山东省临沂市沂水县第一中学2026届高三上学期高考数学模拟预测卷三

2026年高考数学模拟预测卷三 参考答案与评分标准 （时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知A，B为非空数集，，，则符合条件的B的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 解析 由题意，可能属于，可能属于，所以或或或，故满足条件的B的个数为个，故选D. 2．已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为 A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 解析 由题意，所以方程的两个复数根分别为或，所以.故选B. 3．一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为 A． B． C． D． 【答案】A 解析 依题意，设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则， 底面周长为，则，所以， 所以圆锥的表面积为，故选A. 4．已知函数，将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则函数的极值点为 A． B． C． D． 【答案】B 解析 的图象沿轴向左平移个单位长度得的图象， 依题意，，而，则，因此， 由得：，所以的极值点为.故选B 5．已知双曲线C的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长.若直线与C的一条渐近线垂直，则C的离心率为 A． B． C． D． 【答案】C 解析 ：根据渐近线与直线垂直可得渐近线方程为， 当双曲线的焦点在轴上时渐近线为，即， 因为双曲线的虚轴比实轴长，故不符合题意，舍去， 当双曲线的焦点在轴上时渐近线为，即，满足虚轴比实轴长， 所以，解得或（舍去），所以.故选C． 6．已知直线与曲线相切，则实数a的值为 A． B． C．0 D．2 【答案】A 解析 设切点为，易知，则，解之得，故选A 7．已知，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 解析 因为，， 所以， ， 即，所以， 因为，， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，取得最大值.故选B. 8．已知事件，，的概率均不为，则的充要条件是 A． B． C． D． 【答案】C 解析：对于A：因为，由， 只能得到，并不能得到，故A错误； 对于B：因为， ， 由，只能得到， 由于不能确定，，是否相互独立，故无法确定，故B错误； 对于C：因为，， 又，所以，故C正确； 对于D：由于不能确定，，是否相互独立， 若，，相互独立，则，， 则由可得， 故由无法确定，故D错误；故选C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，是单位向量，且，则以下结论正确的是 A．若，则 B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 解析 对于A，若，则时，也有，故A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，而，故，C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，D正确，故选BD 10.已知点在圆上，点在圆上，则 A．两圆外离 B．的最大值为9 C．的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为 【答案】ABC 解析 圆的圆心坐标，半径， 圆，即的圆心坐标，半径， 所以圆心距， 因为，所以两圆外离．故A正确； 因为在圆上，在圆上，所以，故B、C正确； 因为圆心到直线的距离，所以不是两圆公切线，故D错误；故选ABC． 11.如图，已知是边长为4的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，将沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥，则（    ） A．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3 B．存在某个点位置，满足平面平面 C．当时，直线与平面所成角的正弦值为 D．当时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为 【答案】ACD 解析 如图1，设，分别是，的中点.则，，，且. 对于A项，当平面平面时，四棱锥的体积最大. 的高为，四边形为高为的梯形，梯形面积，体积，故A正确； 对于B项，设平面平面，则，有，，可得平面，即为平面与平面所成的二面角，由可知，，故B错误； 对于C项，如图1，过点作，垂足为.由B分析可得，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面.所以即为与平面所成的角.由题意可知，，，，在中，由余弦定理可得，所以；在中，，所以与平面所成角的正弦值为，C正确 对于D项，当时，由，可知，即，又，且，则平面，又平面，则平面平面.四棱锥的外接球球心为，的外心为，则平面.如图2，易知点为等腰梯形的外心，则平面， 则四边形为矩形，且，从而有，从而该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为，故D正确.故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数的图象关于坐标原点对称，则__________. 【答案】 解析 由题意是一个奇函数，又，所以， 所以定义域为，因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得.又，所以， 所以，即，所以，所以. 13．设抛物线：的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的焦点到其准线的距离为___________. 【答案】2 解析 抛物线方程为，焦点，，准线方程为， 设，由抛物线性质，可得， 因为圆心是的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为， 由已知圆半径也为，据此可知该圆与轴相切于点， 故圆心纵坐标为1，则点纵坐标为2， 即，代入抛物线方程得，所以，则的焦点到准线距离为2. 14．已知的内角，，所对的边分别是，，，且 若，，点为的中点，点满足，且，相交于点，则=_______________. 答案 解析 因为，所以， 由正弦定理得，因为，所以， 因为，所以，所以，又因为，所以. 因为为中点，点满足，所以，. 因为，，，所以， 所以， ， 故. 又因为与的夹角即，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）有一大批产品等待验收，验收方案如下：方案一：从中任取6件产品检验，次品件数大于1拒收；方案二：依次从中取4件产品检验；若取到次品，则停止抽取，拒收；直到第4次抽取后仍无次品，通过验收. (1)若本批产品次品率为，选择“方案二”，求需要抽取次数X的均值； (2)若本批产品次品率为，比较选择哪种方案容易通过验收？ 解析 （1）.………………1分 ，， ，；………………3分 . 需要抽取次数的均值为.………………5分 （2）按照方案一：通过验收的概率为：      ………………7分     按照方案二：通过验收的概率为：       ………………9分     当时，即，即时， 选择方案一更容易通过验收；      ………………11分               当时，即时，选择方案一、方案二结果相同；      ………………12分 当时，即，即时， 选择方案二更容易通过验收. ………………13分 16．（15分）某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G． (1)若千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值； (2)若椭圆的离心率为，当线段OG长为何值时，游乐区域的面积最大？ 解析 （1）以O为坐标原点，以OD所在的坐标为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意，，………………1分 由，所以， 所以，，………………2分 所以直线EF的方程为：，………………3分 设，则， 所以椭圆，当a最大时直线EF与椭圆相切，，整理得，………………4分 ，解得（舍），………………5分 所以椭圆的长半轴长的最大值为；………………6分 （2）因为，，，所以， 所以椭圆的方程为；………………8分 设，则，直线MN的方程为，………………9分 联立 ，所以，………………10分 设，,则，， ，……………11分 ，…………13分 要保证MN与半椭圆有交点，当N位于B时，，所以，当， 即，有最大值为1，………………14分 综上，当时，三角形OMN的面积最大．………………15分 17．（15分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.    (1)求证：直线平面； (2)求证：平面平面； (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离. 解析 （1）如图，设交于点，连接，易知底面，，所以，………………1分 又是底面圆的内接正三角形，由，可得，. 又，，所以，即，………………2分 又，所以， 所以，即，………………3分 又平面，直线平面，平面， 所以直线平面.………………5分 .   （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面；………………7分 （3）易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ………………9分 所以，，，，    设平面的法向量为， 则，即，令，则，………………10分 设，可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 即，令， 则，……………12分 当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值4， 即当时，的最大值为1，此时点， 所以，……………13分 所以点到平面的距离， 故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为.……………15分 18．（17分）已知为函数的极值点． (1)求； (2)证明：当时，． 解析 （1）定义域为，， 由，解得，………………2分 若时，则， ………………3分 当时，，即在上单调递增；………………4分 当时，，即在上单调递减，………………5分 所以在处取得极大值，符合题意，因此．………………6分 （2）设，则，………………8分 又，因为，，所以存在唯一，使，………………10分 且当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减．………………13分 由得，所以， 因此当时，，而， 于是当时，．………………17分 19．（17分）已知数列中，，，，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式： (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，设，求证：. 解析 （1）∵，，， ∴当，时，数列的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列， 则； 当，时，数列的偶数项是首项为2，公差为4的等差数列， 则， ∴；………………4分 （2）由（1） ，………………6分 ∴，………………7分 ∴.…8分 （3）证明：由（2）得， 则，………………9分 ∴（时等号成立）， 由不等式的性质得，………………11分 令，数列的前项和为， ∴①， ②，………………12分 由得得，， ∴，………………14分 由不等式的性质得， 故， 令，数列的前项和为， ∴③ ④………………15分 由得，， ∴，………………16分 由不等式的性质得，故.………………17分 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟预测卷三 参考答案与评分标准 （时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知A，B为非空数集，，，则符合条件的B的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为 A．1 B． C．0 D．2 3．一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为 A． B． C． D． 4．已知函数，将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则函数的极值点为 A． B． C． D． 5．已知双曲线C的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长.若直线与C的一条渐近线垂直，则C的离心率为 A． B． C． D． 6．已知直线与曲线相切，则实数a的值为 A． B． C．0 D．2 7．已知，则的最大值为 A． B． C． D． 8．已知事件，，的概率均不为，则的充要条件是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，是单位向量，且，则以下结论正确的是 A．若，则 B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 10.已知点在圆上，点在圆上，则 A．两圆外离 B．的最大值为9 C．的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为 11.如图，已知是边长为4的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，将沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥，则（    ） A．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3 B．存在某个点位置，满足平面平面 C．当时，直线与平面所成角的正弦值为 D．当时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数的图象关于坐标原点对称，则__________. 13．设抛物线：的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的焦点到其准线的距离为___________. 14．已知的内角，，所对的边分别是，，，且 若，，点为的中点，点满足，且，相交于点，则=_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）有一大批产品等待验收，验收方案如下：方案一：从中任取6件产品检验，次品件数大于1拒收；方案二：依次从中取4件产品检验；若取到次品，则停止抽取，拒收；直到第4次抽取后仍无次品，通过验收. (1)若本批产品次品率为，选择“方案二”，求需要抽取次数X的均值； (2)若本批产品次品率为，比较选择哪种方案容易通过验收？ 16．（15分）某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G． (1)若千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值； (2)若椭圆的离心率为，当线段OG长为何值时，游乐区域的面积最大？ 17．（15分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.    (1)求证：直线平面； (2)求证：平面平面； (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离. 18．（17分）已知为函数的极值点． (1)求； (2)证明：当时，． 19．（17分）已知数列中，，，，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式： (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，设，求证：. 4 学科网（北京）股份有限公司 $