四个交点时的各根取值范围，求出实数t的取值范围，将代数式转化为关于t的函数，利用双勾函数的基本性质求出的取值范围. 【详解】作出函数图像可得，    从而得，且，从而得， 原式， 令，，， 令，则，， 在单调递增，， 最大值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知是等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式和. (2)若，记数列前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式、前项和公式求基本量，进而求得； （2）应用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由，设公差为， 结合题设有，解得， 故， . （2）由（1）有， 故 . 16．已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性(不需证明)； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】单调递增函数 【详解】试题分析：（1）由奇函数的定义和，求出的值；（2）由（1）有 ，因为在上是增函数，且，所以 在上是增函数，故在上是增函数；（3）由奇函数的定义将原不等式等价于，再由（2）知在上是增函数，所以对任意的，不等式恒成立，在求出实数的范围． 试题解析：由题意：是定义域为R的奇函数， 即， ， 当时，， ， 故满足题意 函数在R上为单调递增函数 由得等价于， 即对任意恒成立， 即， 故k的取值范围为． 17．已知多面体中，、均垂直于平面，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出四边形为平行四边形，可得出，由此能证明平面； （2）由，得平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，在平面内过点作于点，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离，由此能求出直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接、， 、分别为、的中点，则且， 、均垂直于平面，且，则，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，因此，平面； （2）由，平面，平面，平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， 在平面内过点作于点， 平面，平面，， ，，平面， 即就是到平面的距离，也就是点到平面的距离， 设， 则到平面的距离，， 因此，直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 18．某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 50 10 女性 25 15 40 总计 25 100 (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ (3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)，； (2)与性别有关 (3) 【分析】（1）利用表格数据直接计算即可. （2）列出零假设，计算，再进行独立性检验即可. （3）先判断服从二项分布，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，. （2）零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联. 根据列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05； （3）随机抽取1人购买B款车的概率为， X的可能取值有，由题意得， 由二项分布的期望公式得. 19．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、．过右焦点的直线交椭圆于点、，且的周长为．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求四边形面积的最大值． (3)记直线、的斜率分别为、，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的性质求出，利用离心率求出，进而求出，从而求出椭圆的标准方程； （2）设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合三角形面积公式得出面积表达式，进而求出面积最大值； （3）设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合斜率关系求出的值，从而证明结论． 【详解】（1）的周长为，由椭圆的性质可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， ，解得，，，， 椭圆的标准方程为：． （2）设过点的直线的方程为，联立椭圆方程得，整理得， 设点，由韦达定理得， ， 令，则， ，令，求导得，， ，，函数单调递减， 当时取得最大值，最大值为， 的最大值为． （3）设过点的直线的方程为，联立椭圆方程得，整理得， 设点，由韦达定理得， ， ，，， ， 为定值，命题得证． 试卷第16页，共17页 试卷第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌一中2025-2026学年度高三数学周练二 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则下列各不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B．0 C． D． 6．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-2)等于(　　). A．-7 B．-3 C．7 D．3 7．已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．675 B．1350 C．2025 D．4050 8．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则（    ） A．当时， B． C．函数是增函数 D．函数的值域为 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知集合，若，则的最小值为 ． 13．已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 14．已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知是等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式和. (2)若，记数列前项和为，求. 16．已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性(不需证明)； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．已知多面体中，、均垂直于平面，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 50 10 女性 25 15 40 总计 25 100 (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ (3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 19．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、．过右焦点的直线交椭圆于点、，且的周长为．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求四边形面积的最大值． (3)记直线、的斜率分别为、，证明：为定值． 试卷第16页，共17页 试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $