陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高一上学期数学大练习（8）

高一数学大练习（八） 1、 单选题（每小题4分，共24分） 1. 已知角的终边过点，则 A. B. C. D. 2. 下列可以作为“若，则”的反例的是. A. B. C. D. 3. 在化学中分别使用和表示溶液中氢离子和氢氧根浓度（以下公式中单位均为mol/L），在25℃的水溶液中有，规定溶液的. 已知一杯25℃的水溶液中，则该溶液的pH约为. （参考数据：，） A. B. C. D. 4. 函数的反函数表达式为. A. B. C. D. 5. 给定上的增函数，则“”是“”的条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6. 已知，设，，，则. A. B. C. D. 2、 多选题（每小题6分，共18分，部分选对得部分分，错选、不选不得分） 7. 若为第二象限角，则下列一定正确的是. A. B. C. D. 8. 已知，且，则. A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 9. 已知之间的关系为，可以证明此时是的函数. 下列关于该函数的说法，正确的是. A. 该函数为偶函数 B. 该函数的值域为 C. 该函数在上单调递减 D. 将该函数图象向上平移个单位长度，得到的图象对应表达式为 3、 填空题（每小题5分，共15分） 10. 计算： . 11. 若，则 . 12. 已知一个扇形与一个圆的周长相等，面积之比为，则扇形的圆心角弧度数为 . 四、解答题（本题共4个小题，合计43分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤） 13.（本题满分8分）已知不等式的解集为 区间. （1）求集合. （2）若，求的取值范围. 14.（本题满分8分） 已知物体在空气中冷却时，温度随时间变化的规律满足以下的牛顿冷却定律：，其中表示物体的初始温度，表示环境温度，均为常数. 已知一杯℃的水放在固定温度的空气中冷却时，经过小时后温度为℃，再经过小时后温度为℃. （1）求环境温度. （2）求经过多少小时后这杯水的温度可以从℃降至℃以下（结果保留整数，已知 ，）. 15. （本题满分12分）已知函数. （1）求证：的图象关于中心对称. （2）若对于任意的恒成立，求的取值范围. （3）若关于的方程在上有且只有个不同的解，求的取值范围. 16. （本题满分15分） （1）在平面直角坐标系中，将轴绕坐标原点逆时针旋转角度（，）后得到直线，直接写出与之间的关系. （2）若将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转角度（，）后，得到的图形与轴有且只有个公共点，求的值. （3）已知函数 若的图像绕坐标原点顺时针旋转角度（，）后，得到的图形仍然是一个函数图象，求的取值范围. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学大练习（八） 1、 单选题（每小题4分，共24分） 1. 已知角的终边过点，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】. 2. 下列可以作为“若，则”的反例的是. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】反例需要满足：且，只有B满足. 3. 在化学中分别使用和表示溶液中氢离子和氢氧根浓度（以下公式中单位均为mol/L），在25℃的水溶液中有，规定溶液的. 已知一杯25℃的水溶液中，则该溶液的pH约为. （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】. 4. 函数的反函数表达式为. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由得，所以反函数为. 5. 给定上的增函数，则“”是“”的条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】充分性：由于单调递增，且，所以，所以，所以 必要性：已知，假设，由于单调递增，所以，所以，与已知矛盾. 所以假设不成立，即. 6. 已知，设，，，则. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，图象关于轴对称. 由于在上单调递增，在上单调递减，而单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增. 由于，，所以，所以，即. 2、 多选题（每小题6分，共18分） 7. 若为第二象限角，则下列一定正确的是. A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】由于为第二象限角，所以，A错误. 终边在第二象限、第三象限或轴非正半轴上，所以，B正确. 在第三象限，第四象限或轴非正半轴上，所以符号无法确定，C错误. 在第一象限或第三象限，所以，D正确. 8. 已知，且，则. A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】，当且仅当，即时等号成立，故A正确. ，当且仅当，即时等号成立，故B正确. 由解得，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误. 由得. 所以，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 9. 已知之间的关系为，可以证明此时是的函数. 下列关于该函数的说法，正确的是. A. 该函数为偶函数 B. 该函数的值域为 C. 该函数在上单调递减 D. 将该函数图象向上平移个单位长度，得到的图象对应表达式为 【答案】AC 【解析】设. 任给定，的范围是，由于关于在上单调递减，并且值域为，且当时，所以对于任意，都存在，使得. 因此任意，都与唯一的对应. 因此是的函数，该函数的定义域为. 显然若满足，则也满足，因此该函数为偶函数，故A正确. 由前面的分析可知的取值范围是[，此时的取值范围是，因此值域为，故B错误. 当时，随增大而增大，而在中当增大时减小，所以当时，随增大而减小，故C正确. 对于D，设平移后点在图像上，则平移前点在图像上，因此满足，即为平移后图象对应的表达式. 故D错误. 3、 填空题（每小题5分，共15分） 10. 计算： . 【答案】 【解析】原式. 11. 若，则 . 【答案】 【解析】，所以，所以. 12. 已知一个扇形与一个圆的周长相等，面积之比为，则扇形的圆心角弧度数为 . 【答案】 【解析】设扇形和圆的半径分别为和，扇形的圆心角为. 由周长相等得，即. 由面积之比为可得，即 因此，整理得，即，解得. 四、解答题（本题共4个小题，合计43分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤） 13（本题满分8分）. 已知不等式的解集为 区间. （1）求集合. （2）若，求的取值范围. 【解析】（1）由得，即，. 故. （2）由得 解得，所以的取值范围是. 14.（本题满分8分） 已知物体在空气中冷却时，温度随时间变化的规律满足以下的牛顿冷却定律：，其中表示物体的初始温度，表示环境温度，均为常数. 已知一杯℃的水放在固定温度的空气中冷却时，经过小时后温度为℃，再经过小时后温度为℃. （1）求环境温度. （2）求经过多少小时后这杯水的温度可以从℃降至℃以下（结果保留整数，已知 ，）. 【解析】（1）由题意得 由第一式得，代入第二式得，即，即，即，解得，所以环境温度为℃. （2）由（1）得，所以，令，得，即，所以，所以最小值为，即经过小时后温度可以降至℃以下. 15. （本题满分12分）已知函数. （1）求证：的图象关于中心对称. （2）若对于任意的恒成立，求的取值范围. （3）若关于的方程在上有且只有个不同的解，求的取值范围. 【解析】（1）由得的定义域为，所以，，，所以的图象关于中心对称. （2）由得在时恒成立. 由于，所以，且在时恒成立. 设，当时，，，. 由于恒成立，所以. 所以的取值范围是. （3）原方程等价于，由于当时，此时恒成立，所以原方程等价于，即. 令，则，原方程化为，即. 对于，当时只有个解，当时有个解. 因此若是的解，则原方程有奇数个解，不合题意. 因此不是的解，即，且关于的方程在上有且只有个解. 由于在上单调递增，在上单调递减，，，，所以要使在上有且只有个解，则或，解得或. 又因为，所以或. 所以的取值范围是. 16. （本题满分15分） （1）在平面直角坐标系中，将轴绕坐标原点逆时针旋转角度（，）后得到直线，直接写出与之间的关系. （2）若将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转角度（，）后，得到的图形与轴有且只有个公共点，求的值. （3）已知函数 若的图像绕坐标原点顺时针旋转角度（，）后，得到的图形仍然是一个函数图象，求的取值范围. 【解析】（1）. （2）等价于将轴绕坐标原点逆时针旋转角度后，得到的直线与的图象有且只有一个公共点. 令，即，，解得，故，解得或. （3）等价于将轴绕坐标原点逆时针旋转角度后得到直线，任何与垂直的直线与的函数图象至多只有一个公共点. 当时，显然符合题意，此时. 当时，与垂直的直线表达式为，其中，因此题中条件等价于： 至多只有一个解. 即，函数与直线至多只有一个公共点，即是从定义域到值域的一一对应. 首先要求在上单调，故，解得. 此时当时， 另外要求在上单调. 对称轴为. 分为以下两种情况. ①，即时，在上单调递增，值域为. 要使是从定义域到值域的一一对应，则，解得. 因此. ②，即时，在上单调递减，值域为. 要使是从定义域到值域的一一对应，则，此不等式恒成立，所以. 因此或，即或，解得或 . 综上，的取值范围是. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $