一次函数的图像与性质题型专练-2026年北师大版数学中考专题练习

一次函数的图像与性质中考题型专练 考点一 一次函数的定义与解析式 1．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 2．（2025·安徽芜湖·三模）物理课上，小明经过多次实验发现：在弹簧弹力范围内，弹簧总长是弹簧秤所挂重物质量的一次函数，其部分对应值如下表所示： 重物质量 弹簧总长 根据以上信息，表中的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，确定解析式是解题的关键． 根据题意，弹簧总长y是所挂重物质量x的一次函数，设函数解析式为，利用已知数据点求出k和c，再代入和计算对应的a和b，最后求的值． 【详解】解：根据题意，弹簧总长y是所挂重物质量x的一次函数，设函数解析式为， 把点和代入得，， 解得：， 因此，函数解析式为：， 当时，， 当时，， ， 故选：C． 考点二 一次函数的图像与性质 1．（2025·山东潍坊·中考真题）记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min|x1，x2，…，xn|，例如min|-1，1，2|＝﹣1，则函数y＝min|2x﹣1，x，4﹣x|的图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别画出函数的图像，然后根据min|x1，x2，…，xn|＝﹣1即可求得． 【详解】如图所示，分别画出函数的图像， 由图像可得， ， 故选：B． 【点睛】此题考查了一次函数图像的性质，解题的关键是由题意分析出各函数之间的关系． 2．（2025·江苏中考真题）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，6），AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1：2，则下列说法正确的是（　　） A．线段PQ始终经过点（2，3） B．线段PQ始终经过点（3，2） C．线段PQ始终经过点（2，2） D．线段PQ不可能始终经过某一定点 【答案】B 【分析】当OP=t时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（9﹣2t，6）．设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求出PQ的解析式即可判断； 【详解】当OP=t时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（9﹣2t，6）． 设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将P（t，0）、Q（9﹣2t，6）代入y=kx+b，得， ，解得：， ∴直线PQ的解析式为y=x+． ∵x=3时，y=2， ∴直线PQ始终经过（3，2）， 故选B． 【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．m的值为 B．正方形的边长是 C．的面积是 D．直线的解析式是 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，正比例函数的图象与性质，三角形的面积等知识，根据题意列出方程求出m的值是解题的关键．先表示出点A的坐标，继而表示出正方形的边长，求出点B的坐标从而待定系数法求出的解析式，再令，求出点E的坐标，从而得出并表示出直线与围成的阴影三角形的面积，继而列出方程解出m，从而判断，求出AE，继而求出的面积，从而判断C，继而得解． 【详解】解：依题意得：，， 当时，， ∴， ∴在正方形中，， ∴， 设直线的解析是， 将点B的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析是 当时，， 即：， ∴， ∴直线与围成的阴影三角形的面积为：， 解得：(舍去)， ∴m的值为2，正方形的边长是2，直线的解析式是，， ∴， ∴的面积是， ∴选项A、B、C错误，选项D正确， 故选：D． 考点三 一次函数解析式的求法 1．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【详解】解：满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 2．（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是解题的关键．先根据“友好点”的定义找出友好点坐标之间的关系，设出直线上一点及其友好点，得出直线的斜率，再结合直线与坐标轴围成三角形面积求出直线表达式． 【详解】设点在直线上，其友好点也在直线l上， 设直线l的解析式为，将点和代入解析式得： ，解得， ∴直线l的表达式为， 当时，，即直线l与y轴交点为， 当时， ，解得，即直线l与x轴交点为， ∴， ∴， ∴直线的表达式或． 故答案为：或． 3．（2025·黑龙江中考真题）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（    ） A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟 【答案】C 【分析】先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定AE、AF、OD的解析式，再分别联立OD与AE和AF求得两次相遇的时间，最后作差即可． 【详解】解： 如图：根据题意可得A（8，a），D(12,a)，E（4,0），F（12,0） 设AE的解析式为y=kx+b，则 ，解得 ∴直线AE的解析式为y=x-a 同理：直线AF的解析式为：y=-x+3a,直线OD的解析式为：y= 联立 ，解得 联立 ，解得 两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键． 考点四 一次函数的图像平移 1．（2025·上海·模拟预测）一次函数的图像过点，且不等式的解集是．那么，原函数（    ）之后得到的新函数为正比例函数． A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像平移问题以及求一次函数解析式，由题意得一次函数的图象过点，，可求得解析式为；设原函数向右平移个单位长度，则新函数解析式为：；令，即可求解； 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴； ∵不等式的解集是， ∴一次函数的图象过点， ∴，解得； ∴； 设原函数向右平移个单位长度，则新函数解析式为：； 令，求得； 即：原函数向右平移2个单位之后得到的新函数为正比例函数． 故选：B． 2．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 3．（2025·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，点从原点出发，每次向上平移个单位长度或向右平移1个单位长度．例如：平移一次后点P的坐标为或；再如：平移两次后点P的坐标为或或．点从点出发经过次平移后，到达直线上的点Q，且平移的路径长不小于，不超过，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，一次函数图象上点的坐标特征，读懂题目信息并理解点的坐标的横坐标与纵坐标的意义是解题的关键； 根据点的坐标变化规律，可知点从点出发经过次，平移后，到达直线上的点，点的坐标为，再根据平移的路径长不小于，不超过，列不等式组求解； 【详解】解：∵平移1次后点P的坐标为或， ∴设，所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； ∵平移两次后点P的坐标为或或，且3点共线 ∴设，和所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； ∵平移3次后点P的坐标为或或或，且4点共线 ∴设，，和所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； ∴平移后解析式的值不变，常数项为， ∴平移次时，直线解析式为：，如图所示， 设点从点出发经过次平移后，到达直线上的点， 根据题意，可得， 解得：， 点的坐标为， ∴平移的路程长， ∵平移的路径长不小于，不超过， ， ， 点的坐标为正整数， 是的倍数，可以取、， 故选：D． 考点五 一次函数与方程、不等式、几何的综合应用 1．数形结合是非常重要的数学思想，利用数形结合可以帮助我们换个角度思考问题．例如我们可以从“图形”的角度来研究一元一次不等式：在解不等式时，我们可以令，，在平面直角坐标系中分别画出函数．和函数 的图象，如图所示，观察图象可知当时，，即，所以原不等式的解集为．请你用以上方法解决下面的问题：已知关于x的不等式的解集是，则下列选项中可能是一次函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是数形结合思想的应用． 求出直线过，可知当时，一次函数图象在直线的上方，观察图象可得答案． 【详解】解：当时，， 直线过， 不等式的解集是， 当时，一次函数图象在直线的上方， 观察各选项图象可知，符合条件的为， 故选：C． 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，点M的坐标为，过点M作垂直于y轴的直线，分别交直线，，于点A，B，C．若一个等腰直角三角形的周长为c，设它的直角边长为x，则点在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段BC在此处键入公式。上 D．点C右侧 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的特征等知识点，由题意得，．可推出，据此即可求解； 【详解】解：由题意得，． ， ∴点P在线段上． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，有函数和的图象，它们相交于点A．下列结论： ①；②；③当时，则有；④关于x的方程的解是：x＝2；⑤；⑥．其中正确的有（    ） A．①②⑥⑤ B．②③④⑥ C．②③④⑤ D．③④⑤⑥ 【答案】B 【分析】由正比例函数的性质可判断经过原点的直线为,另一条直线为,由函数的增减性与k的正负的关系可判断①⑤⑥,由直线与y轴交点位置可判断②,由与的交点横坐标为2可得x=2是可判断④．由函数与不等式的关系可判断③． 【详解】解：∵由k>0时y随x增大而增大, k<0时y随x增大而减小，结合图形可知：，，故⑤错误；⑥正确; ∴，故①错误; 由图像可知：与y轴交于上半轴, ∴，故②正确； 由图像可知：直线与直线交点的横坐标, ∴关于x的方程的解是：x＝2，故④正确； 由图像可知：直线与直线交点的横坐标, ∴当时，直线在直线的上方， ∴当时，则有，故③正确； 综上所述：正确的有：②③④⑥． 故选：B． 【点睛】此题考查一次函数的性质,解题关键是掌握―次函数与方程及不等式的关系，读懂函数图像是解题的关键． 4．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 命题点一 一次函数的定义与解析式 ►题型01 求一次函数自变量或函数值 【典例】（2025·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，用到了一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识，先求出，根据m的取值范围分三种情况进行讨论即可得到答案. 【详解】解：∵动点B在直线上，横坐标为m， ∴点B的坐标为， ∵点A的坐标为 ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当取得最小值时，应满足的条件是， 故选：C 【变式】（2025·浙江嘉兴）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D．随a，b的值变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，一次函数性质，延长交于点C，过点B作于点D，根据轴，在第一象限，得出，，根据直线的解析式为，得出点C的坐标为，求出，证明是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出，求出三角形的面积即可． 【详解】解：延长交于点C，过点B作于点D，如图所示： ∵轴，在第一象限， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式】（2025·河南·模拟预测）某公园有一种叫“喊泉”的娱乐项目，其原理是通过声音的响度刺激声敏电阻，声敏电阻的变化影响电路中电流的变化，当电流达到一定数值时，小马达开始转动从而喷出水柱，当时水柱立马消失，当最大时喷出的水柱最高．图1为某人声音的响度随时间变化的关系图，图2为声敏电阻的阻值随声音的响度变化的关系图（反比例函数图象的一部分），已知小马达两端的电压为，下列说法错误的是（   ） A．第时，声敏电阻的阻值为 B．第时开始产生水柱 C．在第至时喷出的水柱最高 D．喷出水柱的时长超过 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，函数图象上点的坐标特征等知识点，正确理解题意并确定函数解析式是解题的关键．由图1可得，在时，函数的解析式为；在时，设函数的解析式为；在时，设函数的解析式为；由图2可得，其图象为函数的一部分．据此依次对各选项进行分析即可作出判断． 【详解】解：如图1， 在时，设函数的解析式为，过点， ∴，解得：， 在时，函数的解析式为； 在时，设函数的解析式为； 在时，设函数的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴在时，设函数的解析式为； 如图2，设该图象的函数解析式为，过点， ∴，解得：， ∴设该图象的函数解析式为， A．∵第时，， ∴将代入， 解得：，故此选项正确； B．将代入，解得， ∴， ∴，开始产生水柱，故此选项正确； C．由图1可知，在时，最大， ∴由函数关系可知，此时最小， 由函数关系可知，此时最大， ∴喷出的水柱最高．故此选项正确； D．当时，， 此时， 将代入， 得：，解得：， 将代入， 得：，解得：， ∴喷出水柱的时长为，故此选项错误． 故选：D． 题型02 列一次函数解析式并求值 【典例】（2025·江苏中考真题）点在函数的图像上，则代数式的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入函数解析式得，化简得，化简所求代数式即可得到结果； 【详解】把代入函数解析式得：， 化简得到：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键． 【变式】（2025·广西中考真题）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y= 2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y= 2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得． 【详解】∵点P (m， 2)是△ABC内部(包括边上)的点． ∴点P在直线y= 2上，如图所示，， 当P为直线y= 2与直线y2的交点时，m取最大值， 当P为直线y= 2与直线y1的交点时，m取最小值， ∵y2 =-x+ 3中令y=2，则x= 1， ∵y1 =x+ 3中令y=2，则x= -1， ∴m的最大值为1， m的最小值为- 1． 则m的最大值与最小值之差为：1- (-1)= 2． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的性质， 要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为2，故作出直线y= 2有助于判断P的位置． 【变式】（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 命题点二 一次函数的图像与性质 ►题型01 判断一次函数的图象 【典例】（2025·内蒙古中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（  ） A．  B．  C． D．   【答案】D 【分析】依据一次函数的图象经过点和，即可得到一次函数的图象经过一、三、四象限． 【详解】解：一次函数中，令，则；令，则， ∴一次函数的图象经过点和， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线． 【变式】（2025·安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分为和两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可． 【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键． 一次函数的图像有四种情况： ①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限． 题型02 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【典例】（2025·荆州·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是(  ) A．B． C．D． 【答案】C 【分析】观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可． 【详解】解：∵一次函数y=x+1，其中k=1>0，b=1>0， ∴图象过一、二、三象限， 故选C． 【点睛】此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 【变式】（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，下列函数的图象不经过点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象、反比例函数图象及二次函数图象上点的坐标特征．掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 把代入各选项函数解析式判断即可． 【详解】解：A、当时 ， ，所以函数的图象不经过点，故此选项符合题意； B、当时 ， ，所以函数的图象经过点，故此选项不符合题意； C、当时 ， ，所以函数的图象经过点，故此选项不符合题意； D、当时 ， ，所以函数的图象经过点，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式】（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据可得，从而可得，再可得，然后根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 题型03 一次函数图象与对称问题 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， ∴ ∴一次函数即，的图象不经过第二象限， 故选：B． 【变式】（2025·陕西榆林·二模）已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点的计算，点关于坐标轴对称的性质，掌握以上知识的计算是关键． 根据一次函数与坐标轴的交点的计算得到各自的交点坐标，由关于轴对称得到，，由此即可求解． 【详解】解：直线（为常数，且）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线（为常数）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， ∵直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称， ∴，， 解得，， 故选：C ． 【变式】（2025·广东汕头·一模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线关于直线的对称点，然后利用待定系数法即可求解． 【详解】解：直线与轴的交点为，与轴的交点为； 点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， 把点、代入， 得：， 解得：，， 故选：A． 命题点三 一次函数解析式的求法 题型01 求一次函数解析式 【典例】（2025·浙江·模拟预测）在“探索一次函数系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：，，同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式分别为：，：，：则，，这三个数值中，最大的值为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意，画出示意图，据此可解决问题． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 由函数图象可知， 直线与y轴交点的纵坐标最大， 所以，，这三个数值中，最大的是 故选：C． 【变式】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到一个正比例函数图象，则该一次函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质及图像、正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将一次函数向下平移2个单位后得到正比例函数，可知平移后的常数项为0，从而求出的值，将再代入原函数解析式，分析其经过的象限即可． 【详解】将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到的函数为：， ∵得到的函数为正比例函数， ∴， 解得：， ∴一次函数为， ∴该一次函数图象不经过第三象限， 故选：C． 【变式】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知一次函数的图象过点，，且函数图象经过第二、四象限，当时，，则该一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，，则，所以，从而得到，然后根据一次函数的性质得到，所以，从而确定一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． 故选：B． 命题点四 一次函数的图像平移 题型01 一次函数图象平移问题 【典例】（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； (2)点，直线l平移的距离为． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； （2）解：作一三象限的角平分线，如图， ∵，∴， 根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称， ∴， 作轴于点，作轴于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，设直线l向上平移个单位经过点， ∴平移后的直线为， ∴， 解得， ∴直线l平移的距离为． 【变式】（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 【变式】（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【详解】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 命题点五 一次函数与方程、不等式 题型01 一次函数与一元一次不等式 【典例】（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由函数解析式可得直线与直线都经过点，由直线经过点，可知当直线经过点或时，有，求出的值再结合函数图象解答即可求解； 两种情况解答即可； 本题考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，理解题意并利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 将点代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴直线与直线都经过点， 当时，， ∴直线经过点， 当直线经过点或时，有，画图如下： 当直线经过点时，， 解得； 当直线经过点时，， 解得； ∵当时，对于的每一个值，， ∴或． 【变式】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该函数的解析式为，点； (2)的取值范围为． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）把代入，得，把点代入，得，解得，再结合图象即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入得， ， 解得， ∴该函数的解析式为， 当时，， ∴点； （2）解：把代入，得， ∴把点代入，得， 解得， ∴， 如图， 当时，函数的值大于的值， ∴的取值范围为． 【变式】（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 题型02 一次函数与二元一次方程组 【典例】（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的解，先求出交点的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行解答． 【详解】解：当时，，解得， ∴交点坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【变式】（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知，随的增大而减小，故①符合题意； 由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故②符合题意； 把代入， 得， 解得， 故与的交点为， 令，则 解得， 即与轴的交点为， 由图象可知：当时，则， 故③不符合题意； 由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故④符合题意． 故答案为：①②④ 【变式】（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 【答案】(1)过； (2)； (3)4或． 【分析】（1）在中，令求得，从而可求得直线过定点的坐标即可； （2）先根据点 B、O关于点D对称，求得点D的坐标，代入，求得，从而可求得直线的解析式； （3）先求得，再根据在直线上，可得出直线：与直线：的交点为，从而可求得，，进而求得，分、两种情况，分别求出m的值． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴直线过定点， 故答案为：过； （2）在中，令得， ∴， ∵点B、O关于点D对称， ∴D是的中点， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为为； （3）在中，令得， ∴在直线上， ∴直线：与直线：的交点为， 在中，当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∴， 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 综上所述，m的值为4或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题关键是分类讨论思想的应用． 突破一 一次函数与坐标轴交点问题 【典例】（2025·江苏扬州·三模）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 由解析式求出点和点的坐标，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得，，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，，时，， ，， ． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中，， 即， 解得：， ． 故选：B． 【变式】（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与圆的关系的综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时b的值． 求出直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限和当直线与圆相切时，函数经过二、三、四象限b的值，则b的值在相交时与相切时两个b之间． 【详解】解：当直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示： 在中，令，则，即与y轴的交点为， 令， 则，即与x轴的交点为， ∴， 连接圆心O与切点C，则，， ∵， ∴ ， ∴ 同理当直线与圆相切时且函数经过二、三、四象限， ， 综上所述： 当直线与圆相交时，b的取值范围是 ； 故选：C． 突破二 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【典例】（2025·河北保定·一模）如图，平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中的坐标分别为，．从光源处发射光线照射到平面镜上（含端点）． (1)请说明：入射光线必过点； (2)求入射光线照射到镜面上时，的取值范围； (3)一条感光带置于轴上，其中的坐标分别为，，光线照到感光带任何一点，感光带都会发光．请判断入射光线经平面镜反射后的光线能否使感光带发光．若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由并直接写出将平面镜至少向右平移多少个单位长度反射光线才能使感光带发光． 【答案】(1)见解析 (2) (3)入射光线经平面镜反射后的光线不能使感光带发光，见解析，将平面镜至少向右平移1个单位长度反射光线才能使感光带发光 【分析】本题主要涉及一次函数的性质、直线与线段的位置关系以及光的反射原理． （1）通过对一次函数表达式的变形可证明直线过定点； （2）求出直线经过线段两个端点时k的值，从而确定k的取值范围； （3）要根据光的反射规律，找出反射光线与感光带的关系，进而求解k的取值 范围或平移距离． 【详解】（1）解：当时，； ∴入射光线必过点 （2）解：将代入得：； 将代入得：； ∴的取值范围是． （3）解：入射光线经平面镜反射后的光线不能使感光带发光． 理由：入射光线照射到镜面上点时，根据入射角和反射角的关系可知反射后的光线与轴的交点为，即，而的坐标为，所以不能使感光带发光． 将平面镜至少向右平移1个单位长度反射光线才能使感光带发光． 【变式】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，已知直线经过点，直线． (1)求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ (2)若，直线与x轴交于点C，直线与交于点P． ①点P的坐标为________． ②求面积． (3)直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)，点不在直线； (2)①，②； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解，然后把点代入即判断； （2）①联立得，求解即可； ②求出，，根据三角形面积公式即可求解； （3）先求出，，再根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线经过点， ， ， ∴直线的解析式为， 在中，当时，、 ∴点不在直线上； （2）解：①当时直线 联立得：， 解得：， ∴点坐标为， 故答案为：， ②在中，当时，，当时，， ，， ； （3）解：∵点在直线上， ，， ，， 当直线过点时，则， 解得：， 当直线过点时，则， 解得：， ∴的取值范围或． 【变式】（2025·河北石家庄·三模）如图，直线分别与x轴、y轴交于点，与直线相交于点C，点P是射线上一点，作于点D，点E在上点C的左侧，．设点P的横坐标为t． (1)求的解析式及点C的坐标； (2)连接，当时，求的面积； (3)画直线，若表示直线的函数值随x的增大而减小，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）把代入，解方程组，得，再代入，即得； （2）代入，即可求的面积； （3）当点E在点A的正上方时，点E的横坐标为．此时，得，得t的取值范围是． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 解得， 的解析式为：． 把代入， 得，解得． ∴． （2）解：当时， ． 的面积为． （3）解：． 理由：当点E在点A的正上方时，点E的横坐标为． 此时， ， 即， ． 的取值范围是． 【点睛】本题考查了一次函数综合．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，函数图象围成的三角形面积，一次函数的增减性，是解题的关键． 突破三 一次函数图像平移问题 【典例】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A向上平移4个单位长度得到点B，连接，P为线段上的一点，过点P作直线． (1)当P是线段的中点时，求直线l的解析式； (2)若动点恒在直线上，当直线时，求点P的坐标； (3)Q是线段上的任意一点，在（1）的条件下，将直线l沿y轴向上平移个单位长度得到直线，记点Q关于直线的对称点为．若在线段上，存在点Q，使得点落在y轴上，直接写出满足条件的m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移和轴对称，一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，平移性质，轴对称性质，是解题的关键． 本题考查一次函数的综合、对称的性质． （1）求出线段的中点，代入直线，解方程即得； （2）可知直线的解析式为，根据直线，得直线l的解析式为，当时，求出y值即得； （3）可知直线的解析式为，分点Q在点A和在点B时的对称点为，求出的坐标，得中点坐标，代入解析式求出m的临界值即得． 【详解】（1）解：∵向上平移4个单位长度得到点B， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵直线过点P， ∴， 解得， ∴直线l的解析式为．    （2）解：∵动点恒在直线上， ∴直线的解析式为 ∵直线， ∴， ∴直线l的解析式为． 令， 则， ∴点P的坐标为． （3）m的取值范围为． 解法提示： 根据题意可得，直线的解析式为， 则直线与x轴所夹锐角为．如解图， 当点Q运动到点A时， 记点Q的对称点为，直线所在位置为直线． 由可知，A与的水平距离为4， ∴垂直距离也为4， ∴点的坐标为， ∴直线经过的中点． 将代入， 得， 解得； 当点Q运动到点B时，记点Q的对称点为，直线所在位置为直线． 由可知，B与的水平距离为4， ∴垂直距离也为4， 点的坐标为， ∴直线经过的中点． 将代入，得， 解得． 综上所述，当直线l向上平移到与之间（包括和）时，满足题意， 故满足条件的m的取值范围是． 【变式】直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，得出点A的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．先求得交点A的坐标，即可求出点A的轨迹，进而判断出直线直线与直线平行，即可求出m的值． 【详解】解：∵直线与直线（是常数，且）交于点A， 解析式联立 解得，， ∴ ∴， 当m为一个的确定的值时，是的正比例函数， 即：点A在直线上， ∵点A到直线的距离总是一个定值， ∴直线与直线平行， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键． 先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的c的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移c个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则． 故答案为：． 突破四 一次函数的规律探究问题 【典例】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点A，，，，…，点，，，…在x轴上，连接，，，…，得到，，，…，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，归纳出的坐标规律是解题的关键．设直线与轴交于点，分别求出点的坐标，三角函数求出，进而求出的长，推出的长，同法得到，，┈，进而求出，，求出的长，的坐标，利用的面积进行求解即可． 【详解】解：如图所示，设直线与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，，，┈， ∴，， ∴，， ∴点的横纵坐标为， ∴， ∴的纵坐标为， ∴， ∴的面积． 故答案为： 【变式】（2025·黑龙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的性质，正方形的性质． 根据正方形的轴对称性，由、的坐标可求、的坐标，将、的坐标代入中，得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出，的长，设，表示出的坐标，代入直线方程中列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的坐标，依此类推寻找规律，即可求出的坐标． 【详解】解：连接，，，分别交轴于点、、， 正方形、、， 与关于轴对称，与关于轴对称，与关于轴对称， ，， ，即，，即， ，， 将与的坐标代入中得： ， 解得：， 直线解析式为， 设，则有坐标为， 代入直线解析式得：， 解得：， 坐标为，即， 依此类推． 故答案为：． 【变式】（2025·黑龙江·二模）如图．在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点，以，BA为邻边作；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点，以，为邻边作……按此作法继续下去，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先求出直线的解析式为，设点坐标为，根据直线经过点，求出点坐标为，解，得出，由平行四边形的性质得出，则点的坐标为，即；根据直线经过点，求出点坐标为，解，得出，由平行四边形的性质得出，则点的坐标为，即；同理，可得点的坐标为，即；进而得出规律，求得的坐标是即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过原点，且与轴正半轴所夹的锐角为， ∴直线的解析式为． ∵轴，点， ∴设点坐标为， 将代入，得，解得， ∴点坐标为， 则． 在中，， ∴， ∵在中，， ∴点的坐标为，即； 由，解得， ∴点坐标为， 则． 在中，， ∴， ∵在中，， ∴点的坐标为，即； 同理，可得点的坐标为，即； 以此类推，则的坐标是， 的坐标． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标规律，涉及图形与坐标、平行四边形的性质、勾股定理解直角三角形以及一次函数的综合应用，先分别求出点的坐标，从而发现规律是解题的关键． 突破五 一次函数与几何综合 【典例】（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 【变式】（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，切线长定理的应用，一次函数与结合图形，熟练掌握轴对称的性质，找到临界值是解题的关键； （1）根据定义，观察，，经过对称后，判断对称点是否在上，即可求解； （2）根据正方形的顶点到的距离为，则对称之前的点到原点的距离为，进而求得的最大值，将代入得，，即可求解； （3）根据新定义，找到临界值，即为的切线时的情形，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，当重合时，关于的对称点为，在线段上 ∴是图的“映射点”； 而关于的对称点不在上，则不是图的“映射点”； 故答案为：． （2）解：依题意，正方形的顶点到的距离为， ∴当上存在点是图的“映射点”，则点到的距离为 ∴当经过点时，的值最大， 将代入得， 解得：， ∴的最大值； （3）解：如图，分别为的切线， 当为的“映射点”， ∴， 又∵， 设，则 ∴ ∴ 解得： ∴， ∵， ∴, 当减小时，关于的“映射点”，在即的内部，符合题意， ∴ 当时，根据对称性可得 综上所述，． 【变式】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)与的函数解析式为； (3)点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据勾股定理，可得，根据三角形的面积公式，即可得与的函数解析式； （3）作轴于点，由勾股定理可得，可得，作轴于点，作轴于点，四边形是矩形，和为等腰直角三角形，可得，，可得，作，交轴于点，可得，由线段之间的关系，结合锐角三角函数可得，，，由，可得，可得，，，，可得点和点的坐标，从而可得点的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的函数解析式为． （3）解：作轴于点， ∵点的横坐标为，点的横坐标为，点在线段上， ∴，， ∴， 解得， ∴点的横坐标为，，， ∴， ∴， 作轴于点，作轴于点，则，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵点在轴上，点的横坐标为， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 作，交轴于点，则， 又∵，， ∴， ∴， ∵为轴正半轴上一点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，，点是的中点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数综合，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质，比例的基本性质，平行线的性质，锐角三角函数，能够正确作出辅助线是解题关键． 【基础巩固】 1．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 2．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 【答案】(1) (2)，的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约万个； 预测我国2025年发明专利申请授权数万个 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意列式求解即可； （2）利用待定系数法求出满足的函数表达式，然后得到的实际意义，然后将代入表达式求解即可． 【详解】（1）解： ∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为； （2）解：将，代入得， ， 解得， ∴； 其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个； 当时，， ∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个． 5．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 6．（2025·上海·模拟预测）定义：对于定义域为的函数，若任取在中的实数、（），都有，则称为上的“下阶梯函数”；若，则为“上阶梯函数”，二者统称“阶梯函数”．若函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，则下列说法错误的是（   ） A．可以是任意的一次函数 B．若对任意实数都有，则是“上阶梯函数” C．若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有 D．若存在实数、使得，则的图像与轴有且只有一个交点 【答案】B 【分析】本题考查函数的性质，一次函数的性质，根据新定义得到为上的“下阶梯函数”，则随增大而减小；为上的“上阶梯函数”，则随增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：根据新定义可得：为上的“下阶梯函数”，则随增大而减小；为上的“上阶梯函数”，则随增大而增大； ∵函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断， ∴A、可以是任意的一次函数，选项说法正确，不符合题意； B、当时，由得到，此时是“下阶梯函数”，选项说法错误，符合题意； C、若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有，，则，选项说法正确，不符合题意； D、若存在实数、使得，则和中一正一负，得到的图像与轴有且只有一个交点，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 7．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 【答案】C 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断A；由图象得全程，乙车行完全程用3小时，得速度为，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到1小时，求出甲、乙两车相距可判断D． 【详解】解：由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误； 由图象得全程，乙车行完全程用，平均速度为，故选项B错误； 设甲车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 设乙车行驶的图象为，把代入得：，解得， 所以，， 联立， 解得， ∴乙车出发时，追上了甲车，故选项C正确； 由图象得A，B两地的距离为 甲车速度为， 所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距，故选项D错误； 故选：C． 8．已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义和性质，设经过原点的直线解析式为，代入点C求出的值，再利用正比例函数的性质求出，，比较大小即可得出结论． 【详解】解：设经过原点的直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， 当时，； 当时，； ∵ ∴， 故选：B． 9．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的一个动点，以为边作等边，当点在第一象限内时，下列图象中可以表示与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，在y轴上截取，作轴于点F，连接，，，作于P，由勾股定理求出，解直角三角形得则，进而推出是等边三角形，则，再证明得，进而可得，则，即，结合一次函数图象的性质可得结论． 【详解】解：在y轴上截取，作轴于点F，连接，，，作于P， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又， 则下列图象中，可以表示与的函数关系的是选项A． 故选：A． 10．（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称、一次函数图象上点的特征以及坐标与图形的性质．根据矩形为“率矩形”， 可设，因为直线平分该矩形的面积，所以直线经过点，从而求出点的坐标，由轴，，可得点的坐标，最后根据求得点坐标． 【详解】矩形为“率矩形”， 设， 直线平分该矩形的面积， 直线经过点， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 故选：． 【能力提升】 1．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) ， (2)①，其中t的取值范围是：；② 【分析】（1）解直角三角形可得，，从而可得B、C坐标； （2）①由平移的性质可得， ，．利用三角函数表示出和和的面积，根据即可求重叠部分的面积； ②通过构造平行四边形转移边和轴对称化折为直，将折线段拼接起来后，利用两点之间线段最短求最值． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵为等边三角形，作轴于点D，如图①所示， 则，，， ∴， 故B的坐标为，的坐标为， 故作案为：，； （2）解：①由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 在中，，则，，， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， ∴t的取值范围是：； ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形，，设， ∴，，， 解得，， ∴， 由（1）得，点O关于直线的对称点为点， 故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴的坐标为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积的计算，解直角三角形的计算，平行四边形的性质，中点坐标的计算，待定系数法求一次函数解析式，最短路径的计算等知识的综合，掌握一次函数与几何图形的综合运用，合理作出辅助线是解题的关键． 2．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 【答案】(1) (2)、、 、； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、相似三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先求得，然后代入求得a的值即可解答； （2）先求得，，设点P的坐标为，则，然后分和两种情况，分别利用相似三角形的性质以及坐标与图形解答即可； （3）先求得、，再分两种情况分别用平行线等分线段定理求解即可． 【详解】（1）解：直线交x轴于点A ，解得：，即， 将代入中可得： ，解得：， 直线的表达式：． （2）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，B ∴令，则，即， 直线过点A交y轴于点C 令，则，即 ∴， 设点P的坐标为，则 ①当， ，即 ，即， ∴，； ②当； ，即， ，即， ∴，． 综上，P的坐标为、、、． （3）解：直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E， ，解得： ， ∴ 同理 ，解得：，即； ①如图1，过D作轴，交x轴于点F，过E作轴，交x轴于点G， ， ∴，即，解得：； ②如图2，过D作轴，交x轴于点P，过E作轴，交x轴于点Q ， ，解得：． 综上所述：或． 3．（2025·江苏无锡·二模）如图，平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A、与y轴交于点B，，点E在线段上，点F在A右侧的x轴上，且，则 ；连接，则的最小值＝    ． 【答案】 60 【分析】过点P作轴于点H，连接，求出，，得，；求出，得，，证明，得，∴证明，得，是等边三角形，得,由，得的最小值为． 【详解】解：过点P作轴于点H，连接，则， ∵， ∴， ∴， 对， 令， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 对， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题，构建方程解决问题． 4．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，延长交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质、图形的旋转性质、平面直角坐标系的应用、一次函数解析式的求解、勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 建立平面直角坐标系，确定原三角形各顶点坐标， 根据旋转性质求出旋转后图形的顶点坐标， 求出直线的解析式，联立方程得到交点F的坐标 利用勾股定理计算线段的长度． 【详解】解：∵，，， 建立如图所示的平面直角坐标系， ， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ， ∴ 设的解析式为，代入， ， 解得， ∴解析式为， 设的解析式为，代入， ， 解得， ∴解析式为， 联立    ， 解得， ∴， 作， 由勾股定理得： 故答案为：． 5．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得． 【详解】解：当时，， 点的坐标是， 点在直线上， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， 的坐标是， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 设点的坐标为， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， ， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 的坐标是，的坐标是， ， 的坐标是，点的坐标是， ， ，， ， 又四边形和均为正方形， 轴，轴， ， ， ，且相似比为， ， 当时，， 同理可证，且相似比为， 则， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的规律与探索，解决本题的关键是分别计算出和的面积，根据这两个三角形的形状与面积之间的关系找出规律，根据规律得出结果． 【新趋势】 1．（2025·广东深圳·三模）在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验．水槽横截面为矩形，，为水槽水面的中点，水深．如图（a），小明同学从高出水面的处发出一束激光，射到水槽水面上的处，光在水中的路径为，为水槽底部的中点，测得．（图中点，，，在同一直线上；点，，，，在同一直线上） 【问题初探】 （1）如图（a），，分别为入射角、折射角，则________，________． 【深入探究】 （2）小组成员探究如何才能使折射光线经过点． ①小张同学设计了如图（b）所示的实验，在保持光线出发点、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点，请求出增加的水面高度的值． ②小刚同学设计了如图（c）所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点降至点，也能使得折射光线经过点．请求出下降高度的值． 【问题拓展】 （3）小组讨论后，认为在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低，同时增加水面高度，也能使得折射光线经过点，请求出与之间的函数关系． 【答案】（1），（2）①为②（3） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，一次函数的实际应用： （1）利用正切的定义，进行求解即可； （2）①作，设，解直角三角形，求出的长，根据，列出方程进行求解即可；②，求出，的长，设为，解直角三角形，求出的值即可； （3）设下降后的光线为，水面上升至，延长交于点，分别求出，，利用正切值，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵矩形，为水槽水面的中点，为水槽底部的中点， ∴． ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴在中，； 在中，； （2）解：①作，则：，， 设，则，， 由（1）知：， 在图2中，， ， ∵， ∴，解得 答：为 ②作，则：，，由题意，得，； ∴， ∴， 如图，设为，则， ∴． 解得． ∴； （3）如图，设下降后的光线为，水面上升至，延长交于点，由题意，得：为，， 则，，，， ∴， 解得：． 2．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 3．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 4．（2025·河北唐山·一模）定义：平面直角坐标系中，对于，两点，称为E，F两点的“折线距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，、． （1）如图1，轴，轴，________； （2）如图2，一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段上任取一点P，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，若点Q是直线的图象上一动点，画出满足的所有点Q构成的线段，并直接写出此线段的长度； （4）直接写出满足的所有点R围成图形的面积． 【答案】（1）4；（2）是定值，且；（3）；（4）32 【分析】（1）根据定义代入数据计算即可； （2）先求出点的坐标，设点，再根据定义得到，即可解答； （3）设，根据定义得，解不等式，求出临界点，再利用勾股定理即可解答； （4）设，由题意得到的点构成以为中心的正方形，顶点为，，，，据此求解即可． 【详解】解：（1）设， ∵、，且轴，轴， ∴，，即， ∴，， 根据题意：； 故答案为：4； （2）是定值， ∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ∴，， 设点， 则， ∴是定值，且； （3）设，根据定义得， 令，则，令，则， ①当时， ∴，， 则，解得：， ∴，； ②当时， ∴，， 则，解得：， ∴，； ③当时， ∴，， 则，解得：（舍去）； 综上，时，， 此时，所有点构成的线段为点到点的线段长， 长度为； （4）设， ∵， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， ∴的点构成以为中心的正方形，顶点为，，，，如图， 则对角线长为8， ∴，即满足的所有点R围成图形的面积为32． 【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数图形的性质，勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数的图像与性质中考题型专练 考点一 一次函数的定义与解析式 1．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 2．（2025·安徽芜湖·三模）物理课上，小明经过多次实验发现：在弹簧弹力范围内，弹簧总长是弹簧秤所挂重物质量的一次函数，其部分对应值如下表所示： 重物质量 弹簧总长 根据以上信息，表中的的值为（   ） A． B． C． D． 考点二 一次函数的图像与性质 1．（2025·山东潍坊·中考真题）记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min|x1，x2，…，xn|，例如min|-1，1，2|＝﹣1，则函数y＝min|2x﹣1，x，4﹣x|的图象大致为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏中考真题）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，6），AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1：2，则下列说法正确的是（　　） A．线段PQ始终经过点（2，3） B．线段PQ始终经过点（3，2） C．线段PQ始终经过点（2，2） D．线段PQ不可能始终经过某一定点 3．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．m的值为 B．正方形的边长是 C．的面积是 D．直线的解析式是 考点三 一次函数解析式的求法 1．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 3．（2025·黑龙江中考真题）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（    ） A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟 考点四 一次函数的图像平移 1．（2025·上海·模拟预测）一次函数的图像过点，且不等式的解集是．那么，原函数（    ）之后得到的新函数为正比例函数． A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 2．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，点从原点出发，每次向上平移个单位长度或向右平移1个单位长度．例如：平移一次后点P的坐标为或；再如：平移两次后点P的坐标为或或．点从点出发经过次平移后，到达直线上的点Q，且平移的路径长不小于，不超过，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点五 一次函数与方程、不等式、几何的综合应用 1．数形结合是非常重要的数学思想，利用数形结合可以帮助我们换个角度思考问题．例如我们可以从“图形”的角度来研究一元一次不等式：在解不等式时，我们可以令，，在平面直角坐标系中分别画出函数．和函数 的图象，如图所示，观察图象可知当时，，即，所以原不等式的解集为．请你用以上方法解决下面的问题：已知关于x的不等式的解集是，则下列选项中可能是一次函数图象的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，点M的坐标为，过点M作垂直于y轴的直线，分别交直线，，于点A，B，C．若一个等腰直角三角形的周长为c，设它的直角边长为x，则点在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段BC在此处键入公式。上 D．点C右侧 3．如图，在平面直角坐标系中，有函数和的图象，它们相交于点A．下列结论： ①；②；③当时，则有；④关于x的方程的解是：x＝2；⑤；⑥．其中正确的有（    ） A．①②⑥⑤ B．②③④⑥ C．②③④⑤ D．③④⑤⑥ 4．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 命题点一 一次函数的定义与解析式 ►题型01 求一次函数自变量或函数值 【典例】（2025·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式】（2025·浙江嘉兴）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D．随a，b的值变化 【变式】（2025·河南·模拟预测）某公园有一种叫“喊泉”的娱乐项目，其原理是通过声音的响度刺激声敏电阻，声敏电阻的变化影响电路中电流的变化，当电流达到一定数值时，小马达开始转动从而喷出水柱，当时水柱立马消失，当最大时喷出的水柱最高．图1为某人声音的响度随时间变化的关系图，图2为声敏电阻的阻值随声音的响度变化的关系图（反比例函数图象的一部分），已知小马达两端的电压为，下列说法错误的是（   ） A．第时，声敏电阻的阻值为 B．第时开始产生水柱 C．在第至时喷出的水柱最高 D．喷出水柱的时长超过 题型02 列一次函数解析式并求值 【典例】（2025·江苏中考真题）点在函数的图像上，则代数式的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式】（2025·广西中考真题）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式】（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 命题点二 一次函数的图像与性质 ►题型01 判断一次函数的图象 【典例】（2025·内蒙古中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（  ） A．  B．  C． D．   【变式】（2025·安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 题型02 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【典例】（2025·荆州·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是(  ) A．B． C．D． 【变式】（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，下列函数的图象不经过点的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型03 一次函数图象与对称问题 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】（2025·陕西榆林·二模）已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 【变式】（2025·广东汕头·一模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 命题点三 一次函数解析式的求法 题型01 求一次函数解析式 【典例】（2025·浙江·模拟预测）在“探索一次函数系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：，，同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式分别为：，：，：则，，这三个数值中，最大的值为（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到一个正比例函数图象，则该一次函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知一次函数的图象过点，，且函数图象经过第二、四象限，当时，，则该一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 命题点四 一次函数的图像平移 题型01 一次函数图象平移问题 【典例】（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【变式】（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【变式】（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 命题点五 一次函数与方程、不等式 题型01 一次函数与一元一次不等式 【典例】（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 【变式】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 【变式】（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 题型02 一次函数与二元一次方程组 【典例】（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为 ． 【变式】（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 【变式】（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 突破一 一次函数与坐标轴交点问题 【典例】（2025·江苏扬州·三模）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式】（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 突破二 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【典例】（2025·河北保定·一模）如图，平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中的坐标分别为，．从光源处发射光线照射到平面镜上（含端点）． (1)请说明：入射光线必过点； (2)求入射光线照射到镜面上时，的取值范围； (3)一条感光带置于轴上，其中的坐标分别为，，光线照到感光带任何一点，感光带都会发光．请判断入射光线经平面镜反射后的光线能否使感光带发光．若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由并直接写出将平面镜至少向右平移多少个单位长度反射光线才能使感光带发光． 【变式】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，已知直线经过点，直线． (1)求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ (2)若，直线与x轴交于点C，直线与交于点P． ①点P的坐标为________． ②求面积． (3)直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【变式】（2025·河北石家庄·三模）如图，直线分别与x轴、y轴交于点，与直线相交于点C，点P是射线上一点，作于点D，点E在上点C的左侧，．设点P的横坐标为t． (1)求的解析式及点C的坐标； (2)连接，当时，求的面积； (3)画直线，若表示直线的函数值随x的增大而减小，直接写出t的取值范围． 突破三 一次函数图像平移问题 【典例】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A向上平移4个单位长度得到点B，连接，P为线段上的一点，过点P作直线． (1)当P是线段的中点时，求直线l的解析式； (2)若动点恒在直线上，当直线时，求点P的坐标； (3)Q是线段上的任意一点，在（1）的条件下，将直线l沿y轴向上平移个单位长度得到直线，记点Q关于直线的对称点为．若在线段上，存在点Q，使得点落在y轴上，直接写出满足条件的m的取值范围． 【变式】直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是 ． 【变式】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是 ． 突破四 一次函数的规律探究问题 【典例】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点A，，，，…，点，，，…在x轴上，连接，，，…，得到，，，…，则的面积是 ． 【变式】（2025·黑龙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是 ． 【变式】（2025·黑龙江·二模）如图．在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点，以，BA为邻边作；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点，以，为邻边作……按此作法继续下去，则点的坐标是 ． 突破五 一次函数与几何综合 【典例】（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【变式】（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 【变式】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 【基础巩固】 1．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 5．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 6．（2025·上海·模拟预测）定义：对于定义域为的函数，若任取在中的实数、（），都有，则称为上的“下阶梯函数”；若，则为“上阶梯函数”，二者统称“阶梯函数”．若函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，则下列说法错误的是（   ） A．可以是任意的一次函数 B．若对任意实数都有，则是“上阶梯函数” C．若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有 D．若存在实数、使得，则的图像与轴有且只有一个交点 7．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为 C．乙车出发时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 8．已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 9．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的一个动点，以为边作等边，当点在第一象限内时，下列图象中可以表示与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（   ） A． B． C． D． 【能力提升】 1．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 2．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 3．（2025·江苏无锡·二模）如图，平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A、与y轴交于点B，，点E在线段上，点F在A右侧的x轴上，且，则 ；连接，则的最小值＝    ． 4．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，延长交于点F，则的长为 ． 5．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ． 【新趋势】 1．（2025·广东深圳·三模）在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验．水槽横截面为矩形，，为水槽水面的中点，水深．如图（a），小明同学从高出水面的处发出一束激光，射到水槽水面上的处，光在水中的路径为，为水槽底部的中点，测得．（图中点，，，在同一直线上；点，，，，在同一直线上） 【问题初探】 （1）如图（a），，分别为入射角、折射角，则________，________． 【深入探究】 （2）小组成员探究如何才能使折射光线经过点． ①小张同学设计了如图（b）所示的实验，在保持光线出发点、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点，请求出增加的水面高度的值． ②小刚同学设计了如图（c）所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点降至点，也能使得折射光线经过点．请求出下降高度的值． 【问题拓展】 （3）小组讨论后，认为在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低，同时增加水面高度，也能使得折射光线经过点，请求出与之间的函数关系． 2．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 3．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 4．（2025·河北唐山·一模）定义：平面直角坐标系中，对于，两点，称为E，F两点的“折线距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，、． （1）如图1，轴，轴，________； （2）如图2，一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段上任取一点P，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，若点Q是直线的图象上一动点，画出满足的所有点Q构成的线段，并直接写出此线段的长度； （4）直接写出满足的所有点R围成图形的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $