精品解析：山东省菏泽国开中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试卷

菏泽国开中学1月月考高二年级数学学科试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两向量平行的坐标关系，即可得答案. 【详解】因为，所以，解得. 故选：B. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】由题意知， 所以. 故选：B 3. 已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直时，直线与平面的法向量共线，即可得解. 【详解】若直线平面，则直线与平面的法向量共线， 因此，当时，即为A选项，对于选项B、C、D，找不到满足条件的，故B、C、D错误. 故选：A. 4. 如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图像，可得答案. 【详解】由，则，由为的中点，则. 所以 . 故选：A. 5. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面垂直，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直得到与平行，设，得到方程组，求出. 【详解】因为直线与平面垂直，故与平行； 设且，即，解得. 故选：D 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的坐标公式计算. 【详解】已知，则， 向量在向量上的投影向量的坐标为： . 故选：B 7. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，先求出，对A，利用向量共线的条件，即可求解；对B，利用单位向量的定义，即可求解；对C，利用向量夹角公式，即可求解；对D，根据条件，利用平面的法向量的求法，即可求解. 【详解】因为，，，则， 对于A，假设与是共线向量，则有，所以，无解， 即与不是共线向量，所以A错误， 对于B，的单位向量为， 即或，所以B错误， 对于C，与夹角的余弦值为，所以C错误， 对于D，设平面的一个法向量为，由， 取，则，所以平面的一个法向量是，故D正确. 故选：D. 8. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的性质，直接判断结果即可. 【详解】点关于轴的对称点为． 故选：C． 二、多选题（共18分） 9. 在如图所示的正方体中，已知分别是所在棱的中点，则（　　） A. 平面 B. 平面 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断C，D两项，A项由线面平行的判定定理求解，B项由图知，6个点共面判断． 【详解】建立空间直角坐标系，如图所示： 不妨设正方体的棱长为2，为棱的中点， 则， 得 则， 得，，故C,D两项正确； 因为点是共面的， 所以平面，故B项错误； 显然，则平面，不在平面内，故平面，故A项正确． 故选：ACD． 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 平面ABC的一个法向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由两点间的距离公式验算即可；对于B，终点坐标减区起点坐标验算即可；对于C，验算是否等于0即可判断；对于D，直接验证所给向量与是否垂直即可. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，， 所以，于是有，故C正确； 对于D，因为，， ，， 所以是平面的一个法向量，故D正确， 故选：BCD． 11. 已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项分析计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，即，A正确； 对于B，由，得，则，，即，解得，因此，B正确； 对于C，由，得，则，C错误； 对于D，由，得，则，，即，，解得，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系下点的坐标的特征计算可得. 【详解】点到轴的距离为. 故答案为： 13. 设，，向量，，，且，，则等于_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量垂直、平行的坐标运算得出，再利用坐标计算向量的模. 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，得， 故，故. 故答案为： 14. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由直线与平面平行得出直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用垂直向量数量积为0构造方程求解． 【详解】，是平面的一个法向量，是直线的一个方向向量， ， ，解得． 故答案为：2． 四、解答题（共77分） 15. 如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向. （1）建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标. （2）求向量的坐标. （3）求向量与的夹角. 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】根据题意，由空间直角坐标系的定义以及向量的坐标运算，夹角公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为正方体的棱长为，为坐标原点， 则的坐标为， 点在轴上，则， 点的坐标为. 【小问2详解】 由（1）可知，，，则. 【小问3详解】 因为，，则， 且，则， ，， 则， 且，所以， 即向量与的夹角为. 16. 如图，已知正方体的棱长为1，和分别是和的中点. （1）求的值； （2）求证：； （3）求直线和所成角的大小. 【答案】（1） （2） 因为M和N分别是和的中点，则N为的中点， 所以，则， 所以， 所以 （3） 【解析】 【分析】由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得； 计算即可证明； 根据向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 由题知： 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）， 设直线和MN所成角为， 又 ， ， 则， 所以和所成的角为 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点，且． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求证平面，得到，进而建立适当空间直角坐标系，求出，，再由空间角的向量法公式直接计算即可得解； （2）求出和平面的一个法向量为，再由距离公式 即可计算求解； （3）设，其中，求出和平面的一个法向量，由求出参数即可得解. 【小问1详解】 因为平面平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以． 故，，，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图： 则，，，， 得，， 则直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 因为，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，则， 故点到平面的距离； 【小问3详解】 因为点在线段上， 所以设，其中，则． 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，是平面的一个法向量， 故直线与平面所成角的正弦值为， 解得或． 故线段的长为或． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面成角的余弦值. 【答案】（1） 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，, 则，，, 设平面的法向量为, 则, 取，则, 由于, 故, 又平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面. （2）利用向量法求得平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则. 19. 在正四棱柱中，是棱上的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， ， 因为， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过验证即可证明； （2）写出与平面的法向量，再运用向量夹角公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知，. 则， 设平面的法向量为， 则有，即， 不妨取，则，故. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 菏泽国开中学1月月考高二年级数学学科试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面垂直，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 8. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 在如图所示的正方体中，已知分别是所在棱的中点，则（　　） A. 平面 B. 平面 C. D. 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 平面ABC的一个法向量是 11. 已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为__________. 13. 设，，向量，，，且，，则等于_____. 14. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则__________． 四、解答题（共77分） 15. 如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向. （1）建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标. （2）求向量的坐标. （3）求向量与的夹角. 16. 如图，已知正方体的棱长为1，和分别是和的中点. （1）求的值； （2）求证：； （3）求直线和所成角的大小. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，为线段的中点，且． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面成角的余弦值. 19. 在正四棱柱中，是棱上的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $