湖南省常德市石门县澧斓学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

《2025年下学期九年级数学12月份阶段练习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B B D A D D D 1．C 【分析】本题考查了二次函数的定义：“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是二次函数，则此项不符合题意； B、是正比例函数，不是二次函数，则此项不符合题意； C、是二次函数，则此项符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，则此项不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解题的关键． 由得到抛物线开口向上，配方成，得到对称轴，顶点坐标为，进而逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，故A正确； ∵， ∴对称轴，顶点坐标为，故C正确； ∴抛物线的顶点在x轴上， ∴抛物线与x轴有一个交点，故B正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：D． 3．A 【分析】先根据勾股定理求出的长，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：，，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是正确理解余弦的定义． 4．B 【分析】根据坡比的值等于坡角的正切值，据此即可求得坡角． 【详解】解：tanα=i=1:， 则∠α=30°． 故选B． 【点睛】本题考查了坡度与坡角，理解坡比的值等于坡角的正切值是关键． 5．B 【分析】本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质得，，然后根据特殊角的三角函数值求出，，再根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ，， ，， ． 故选：B． 6．D 【分析】根据二次函数函数图像与一次函数图像的交点坐标就是方程的解直接判断即可． 【详解】解：点，是与的图像交点， 所以：的解是： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数函数图像与一次函数图像的交点坐标就是方程的解；掌握函数交点坐标就是方程的解是解题的关键． 7．A 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得到，，从而，，根据相似三角形的性质即可判断选项A，B，D，根据平行线分线段成比例可判断选项C． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． A选项：∵， ∴， ∵， ∴不成立，故本选项错误； B选项：∵， ∴，故本选项正确； C选项：∵ ∴，故本选项正确； D选项：∵， ∴，故本选项正确． 故选：A 8．D 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，理解二次函数图象平移的性质是解答关键． 根据二次函数的图象向右平移是减，向下平移是减来进行求解． 【详解】解：的顶点坐标是，的顶点坐标是， 顶点由到需要向右平移4个单位，向下平移5个单位， 平移的过程是向右平移4个单位，向下平移5个单位． 故选：D． 9．D 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴和与轴的交点位置，判断①②③，利用抛物线与x轴的交点个数即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴，故①正确，②正确； ∴；故③正确； ∵由图象得，抛物线与x轴有两个交点， ∴，④正确； 故选D． 10．D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、函数与不等式等知识点，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 先分别求出反比例函数及一次函数的解析式，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知，将点代入得：， 所以反比例函数解析式为， 将点和代入得： ，解得， 所以一次函数的解析式为， 所以一次函数与坐标轴的交点坐标分别为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积是：，故A选项正确不符合题意； 由函数图象可知，反比例函数与直线的图象的交点坐标为，故B选项正确不符合题意； 因为，所以，故C选项正确不符合题意； 由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即． 故D选项错误，符合题意． 故选：D． 11．乙 【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵两班学生测试成绩的平均分都是90分，，， ∴乙的方差小于甲的方差， ∴乙班的成绩更稳定． 故答案为：乙班． 12． 【详解】试题分析：由两线段平行，同位角相等，即可证出三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例，结合已有的量即可解决本题． 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD=3，BC∥AD， ∵E为BC上一点， ∴CE∥AD，∠FEC=∠FAD，∠FCE=∠D， ∴△FCE∽△FDA， ∴==， 又∵CD=3，CF=1，AD=4， ∴CE=， 故答案为． 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 13． 【分析】根据韦达定理解答即可． 本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：由、是一元二次方程的两个根， 则，， ∵，， ∴， 解得， 此时一元二次方程为有两个实数根，符合条件. 故答案为：． 14．12 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、坡度坡角问题等知识点，根据图示确定在哪个直角三角形中进行解直角三角形是解题的关键． 先根据坡角，坡长米求得的长，从而知的长，再根据背水坡CD的坡度得到∠C的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡角，坡长m， ∴（米）， ∴， ∵背水坡CD的坡度，， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为12． 15． 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，抛物线的对称轴为：，则关于对称点的坐标为：，再根据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 抛物线的对称轴为：， 关于对称点的坐标为：， ，且抛物线开口向下， ， 故答案为：． 16．2 【分析】根据，设，由线段垂直平分线的性质得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴在中，， 设， 由作图方法可知垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、线段垂直平分线的性质和尺规作图、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 17．且 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意得： 且， ∴且， 故答案为且． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 18． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系．根据平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系，即可求解． 【详解】解：∵在第二象限内，将矩形以原点O为位似中心放大为原来的倍， ∴矩形与矩形是位似图形，点B与点是对应点， ∵，，点B的坐标为， ∴点的坐标为， ∵将矩形以原点O为位似中心放大倍，得到矩形， ∴，即， ， ∴， ∴矩形的对角线交点的坐标为， ∴矩形的对角线交点的纵坐标为， 故答案为：． 19．（1）；（2）． 【分析】（1）先利用平方差公式解得，再利用完全平方公式解得，结合余弦、正弦的定义解得，最后计算求解． （2）先将方程化为一般式，再利用公式法解题即可． 【详解】（1） ； （2）原方程可化为 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算、解一元二次方程，涉及平方差公式、完全平方公式、正弦、余弦、公式法解一元二次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 20．(1)3 (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，求二次函数的自变量； （1）根据二次函数的定义得出，求出k的值即可； （2）把代入函数解析式中得出，再把代入得出，解关于x的方程即可． 解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，一般地,我们把形如 (其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为3； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，， 解得：，． 21．(1)，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）等级的人数除以所占的比例求出样本容量，求出等级B的学生人数，补全条形图即可； （2）360度乘以D等级所占的比例，进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴等级B的学生有名， 补全统计图如下： （2）； （3）名． 22．(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、三角函数等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，从而得到，然后根据两组对应角相等的三角形相似即可证明结论； （2）由、可得，再由相似三角形的对应边成比例可得，再结合即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．(1)登山缆车上升的高度； (2)从山底A处到达山顶处大约需要. 【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可； （2）在中，求得的长，再计算得出答案． 【详解】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∴， 答：登山缆车上升的高度； （2）解：在中，，， ∴， ∴从山底A处到达山顶处大约需要： ， 答：从山底A处到达山顶处大约需要. 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键． 24．(1)； (2)3 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图象解不等式．熟练掌握待定系数法是关键． （1）将点坐标代入，即可求出反比例函数解析式；根据点D坐标为．求出，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出，，再利用即可求解； （3）时，自变量的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，根据图象即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， 即反比例函数解析式为：； ∵点D坐标为． ∴， ∴点D坐标为． ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵一次函数解析式为与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴当时，则， ∴， ∴， ∵，， 则的面积， （3）解：根据图象可得，当时，自变量的取值范围为或． 25．(1) (2)每件衬衫应降价20元 (3)每天盈利的最大值为1200元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）设每件衬衫降价元，则商场平均每天可销售件，根据总利润每件的利润销售数量列式即可； （2）当时，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （3）由，利用二次函数的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，则商场平均每天可销售件， 依题意，得：； （2）解：当时， ， 整理，得：， 解得：，， ∵让顾客得到实惠， ∴． 答：每件衬衫应降价20元； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵，图象开口向下， ∴当时，y随着x的增大而增大， ∵， ∴当时，， 答：每天盈利的最大值为1200元． 26．(1) (2)最大面积为， (3)存在，点的坐标是时，与相似 【分析】（1）首先确定点，的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）设，过作轴，交直线于点，则，易得，进而可得，根据二次函数的性质即可获得答案； （3）首先确定点，的坐标，设（），则，，，然后分和两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ，， 将点，代入抛物线， 则有，解得， 抛物线的解析式是； （2）解：设，过作轴，交直线于点，如下图， 则， ， ， ，且， 当时，的面积最大， 此时， ； （3）解：存在， 如下图， ， 抛物线的对称轴是直线， 又，由对称性得，则， 当时，可有，即， ∴， 设，（）， 则，，， 当时，则，即， 整理得，解得，（舍去）， 此时，， ； 当时，则，即， 整理得，解得（舍去），（舍去）． 综上所述，当点的坐标是时，与相似时． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数综合应用、相似三角形的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $◆石门县澧澜学校 ▣战▣ 2025年下学期九年级数学12月份阶段练习题答题卡 准考证号 姓名： 班级： 注意事项： 1、请注意客观题填涂需清晰，完整覆盖选项。 2、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 正确填涂■ 缺考填涂标记☐ 9 9 - 客观题(30分) 1 ABC☑D3 ABC☑D5 ABC☑D]7 ABCD9AOB□CD 2 ABCD4AB☐ID6 ABCD8AOB☐CD10 ABCD 二、 填空题(24分) 11 12 13 14 15 16 17 18 三、解答题(66分) 19.(6分)(1)(1-2√3)(1+2√3)-(V3-1)2-2s30 sin2 45 (2)(x+2)(x-4)=1 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ■ 第1页（共4页） ■ 21.(8分) 人数 50 (1) 40302010 C 106 B D (2) A B C D等级 甲 乙 (3) 22.(8分) B D 23.(9分) D 30 A 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第2页（共4页） 请使用2B铅笔填涂选择题答案选项及考号 ■ 24.(9分) y B D 25.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第3页（共4顷） 26.(10分) D B 请在各题目的答题区域内作答超出边框的答案无效 第4页（共4页） 2025年下学期九年级数学12月份阶段练习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分） 1．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．开口向上 B．与x轴有一个交点 C．对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小 3．在中，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯坡面BC的坡度i=1：，则电梯坡面BC的坡角α为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 第4题图 第6题图 第7题图 第9题图 第10题图 5．在中，如果，满足，则的大小是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于点，则关于x的方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．如图所示，D、E、F分别是中边、、上的点，若四边形是平行四边形，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 8．如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（   ） A．向右平移4个单位，向上平移11个单位 B．向左平移4个单位，向上平移11个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移4个单位，向下平移5个单位 9．已知二次函数为常数，且的图像如图所示．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 10．反比例函数与直线的图象在坐标轴中位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A．直线与坐标轴围成的三角形的面积是2 B．反比例函数与直线的图象的交点坐标为 C． D．当时，有 二、填空题（每题3分） 11．为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班20名学生测试成绩的方差，乙班20名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是90分，则 （填“甲”或“乙”）班的成绩更稳定． 12．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4 ，AF交BC于E，交DC的延长线于F，且CF=1，则CE的长为 ．   第12题图 第14题图 第16题图 第18题图 13．若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则 ． 14．如图，某拦水大坝的横断面为梯形，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长m，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长为 m． 15．已知拋物线经过点、，则 （填“”“ ”或“”）． 16．如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，连接交于D，交于E，连接，若，则的长为 ． 17．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，且，，在第二象限内，将矩形以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点O为位似中心放大倍，得到矩形，，以此类推，得到的矩形的对角线交点的纵坐标为 ． 三、解答题 19．（6分）（1）（3分）计算： ； （2）（3分）解方程：（x+2）（x﹣4）＝1． 20．（6分）若函数是以x为自变量的二次函数． (1)求k的值；（3分） (2)当函数值时，求自变量x的值．（3分） 21．（8分）某学校举办诵读经典活动，对全校学生用A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行评价，现从中抽取若干名学生进行调查，绘制出了如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)抽查的样本数量为 ，将图甲中的条形统计图补充完整；（4分） (2)图乙中D等级所对应的扇形圆心角的度数 度；（2分） (3)根据调查的结果，请估计该校2000名学生中有 名学生获得B等级的评价．（2分） 22．（8分）如图，在中，，，垂足分别为D、E，与相交于点F． (1)求证：；（4分） (2)当，时，求的长．（4分） 23．（9分）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）    (1)求登山缆车上升的高度；（4分） (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）（5分） （参考数据：） 24．（9分）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为，点D坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式；（3分） (2)求的面积；（3分） (3)直接写出当时，自变量x的取值范围．（3分） 25．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．若设每件衬衫降价元，商场平均每天赢利元． (1)写出与之间的函数关系式，并化成一般式；（3分） (2)若商场平均每天赢利要达到1200元，且让顾客得到实惠，则每件衬衫应降价多少元？（3分） (3)若每件衬衫的盈利不少于30元，求每天盈利的最大值？（4分） 26．（10分）如图，抛物线的图像交轴于，两点，交轴于点，直线经过，两点． (1)求抛物线的解析式．（3分） (2)点为抛物线第一象限上的一动点，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．（3分） (3)在第一象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴，交轴于点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（4分） 学科网（北京）股份有限公司 $