精品解析：甘肃省陇南市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末学业水平抽测卷 九年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A. 圆 B. 菱形 C. 矩形 D. 等边三角形 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 3. 有一枚硬币，每次抛出出现正反面的概率相等，已知，在之前的100次试验中，出现了80次正面和20次反面，则第101次出现正面的概率为（ ）． A. B. C. D. 4. 在二次函数为常数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称 B. 如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等 C. 平移改变图形的形状和大小 D. 在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 7. 在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 100 8. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧（所在圆的圆心为O），弓弦部分的长为，点D是弓臂的中点，交于点C，D、C两点之间的距离为，则弓臂所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列三个结论：①；②；③．下列说法正确的是（ ） A. ①②正确，③错误 B. ①错误，②③正确 C. ①③正确，②错误 D. ①②③都正确 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 成语是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．成语“刻舟求剑”描述的事件是_____事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 12. 若方程是一元二次方程，则______． 13. 一个口袋中装有两个红球，一个白球，从口袋中随机摸出两球．若规定：是同一颜色，甲获胜；不是同一颜色，乙获胜，则可知甲、乙两人中______获胜的机会大． 14. 若关于x的函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是_______． 15. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_______．（结果保留π） 16. 如图，⊙Ｏ的半径为，正六边形内接于⊙Ｏ，则图中阴影部分面积为________．（结果保留） 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求的取值范围． 19. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知． （1）作出以O为旋转中心，顺时针旋转的（只画出图形）． （2）请在y轴上找一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 20. 如图，在中，，点是上一点． （1）尺规作图：作⊙O，使⊙O与，都相切(不写作法与证明，保留作图痕迹)； （2）在（1）所作的图中，若⊙O与相切于点，与的另一个交点为点，，，求的长． 21. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下： 小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元． 小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个． 根据他们的对话，解决下面的问题： （1）若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润________元． （2）若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？ 22. 双流某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了 名学生，并补全条形图； （2）若从体能为等级的名男生和名女生中随机的抽取名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 四、解答题：本大题共5小题，共50分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，．我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程： 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 上述解题过程中，a，b所表示的数分别是_______，_______； （2）请用“平均数法”解方程：． 24. 如图，是等腰直角三角形，，，B为边上一点，连接，将绕点C旋转到的位置． （1）若，求的度数； （2）连接，求长的最小值． 25. 如图，在中，，平分，交于点是斜边上一点，以点为圆心，的长为半径的恰好经过点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 26. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标． 27. 如图，等腰直角与等腰直角按图1位置放置，已知， ． （1）填空：　　　，　　　； （2）现将图1中等腰直角绕点A按顺时针方向旋转，当旋转到点C、D、E在一条直线上时，如图2所示，求的长度； （3）当图1中等腰直角绕点A顺时针方向旋转到满足时，如图3所示，猜想：与的数量关系，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末学业水平抽测卷 九年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A. 圆 B. 菱形 C. 矩形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合来解题即可． 【详解】A、B、C中，既是轴对称图形，又是中心对称图形； D、只是轴对称图形． 故选D． 【点睛】掌握中心对称的定义是解题的关键． 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．先移项，再把方程化为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴即， ∴或 ∴，， 故选：D． 3. 有一枚硬币，每次抛出出现正反面的概率相等，已知，在之前的100次试验中，出现了80次正面和20次反面，则第101次出现正面的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率公式，掌握概率公式是解题的关键． 因为硬币有两面，故每一面出现的概率都是，由此即可得到答案． 【详解】解：∵硬币有两面， ∴每一面出现的概率都会是， 故第101次出现正面的概率为． 故选：D． 4. 在二次函数为常数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的对称性增减性，是解题的关键． 根据二次函数解析式，得开口向上时，对称轴为直线，在对称轴右侧y随x的增大而增大．根据当时y随x的增大而增大，得对称轴应位于直线左侧或与之重合． 【详解】解：∵二次函数的开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随x的增大而增大． ∵当时，随的增大而增大， 因此需满足． 故选：D． 5. 如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】由OA=OC，得∠C=∠A=25°，再由三角形外角性质得∠AOD=50°，然后根据平行线的性质可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴OA=OC， ∴∠C=∠A=25°， ∴∠AOD=∠C+∠A=50°， ∵OADE， ∴∠D=∠AOD=50°， 故选：C． 【点睛】本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，本题属基础题目，难度不大． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称 B. 如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等 C. 平移改变图形的形状和大小 D. 在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平移，中心对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移，中心对称图形的定义和性质依次即可判断． 【详解】解：A. 如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，故选项错误； B. 如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点到对称中心之间的距离相等，故选项错误； C. 平移不改变图形的形状和大小，故选项错误； D. 在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，故选项正确； 故选D． 7. 在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，在同样条件下，大量重复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到黄球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可，解题的关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故选：C． 8. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，代入系数计算即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧（所在圆的圆心为O），弓弦部分的长为，点D是弓臂的中点，交于点C，D、C两点之间的距离为，则弓臂所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理等．根据题意设弓臂所在圆的半径为，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵弓弦部分的长为，点D是弓臂的中点， ∴，， 设弓臂所在圆的半径为， ∵D、C两点之间的距离为， ∴， ∴在中：，解得：， ∴弓臂所在圆的半径为， 故选：B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列三个结论：①；②；③．下列说法正确的是（ ） A. ①②正确，③错误 B. ①错误，②③正确 C. ①③正确，②错误 D. ①②③都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 根据函数图象开口向上，与轴正半轴有交点，则、，根据图象与轴有两个不同的交点，可得判别式，根据时，对应的函数值在轴下方，得到，据此解答即可． 【详解】解：根据二次函数图象可知，开口向上， 则， 由于该函数图象与轴正半轴有交点， 则， 因此， 故①正确； 令得，， 判别式， 由于图象与轴有两个不同的交点， 则，即， 故②正确； 由图象可知，当时，对应的函数值在轴下方， 则， 故③正确， 综上，正确的有①②③， 故选：D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 成语是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．成语“刻舟求剑”描述的事件是_____事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 【答案】不可能 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，理解并掌握“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”的概念是解题的关键． 随机事件：指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；必然事件：在一定的条件下重复进行试验时必然会发生的事件；根据上述概念辨析即可求解． 【详解】解：成语“刻舟求剑”描述的事件是不可能事件， 故答案为：不可能 ． 12. 若方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，列出条件求解． 【详解】解：由一元二次方程的定义，需满足： 解得， 所以． 又，即， 因此． 故答案为：． 13. 一个口袋中装有两个红球，一个白球，从口袋中随机摸出两球．若规定：是同一颜色，甲获胜；不是同一颜色，乙获胜，则可知甲、乙两人中______获胜的机会大． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画出树状图如图： ， 共有6种等可能出现的结果，其中摸出的两球是同一颜色的结果有2种，不同颜色的结果有4种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ， 甲、乙两人中乙获胜的机会大， 故答案为：乙． 14. 若关于x的函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数（a，b，c是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与轴的交点个数．时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 关于的函数的图象与轴有两个交点，则判别式，据此列不等式求解． 【详解】解：根据题意得： ， 解得． 故答案是：． 15. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_______．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，熟知圆锥的两种转化关系及圆锥的侧面积等于底面半径与母线长乘积的倍是正确解答此题的关键． 利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长． 已知，，代入公式得， 故答案为． 16. 如图，⊙Ｏ的半径为，正六边形内接于⊙Ｏ，则图中阴影部分面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可． 【详解】解：如图所示：连接BO，CO， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴AB=BC=CO=4，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形， ∴CO∥AB， 在△COW和△ABW中 ， ∴△COW≌△ABW（AAS）， ∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，求出阴影部分面积=S扇形OBC是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键； 先移项，然后对方程左边进行因式分解，然后解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴或， ∴， ． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求的取值范围． 【答案】（1） ， ， ， 方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出判别式，利用配方法变为完全平方式即可， （2）利用求根公式，先求一元二次方程含k 的根，让其一根小于0，求出范围即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 方程有一根小于0， ， ． 【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键． 19. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知． （1）作出以O为旋转中心，顺时针旋转的（只画出图形）． （2）请在y轴上找一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点P即为所求，点P的坐标． ． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换． （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，点是上一点． （1）尺规作图：作⊙O，使⊙O与，都相切(不写作法与证明，保留作图痕迹)； （2）在（1）所作的图中，若⊙O与相切于点，与的另一个交点为点，，，求的长． 【答案】 （1）如图， （2） 【解析】 【分析】（1）尺规作图：作∠CAB的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC为半径作⊙O，使⊙O与AC，AB都相切即可； （2）在（1）所作的图中，若⊙O与AB相切于点D，与BC的另一个交点为点E，BE=2，BD=4，根据勾股定理即可求出AO的长. 【详解】解：（1）略； （2）连接，设， 在中， 解得，则， 设， 在中， 解得， ． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，切线的判定与性质，解决本题的关键是准确作图. 21. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下： 小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元． 小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个． 根据他们的对话，解决下面的问题： （1）若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润________元． （2）若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）每个“弗里热”纪念品的售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由销售利润=（实际销售价进价）销售量，即可得出结果； （2）设每个“弗里热”纪念品的售价应定为元，由题意得：商场计划一周的利润达到8000元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：该商场平均每周可以获得销售利润为元 故答案为：． 【小问2详解】 解：设每个“弗里热”纪念品的售价应定为每支元，由题意得， 解得：或 ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：每个“弗里热”纪念品的售价应定为元． 22. 双流某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了 名学生，并补全条形图； （2）若从体能为等级的名男生和名女生中随机的抽取名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 【答案】（1）， 补全条形图如下： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是条形统计图与扇形统计图以及画树状图法求概率．明确频数、频率与样本容量之间的关系是解题的关键． （1）根据等级的人数和百分比得出总人数，进而求出等级的学生人数，再补全条形图； （2）根据题意画出树状图，然后根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：本次抽样调查共抽取学生名， 故答案为：， 等级的学生有（名） 【小问2详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为， 抽取的两人恰好都是男生的概率为． 四、解答题：本大题共5小题，共50分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，．我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程： 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 上述解题过程中，a，b所表示的数分别是_______，_______； （2）请用“平均数法”解方程：． 【答案】（1）5，3 （2） ，． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、平方差公式，熟悉一元二次方程的解法，理解“平均数法”解一元二次方程的方法是解答的关键． （1）根据“平均数法”的定义求解即可得出a、b的值； （2）根据“平均数法”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，， 故， 故答案为：5，3． 【小问2详解】 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 24. 如图，是等腰直角三角形，，，B为边上一点，连接，将绕点C旋转到的位置． （1）若，求的度数； （2）连接，求长的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质得到然后根据三角形内角和定理得到，最后根据全等三角形的性质求解即可； （2）首先根据题意得到是等腰直角三角形，然后证明出当的长度最小时，取得最小值，最后根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∵将绕点C旋转到的位置 ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当的长度最小时，取得最小值， ∵B为边上一点， ∴点时，的长度最小， ∴此时， ∴． ∴长的最小值为． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，点到直线的距离等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 25. 如图，在中，，平分，交于点是斜边上一点，以点为圆心，的长为半径的恰好经过点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）的半径为． 【解析】 【分析】此题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义结合等边对等角求得，推出，据此即可证明结论成立； （2）作，设的半径为，证明四边形是矩形，推出，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作，垂足为， 设的半径为，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的半径为． 26. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合，待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积； （1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到面积，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴设抛物线的交点式为， 即抛物线的表达式为； 【小问2详解】 过点作轴的垂线，交于，如图： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线：，将、代入得： ， 解得， 直线：． 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为； 27. 如图，等腰直角与等腰直角按图1位置放置，已知， ． （1）填空：　　　，　　　； （2）现将图1中等腰直角绕点A按顺时针方向旋转，当旋转到点C、D、E在一条直线上时，如图2所示，求的长度； （3）当图1中等腰直角绕点A顺时针方向旋转到满足时，如图3所示，猜想：与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）， （2） （3） ， 证明：连接交于F，交于G 在和中，， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ 又∵且 ∴ ∵是公共边 ∴ ∴ 又∵在等腰中，是斜边 ∴ ∴ ∵ ∴ 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）过作于，由直角三角形斜边中线的性质得，由勾股定理得，进而可求出的长度； （3）连接交于F，交于G，证明得，再证明得，进而可求出． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，， ∴． ∵是等腰直角三角形，， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：过作于， 在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $