精品解析：辽宁省铁岭市西丰县2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025—2026学年度第一学期期末考试试卷 八年数学 考试时间：90分钟试卷 满分：100分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（共10题，每题3分，计30分．下列各题的备选答案中，只有一项是正确的，请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内．） 1. 下列式子中属于分式的是（ ） A B. C. D. 2. 生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，，则的度数为（ ） A B. C. D. 5. 若，则a、b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如果是完全平方式，那么m的值为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在中，，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形，然后拼成一个平行四边形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知甲做300个零件与乙做420个零件所用的时间相同，若两人一天共做120个零件，设甲一天做个零件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，于点D，于点F，交于点E，，连接交于点G．下列结论：①；②；③．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第二部分 非选择题（共70分） 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数取值范围是______． 12. 计算：____________． 13. 如果，那么____________． 14. 如图，在RtABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为_____________°． 15. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_______． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 计算： （1）分解因式：； （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作的平分线，交边于点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求的长． 20. 仔细分析例题，领会其中的思想方法：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：____________； （2）因式分解． 21. 如图，在中，D为边上一点，，．求证： （1）． （2）平分． 22. 为加快乡村振兴步伐，不断改善农民生产生活条件，某乡镇计划修建一条长18千米的乡村公路，拟由甲、乙两个工程队联合完成．已知甲工程队每天比乙工程队每天少修路0.3千米，甲工程队单独完成修路任务所需天数是乙工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍． （1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）已知甲工程队每天修路费用为9万元，乙工程队每天的修路费用为12万元，若先由甲工程队单独修路若干天，再由甲、乙两个工程队联合修路，恰好15天完成修路任务，则共需修路费用多少万元？ 23. 在和中，，射线相交于点． （1）如图1，当时，则与的数量关系为：___________，____________； （2）如图2，当时，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）如图3，当时，连接，当三点刚好在同一直线上时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末考试试卷 八年数学 考试时间：90分钟试卷 满分：100分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（共10题，每题3分，计30分．下列各题的备选答案中，只有一项是正确的，请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内．） 1. 下列式子中属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，理解分式成立的条件是解答的关键． 分式的定义：如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不属于分式，故本选项不符合题意； B、不属于分式，故本选项不符合题意； C、不属于分式，故本选项不符合题意； D、属于分式，故本选项符合题意； 故选：D 2. 生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中，n是一个负整数，n的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法等知识．根据相关运算法则计算后，即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ 故选：C 5. 若，则a、b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键．先按照多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用多项式的恒等进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故选：B． 6. 如果是完全平方式，那么m的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求完全平方式中的字母系数，根据完全平方式的定义，将表达式与标准形式比较系数求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式，根据完全平方式的结构特点，首项是x的平方，末项， ∴中间项， ∴ ． 故选：C． 7. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识点．先根据直角三角形两锐角互余得到，再由外角结合等腰三角形的判定得到，最后由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形，然后拼成一个平行四边形，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴． 故选：A． 9. 已知甲做300个零件与乙做420个零件所用的时间相同，若两人一天共做120个零件，设甲一天做个零件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是用工作时间工作总量工作效率建立等量关系． 设甲一天做个零件，则乙一天做个零件，根据“甲做300个零件与乙做420个零件所用时间相同”列方程即可. 【详解】解：设甲一天做个零件，则乙一天做个零件， 根据题意，得． 故选：A． 10. 如图，中，，于点D，于点F，交于点E，，连接交于点G．下列结论：①；②；③．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，外角的性质，先根据，，证明，得到，，，结合，，继而得到，得，判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 故①②③都正确． 故选D． 第二部分 非选择题（共70分） 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式分母不能为零求出结果即可． 【详解】解：代数式有意义， ， ， 故答案为：． 12. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据单项式除以单项式的运算法则，系数相除，同底数幂相除． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13. 如果，那么____________． 【答案】63 【解析】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，通过提取公因式，将原式化为，然后利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴原式， 故答案为：63． 14. 如图，在RtABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为_____________°． 【答案】40° 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求得∠AEB=80°；根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，则∠C=∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵∠B=90°，∠BAE=10°， ∴∠BEA=80°． ∵ED是AC的垂直平分线， ∴AE=EC， ∴∠C=∠EAC． ∵∠BEA=∠C+∠EAC， ∴∠C=40°． 故答案为：40°． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质，涉及到三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质的知识，难度适中． 15. 如图，过边长为1等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可． 【详解】过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ． ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=1， ∴DE= 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法，熟练掌握运算法则是解题关键， （1）先计算乘方，再计算乘法即可求解； （2）根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算： （1）分解因式：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解分式方程，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键 （1）先提取公因式，再用平方差公式，即可求解． （2）先两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，再验根，即可求解． 小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ， ， 解得， 将代入原方程，分母不等于零， 故原方程的解为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是正确进行分式的化简．根据分式的混合运算顺序进行化简求值即可． 【详解】解： ， 当时，． 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作的平分线，交边于点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图-作已知角的角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）以点B为圆心，以任意长度为半径作弧，分别交于点，再分别以为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点P，连接并延长，交于点D，即为所求； （2）首先根据三角形内角和定理解得，再证明，由等腰三角形的性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求； 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 仔细分析例题，领会其中的思想方法：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：____________； （2）因式分解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式和题目中的整体思想是解题的关键． （1）令，代入原式，用完全平方公式化简，再将m还原，即可求解． （2），代入原式，用完全平方公式化简，将n还原，再用完全平方公式化简，即可求解． 【小问1详解】 解：令， 则 ， 将代入，得原式． 【小问2详解】 解：令， 则 ， 将代入得， 原式 ． 21. 如图，在中，D为边上一点，，．求证： （1）． （2）平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，可得，即可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且，， ∴（）； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 22. 为加快乡村振兴步伐，不断改善农民生产生活条件，某乡镇计划修建一条长18千米的乡村公路，拟由甲、乙两个工程队联合完成．已知甲工程队每天比乙工程队每天少修路0.3千米，甲工程队单独完成修路任务所需天数是乙工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍． （1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）已知甲工程队每天的修路费用为9万元，乙工程队每天的修路费用为12万元，若先由甲工程队单独修路若干天，再由甲、乙两个工程队联合修路，恰好15天完成修路任务，则共需修路费用多少万元？ 【答案】（1）甲乙两个工程队每天各修路0.6千米和0.9千米 （2）255万元 【解析】 【分析】（1）可设乙每天修路x干米，则甲每天修路( x-0.3)千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可； （2）设甲单独修路a天，则可表示出甲乙合修路的天数，从而构造一元一次方程，求出甲的单独修路天数和甲乙合修路天数，于是可以求出总费用． 【小问1详解】 解：设乙每天修路x千米，则甲每天修路( x-0.3)千米， 根据题意，可列方程：， 解得x=0.9， 经检验x=0.9是原方程的解，且x-0.3=0.6， 答：甲每天修路0.6千米，则乙每天修路0.9千米； 【小问2详解】 解：设甲单独修路a天，则甲乙合修( 15-a)天，由题意可得， ， 解得， 共需修路费用（万元）． 答：共需修路费用255万元． 【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系是解题的关键，注意分式方程需要检验． 23. 和中，，射线相交于点． （1）如图1，当时，则与的数量关系为：___________，____________； （2）如图2，当时，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）如图3，当时，连接，当三点刚好在同一直线上时，请直接写出的度数． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，； （2）仿照（1）可证，根据全等三角形的性质可得，，根据三角形外角的性质可以求出； （3）可证，根据全等三角形的性质可得，根据对顶角相等可得，根据三角形内角和定理可得． 【小问1详解】 解：， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ，， ， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，， 理由如下： ， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ，， ， 是的外角， ， ，， ； 【小问3详解】 解：如下图所示， ， ， ， 又，， 在和中，， ， ， 又， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和定理和三角形外角的性质找角之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $